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1、 1.1 1.1 你能证明它们吗（一）你能证明它们吗（一）w定义定义:对名称和术语的含义加以描述对名称和术语的含义加以描述,作出明确作出明确 的规定的规定,也就是给出它们的也就是给出它们的定义定义.w命题命题:判断一件事情的句子判断一件事情的句子,叫做叫做命题命题 回顾与思考回顾与思考w公理公理:公认的真命题称为公理公认的真命题称为公理.w证明证明:除了公理外除了公理外,其它真命题的正确性都通其它真命题的正确性都通过推理的方法证实过推理的方法证实.推理的过程称为证明推理的过程称为证明.w定理定理:经过证明的真命题称为定理经过证明的真命题称为定理.命命题题的的组组成成条件条件结论结论组组成剖析成
2、剖析命命题题的的表达形式表达形式真命真命题题假命假命题题已知事已知事项项由已知事由已知事项项推出的事推出的事项项如果如果题设题设成立，那么成立，那么结论结论一定成立一定成立题设题设成立成立时时，不能保，不能保证结论还证结论还是正确的是正确的下列命题中是假命题的是（）下列命题中是假命题的是（）A A过已知直线上一点及该直线外一点的直线与已知过已知直线上一点及该直线外一点的直线与已知直线必是相交直线；直线必是相交直线；B B直角的补角是直角；直角的补角是直角；C C同旁内角互补；同旁内角互补；D D垂线段最短垂线段最短（反例只需举出一个，就可说明原命题是假命题）（反例只需举出一个，就可说明原命题是
3、假命题）C C 判断命题的真判断命题的真、伪、伪:如果如果那么那么w本套教材选用如下命题作为公理本套教材选用如下命题作为公理 :w1.1.两直线被第三条直线所截两直线被第三条直线所截,如果同位角相等如果同位角相等,那么这两条直线平行那么这两条直线平行;w2.2.两条平行线被第三条直线所截两条平行线被第三条直线所截,同位角相等同位角相等;w3.3.两边及夹角对应相等的两个三角形全等两边及夹角对应相等的两个三角形全等;w4.4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等两角及其夹边对应相等的两个三角形全等;w5.5.三边对应相等的两个三角形全等三边对应相等的两个三角形全等;w6.6.全等三角形的对应边相
4、等全等三角形的对应边相等,对应角相等对应角相等.几何的几何的三种语言三种语言 回顾与思考回顾与思考2 2w判断公理判断公理:三边对应相等的两个三三边对应相等的两个三角形全等（角形全等（SSSSSS）.ABCABC在在ABCABC与与A AB BC C中中 AB=AB BC=BC AC=ACABCAABCAB BC C（SSS）.几何的几何的三种语言三种语言 回顾与思考回顾与思考3 3w判断公理判断公理:两边及其夹角对应相等的两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（两个三角形全等（SASSAS）.在在ABCABC与与A AB BC C中中 AB=AB A=A AC=ACABCAABCAB BC C
5、（SAS）.ABCABC几何的几何的三种语言三种语言 回顾与思考回顾与思考4 4w判断公理判断公理:两角及其夹边对应相等的两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（两个三角形全等（ASAASA）.在在ABCABC与与A AB BC C中中 A=A AB=AB B=B ABCAABCAB BC C（ASA）.ABCABC 几何的几何的三种语言三种语言 回顾与思考回顾与思考4 4w性质公理性质公理:全等三角形的对应边、对全等三角形的对应边、对应角相等应角相等.ABCABCABCABC AB=AB,BC=BC,AC=ACAB=AB,BC=BC,AC=AC （全等三角形的对应边相等）全等三角形的对应边相等
6、）;A=A,B=B,C=C A=A,B=B,C=C（全等三角形的对应角相等）全等三角形的对应角相等）.ABCABC 三角形全等判定公理：判定公理：三边对应相等的两个三角形全等（）三边对应相等的两个三角形全等（）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)(SAS)两角及其夹边对应相等的两个三角形全等两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)(ASA)性质公理：全等三角形的对应边、对应角相等。性质公理：全等三角形的对应边、对应角相等。你能用上面的公理证明下面的推论吗？你能用上面的公理证明下面的推论吗？推论：两角及其中一角的对应边相等的两个三推论：两角及其
7、中一角的对应边相等的两个三角形全等角形全等(AAS)命题的证明命题的证明w推论推论:两角及其一角的对边对应相等的两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等（两个三角形全等（AASAAS）.证明证明:A=A,C=C（已知）已知）B=B（三角形内角和定理）三角形内角和定理）在在ABCABC与与A AB BC C中中 A=A（已知）已知）,AB=AB（已知）已知）,B=B（已证）（已证）,ABCAABCAB BC C（ASA）.ABCABC w已知已知:如图如图,在在ABCABC和和A AB BC C中中,A=A,C=C,AB=AB.w求证求证:ABCAABCAB BC C.几何的几何的三种语言三种
