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1、3.1.3 空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算顺德第一中学陈燕子 平面向量夹角的定义平面向量夹角的定义 空间向量夹角的定义空间向量夹角的定义0,0,b aO b aABAOB.则 为两向量的夹角，记为：或a bab一、一、空间向量的夹角空间向量的夹角定义：已知两个非零向量 ,在空间空间中任取一点O,作 ，则 叫做向量的夹角，记为：或a bAOBOA=a .OB=ba bOBAOABa b 平面向量夹角的定义平面向量夹角的定义a bOA=a AOBOB=ba bOBA 空间向量夹角的定义空间向量夹角的定义 0,0,定义：已知两个非零向量 ,在平面平面中任取一点O,作 ，则 叫做向量的夹角，
2、记为：或 0,0,a bAOBOA=a .OB=ba bOBA 平面平面向量数量积向量数量积:ab=|a|b|cos 空间空间向量数量积向量数量积:ab=|a|b|cos类类比比类类比比空间空间向量数量积的运算律向量数量积的运算律:1)ab=ba（交（交换律）律）;2)(a)b=(ab);3)(a+b)c=ac+bc(分配律分配律).平面平面向量数量积的运算律向量数量积的运算律:1)ab=ba（交（交换律）律）;2)(a)b=(ab);3)(a+b)c=ac+bc(分配律分配律).二、空间向量数量积二、空间向量数量积与运算律与运算律思考题思考题:1)对于三个均不为对于三个均不为 0 的实数的实
3、数a,b,c,若若 ab=ac,则则 b=c.对于向量对于向量a,b,c,由由 a b=a c，能能 得到得到 b=c 吗？吗？如果不能如果不能,请请 举出反例举出反例.2)对于三个均不为对于三个均不为 0 的实数的实数 a,b,c,有(ab)c=a(bc).对于向量对于向量a,b,c,(a b)c=a (b c)成立成立 吗？向量的数量积满足结合律吗？吗？向量的数量积满足结合律吗？3)对于三个均不为对于三个均不为 0 的实数的实数 a,b,c,若ab=c，则a=c/b.对于向量对于向量a,b,若若 a b=k，能写成 a =k/b吗？向量有除法吗？吗？向量有除法吗？0三、空间向量数量积的性质
4、三、空间向量数量积的性质(求线段的长度求线段的长度)(求夹角求夹角)(证明垂直证明垂直)1.证明垂直问题：证明垂直问题：四、在立体几何中的应用四、在立体几何中的应用证明：证明：如图如图,已知已知:求证：求证：在直线在直线l上取向量上取向量 ,只要证只要证mng 例例2 2 已知直线已知直线m,n是平面是平面 内的两条相交直线内的两条相交直线,如果如果 m,n,求证求证:.分析：分析：在平面内任取一条直线在平面内任取一条直线 g g 目标：目标：g g 用用向量向量建立条件与目标的联系建立条件与目标的联系mng证证:设直线设直线 g为平面为平面 内的任意直线内的任意直线,在在 上取非零向量上取非
5、零向量 由共面向量定理由共面向量定理,存在唯一实数存在唯一实数 ,使使 因因m与与n相交相交,故向量故向量 不平行不平行,解：解：2.求线段的长度：求线段的长度：例例3 3 在平行六面体在平行六面体 中，中，求求 的的长.例例4、已知棱长为已知棱长为1的正三棱锥的正三棱锥O-ABC，E，F分别是分别是AB，OC的中点，试求的中点，试求 所成角的余弦值所成角的余弦值.OABCEF3.求夹角：求夹角：知识点知识点五、小结五、小结 数学思想、方法数学思想、方法(2)向量法：几何问题转化为向量问题；向量法：几何问题转化为向量问题；(1)空间向量数量积的定义空间向量数量积的定义;(2)数量积的运算律与性质；数量积的运算律与性质；(1)类比与转化类比与转化;六、作业六、作业六、作业六、作业作业：作业：1.教科书第教科书第92页：页：3 2.教科书第教科书第98页页:3 3.教科书第教科书第99页页B组：组：1、2、3