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1、13 n阶行列式的定义及性质二、n阶行列式的性质一、n阶行列式的定义一、n阶行列式的定义 为了给出n阶行列式的定义 我们要先研究三阶行列式的结构 观察与想考 a11a22a33a12a23a31a13a21a32 a11a23a32a12a21a33a13a22a31a11a21a31a12a22a32a13a23a33 三阶行列式存在什么规律?(1)行列式右边任一项除正负号外可以写成其中p1p2p3是1、2、3的某个排列 (2)各项所带的正负号可以表示为(1)t 其中t为列指标排列p1p2p3所决定（称为p1p2p3的逆序数）三阶行列式可以写成 其中t为排列p1p2p3的逆序数 表示对1、2
2、、3三个数的所有排列p1p2p3取和 v三阶行列式的结构一：特别规定一阶行列式|(a)|的值就是a 由n2个数aij(i j1 2 n)构成的代数和称为n阶行列式 记为简记为det(aij)其中p1p2 pn为自然数1 2 n的一个排列 t为这个排列的逆序数 表示对所有排列p1p2 pn取和 在n阶行列式D中 数aij为行列式D的(i j)元 vn阶行列式的传统定义：为了给出n阶行列式的第二种定义方式 我们再进一步研究三阶行列式的结构 观察与想考 a11a22a33a12a23a31a13a21a32 a11a23a32a12a21a33a13a22a31a11a21a31a12a22a32a
3、13a23a33 三阶行列式存在什么规律?v三阶行列式的结构二：其中Aij(1)i jMij Mij是D去掉第i行第j列全部元素后,按原顺序排成的n1阶行列式,称Mij为元素aij的余子式,称Aij为元素aij的代数余子式.vn阶行列式的递归法定义：由n2个数aij(i j1 2 n)组成的n阶行列式是一个算式.当n=1时 定义D=|(a11)|=a11;当n2时 定义 Da11A11a12A12 a1nA1n v余子式与代数余子式的一个例子 A23(1)23M23M23 例如 已知 则a23的余子式和代数余子式分别为 v方阵与行列式 设为n阶方阵,则A的行列式可记为|A|或detA,即(3)
4、只有方阵才有行列式!v矩阵与行列式的区别(1)行列式是一个算式,一个数字行列式经过计算可求得其值.(2)矩阵仅仅是一个数表,它的行数和列数可以不同.例1 证明n阶下三角行列式证 对n作数学归纳法.当n=2时 结论成立.假设结论对n1阶下三角行列式成立,则由定义得 例2 计算n阶行列式(副对角线以上元素全是0)解 利用行列式定义,可得.递推可得vn阶行列式的性质：v性质1 设A为方阵,则|AT|=|A|,即转置不改变方阵的行列式.由此性质可知 行列式中的行与列具有同等的地位 行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立 反之亦然 v性质2(行列式按行展开法则)行列式等于它的任一行各元素与其对应的代数
5、余子式乘积的和 即 Dai1Ai1ai2Ai2 ainAin(i=1 2 n)推论(行列式按列展开法则)行列式等于它的任一列各元素与其对应的代数余子式乘积的和 即 Da1j A1ja2j A2j anj Anj(j=1 2 n)例 设则(1)A的第3列元素3,2,4,8正好是AT的第3行元素;(2)A的第3列元素的余子式正好是|AT|的第3行元素的余子式的转置,故|A|=|AT|=AT的第3行元素与其对应的代数余子式乘积的和 =A的第3列元素与其对应的代数余子式乘积的和又对应元素的代数余子式的符号关系一致,v性质3(线性性质）(1)行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k 等于用数k乘此
6、行列式(2)推论(1)行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面(2)某一行(列)的所有元素全为0的行列式其值为0.v性质4 行列式中如果有两行(列)完全相等 则行列式等于零 推论 行列式中如果有两行(列)元素成比例 则行列式等于零 v性质5 把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去 行列式不变 即v性质6(反对称性质)行列式的两行(列)对换 行列式的值反号 证 即v初等变换与行列式 性质3(1)设以下A,B都是方阵.则|B|=k|A|.则|B|=k|A|.性质5则|B|=|A|.性质6则|B|=|A|.综上,我们有命题则|A|与|B|要么
7、同时为0,要么同时不为0.(2)设n阶方阵A满足|A|0,且A经过有限次初等行变换变成行简化阶梯矩阵R,则R=En.则|B|=|A|.则|B|=|A|.注 在计算行列式中,经常需要用初等变换来“打洞”,可以看出“打洞”中起主要作用的是性质5.v性质7 行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零 即 ai1Aj1ai2Aj2 ainAjn 0(ij)或 a1i A1ja2i A2j ani Anj0(ij)v综合结论 则A12A22+4A32+2A42=D=57,A21+2A22+4 A23+2 A24=0.例 对于n阶上三角行列式,有提示 利用性质1及下三角行列式的结果 上三角形,下三角形及对角形行列式的值等于主对角线上n个元素的乘积例 设则2例 设5阶方阵求|A|.解从而|A|=0.注 此题中A是所谓的反对称矩阵,奇数阶反对称矩阵的行列式的值必为0(第14页例4).