8、语言 回顾与思考回顾与思考6 6w推论推论:w两角及其一角的对边对应相两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等等的两个三角形全等（AASAAS）.在在ABCABC与与A AB BC C中中A=A C=C AB=AB ABCAABCAB BC C（AAS）.ABCABC w证明后的结论,以后可以直接运用.等腰三角形的性质等腰三角形的性质的验证与证明的验证与证明(1)(1)你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？A AB BC C底边底边腰腰腰腰顶角顶角底角底角底角底角等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等.简称简称:等边对等角等边对等角.【定义
9、定义】有两边相等的三角形叫做等腰三角形有两边相等的三角形叫做等腰三角形;C CB BA A等腰三角形的等腰三角形的 “三线合一三线合一”A AB BC CC CB BA A在上述问题中，折痕在上述问题中，折痕ADADD D是等腰三角形是等腰三角形ABCABC的怎样的线？的怎样的线？线段线段ADAD的还具有怎样的性质？的还具有怎样的性质？D D为什么？为什么？由此你能得到什么结论？由此你能得到什么结论？等腰三角形顶角的平分线、底边上等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。的中线、底边上的高互相重合。“等边对等角等边对等角”定理的推论：定理的推论：线段线段ADAD是是BCBC边的
10、中线、边的中线、BACBAC的平分线、的平分线、边边BCBC上的高。上的高。如图如图,在在ABCABC中中,AB=AC,1=2 (AB=AC,1=2 (已知已知).).BD=CD,ADBC(BD=CD,ADBC(三线合一三线合一).).左边方框中的的格左边方框中的的格式式,以后可以直接运用以后可以直接运用.A AC CB BD D1 12 2如图如图,在在ABCABC中中,AB=AC,BD=CD(AB=AC,BD=CD(已知已知).).1=2,ADBC(1=2,ADBC(三线合一三线合一).).如图如图,在在ABCABC中中,AB=AC,ADBC(AB=AC,ADBC(已知已知).).BD=C
11、D,1=2(BD=CD,1=2(三线合一三线合一).).轮换条件轮换条件1=21=2,BD=CD,BD=CD,ADBCADBC可得可得三线合一三线合一的三种的三种不同形式的运用不同形式的运用.”三线合一三线合一“的三种语言的三种语言 及及 条件的轮换条件的轮换【性质定理的性质定理的推论推论】等腰三角形顶角的平分线、等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高底边上的中线、底边上的高 互相重合。互相重合。(简称简称:“:“三线合一三线合一”)图形语言图形语言角平分线角平分线？符号语言符号语言中线中线？符号语言符号语言高线高线?符号语言符号语言随堂练习随堂练习:P4-51.证明证明:等边三角形
12、的三个角都相等等边三角形的三个角都相等,并且并且每个角都等于每个角都等于60.2.如图如图,在三角形在三角形ABD中中,C是是BD上的一点上的一点,且且AC垂直垂直BD,AC=BC=CD.(1)求证求证:ABDABD是等腰三角是等腰三角形形(2)(2)求求ABDABD的度数的度数ABCD开拓思维1.将下面证明中每一步的理由写在括号内将下面证明中每一步的理由写在括号内:已知已知:如图如图,AB=CD,AD=CB.求证求证:A=C.A=C.证明证明:连接连接BD,在在BADBAD和和DCB中中,AB=CD()AB=CD()AD=CB()AD=CB()BD=DB()BD=DB()BAD DCB():
13、A=C()ABCD2.已知已知:如图如图,点点B,E,C,F在同一条直在同一条直线上线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF.求证求证:A=DA=DABCDEF等腰三角形的性质w你还记得我们探索过的等腰三角形你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗的性质吗?w推论推论:w等腰三角形顶角的平分线等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线底边上的中线 底边上的高互相重合底边上的高互相重合(三线合一三线合一).).议一议议一议P21 1w定理定理:w等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等(等边对等角等边对等角).).ACB12ACBD1.如图如图:已知在已知在ABCABC和和DEF 中中AC=DF
14、,AB=DE,C=F=100C=F=100,则则ABC和和DEF会全等吗会全等吗?若能请证明若能请证明;若若不能请说明理由不能请说明理由.ABCDEF其它条件不变若其它条件不变若B=E=B=E=70 等腰三角形等腰三角形ABC,AB=AC,BDAC探索探索DBC与与A之间关系之间关系?ABCD 等腰三角形等腰三角形ABC,AB=AC,DEAC,DFAB,CHAB探索探索DE、DF、CH的关系的关系?ABCABCD等腰三角形底边上的点到两腰的距离和等于一腰上的高等腰三角形底边上的点到两腰的距离和等于一腰上的高EFHDEFHDE+DF=CH方法方法1：在：在HC上取一点上取一点G，使，使FD=HG
15、ABCDEFHGDE+DF=CHABC方法方法2：过：过D点作点作DGHFDEFHGDE+DF=CH方法方法3：过：过D点作点作DGHC还有好方法吗？还有好方法吗？“等腰三角形的两底角的平分线相等等腰三角形的两底角的平分线相等”的证的证明明【例例1 1】证明证明:等腰三角形两底角的平分线相等等腰三角形两底角的平分线相等.AB=AC(AB=AC(已知已知),),ABC=ACB(ABC=ACB(等边对等角等边对等角).).A AC CB BD DE E图形语言图形语言已知已知:求证求证:BD=CE.BD=CE.如图如图,在在ABCABC中中,AB=AC,AB=AC,BD,CE BD,CE 是是AB
16、CABC角平分线角平分线.证明证明:1 12 22=(2=(已知已知),),又又1=1=，1=2(1=2(等式性质等式性质).).在在BDCBDC与与CEBCEB中中DCB=EBCDCB=EBC（已知）（已知）,BC=CBBC=CB（公共边）（公共边）,1=21=2（已证）（已证）,BDCCEBBDCCEB（ASAASA）.BD=CE(BD=CE(全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等)“等腰三角形的两腰上中线相等等腰三角形的两腰上中线相等”的证的证明明证明证明:等腰三角形两腰上的中线相等等腰三角形两腰上的中线相等.BM=CN.BM=CN.A AC CB BM MN N已知已知:求证求证
17、:如图如图,在在ABCABC中中,AB=AC,BM,AB=AC,BM,CNCN是是ABCABC两腰上的中线两腰上的中线.证明证明:(全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等)AB=AC(AB=AC(已知已知),),ABC=ACB(ABC=ACB(等边对等角等边对等角).).又又CM=,BN=CM=,BN=(已知已知),),CM=BN(CM=BN(等式性质等式性质).).在在BMCBMC与与CNBCNB中中 BC=CBBC=CB（公共边）（公共边）,MCB=NBC MCB=NBC（已知）（已知）,CM=BNCM=BN（已证）（已证）,BMCCNBBMCCNB（SASSAS）.BM=CNBM=
18、CN“等腰三角形两腰上的高相等等腰三角形两腰上的高相等”的证的证明明证明证明:等腰三角形两腰上的高相等等腰三角形两腰上的高相等.证明证明:AB=AC(AB=AC(已知已知),),ABC=ACB(ABC=ACB(等边对等角等边对等角).).又又 BP,CQBP,CQ是是ABCABC两腰上的高两腰上的高(已知已知),),BPC=CQB=90 BPC=CQB=90o o(高的高的意义意义).).在在BPCBPC与与CQBCQB中中 BPC=CQBBPC=CQB（已证）（已证）,PCB=QBCPCB=QBC（已证）（已证）,BC=CB BC=CB（公共边）公共边）,BPCCQB BPCCQB（SASS
19、AS）.BP=CQ(BP=CQ(全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等)已知已知:如图如图,在在ABCABC中中,AB=AC,BP,CQ AB=AC,BP,CQ是是ABCABC两腰上的高两腰上的高.求证求证:BP=CQ.BP=CQ.A AC CB BP PQ Q实践实践观察观察猜想猜想证明证明画一画画一画画一画画一画先画一个等腰三角形先画一个等腰三角形先画一个等腰三角形先画一个等腰三角形,A AC CB B 然后在等腰三角形中作出一些线段然后在等腰三角形中作出一些线段然后在等腰三角形中作出一些线段然后在等腰三角形中作出一些线段 (如角平分线、中线、高线如角平分线、中线、高线如角平分线、中
20、线、高线如角平分线、中线、高线)，你能发现其中一些相等的线段吗？你能发现其中一些相等的线段吗？你能发现其中一些相等的线段吗？你能发现其中一些相等的线段吗？你能证明你的结论吗？你能证明你的结论吗？你能证明你的结论吗？你能证明你的结论吗？小结小结小结小结 顶角的平分线、中线、高线都分别只有一条，不能比较；顶角的平分线、中线、高线都分别只有一条，不能比较；顶角的平分线、中线、高线都分别只有一条，不能比较；顶角的平分线、中线、高线都分别只有一条，不能比较；底角的两条平分线相等；底角的两条平分线相等；底角的两条平分线相等；底角的两条平分线相等；两条腰上的中线相等；两条腰上的中线相等；两条腰上的中线相等；两条腰上的中线相等；两条腰上的高线相等。两条腰上的高线相等。两条腰上的高线相等。两条腰上的高线相等。A AC CB BDE EA AC CB BMMN NA AC CB BP PQ Q