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1、第第一一章章1 1把握热把握热点考向点考向应用创新演练应用创新演练 考点一考点一 考点二考点二 理解教理解教材新知材新知 知识点知识点一一 知识点知识点二二 知识点知识点三三 考点三考点三 考点四考点四 问题问题1：我们知道铜、铁、铝、金、银都是金属，它：我们知道铜、铁、铝、金、银都是金属，它们有何物理性质？们有何物理性质？提示：都能导电提示：都能导电 问题问题2：由问题：由问题1你能得出什么结论？你能得出什么结论？提示：一切金属都能导电提示：一切金属都能导电问题问题3：若数列：若数列an的前四项为的前四项为2,4,6,8，试写出，试写出an.提示：提示：an2n(nN)问题问题4：上面问题：
2、上面问题2、3得出结论有何特点？得出结论有何特点？提示：都是由几个特殊事例得出一般结论提示：都是由几个特殊事例得出一般结论归纳推理归纳推理定定义义 特征特征根据一根据一类类事物中事物中 具有某种属性，推断具有某种属性，推断该类该类事物中事物中 都有都有这这种属性，将种属性，将这这种推理方式称种推理方式称为归纳为归纳推理推理.归纳归纳推理是由推理是由 ，由，由 的推理的推理.部分事物部分事物每一每一个事物个事物部分到整体部分到整体个个别别到一般到一般问题问题1：试写出三角形的两个性质：试写出三角形的两个性质 问题问题2：你能由三角形的性质推测空间四面体的性：你能由三角形的性质推测空间四面体的性质
3、吗？试写出来质吗？试写出来 问题问题3：试想由三角形的性质推测四面体的性质体现了：试想由三角形的性质推测四面体的性质体现了什么？什么？提示：由一类事物的特征推断另一类事物的类似特征，提示：由一类事物的特征推断另一类事物的类似特征，即由特殊到特殊即由特殊到特殊定定义义特征特征由于两由于两类类不同不同对对象具有某些象具有某些 ，在此基，在此基础础上，根据一上，根据一类对类对象的象的其他特征，推断另一其他特征，推断另一类对类对象也具有象也具有 ，把，把这这种推理种推理过过程称程称为类为类比推比推理理.类类比推理是比推理是 之之间间的推理的推理.类类似的特似的特征征类类似的其他似的其他特征特征两两类类
4、事物特征事物特征 1.合情推理的含义合情推理的含义 合情推理是根据合情推理是根据 、已有的事实和正确的结论、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式推测出某些结果的推理方式 和和 是最常见的合情推理是最常见的合情推理归纳推理归纳推理类比推理类比推理实验实验和和实实践的践的结结果果个人的经验和个人的经验和直觉直觉 2.演演绎绎推理的含推理的含义义 演演绎绎推理是根据推理是根据 和和 ，按照，按照严严格的格的逻辑逻辑法法则则得到新得到新结论结论的推理的推理过过程。程。已知的事实已知的事实正确的结论正确的结论 1.归纳推理的特点归纳推理的特点 （1）由
5、归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论）由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否正确，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，归纳是否正确，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，归纳推理不能作为数学证明的工具；推理不能作为数学证明的工具；（2）一般地，如果归纳的个别对象越多，越具有代）一般地，如果归纳的个别对象越多，越具有代表性，那么推广的一般性结论也就越可靠。表性，那么推广的一般性结论也就越可靠。2.类比推理的特点类比推理的特点 （1）运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象；）运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象；（2）如果类比的两类对象的相似性越多，相似的性）如果类比的两类对象的相似性越多，相
6、似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可靠；可靠；（3）由类比推理得到的结论也具有猜测的性质，结）由类比推理得到的结论也具有猜测的性质，结论是否正确，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，类论是否正确，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，类比推理不能作为数学证明的工具比推理不能作为数学证明的工具.一点通一点通根据给出的数与式，归纳一般结论的思路：根据给出的数与式，归纳一般结论的思路：(1)观察数与式的结构特征，如数、式与符号的关系，代观察数与式的结构特征，如数、式与符号的关系，代数式的相同或相似之处等；数式的相同或相似之处等；(2)提炼
7、出数、式的变化规律；提炼出数、式的变化规律；(3)运用归纳推理写出一般结论运用归纳推理写出一般结论 例例2数一数图中的凸多面体的面数数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数、顶点数V和棱和棱数数E，然后用归纳推理得出它们之间的关系，然后用归纳推理得出它们之间的关系思路点拨思路点拨先找出凸多面体的面数、顶点数和棱数，先找出凸多面体的面数、顶点数和棱数，观察它们之间有什么关系，再归纳出一般性的结论观察它们之间有什么关系，再归纳出一般性的结论 精解详析精解详析正方体：正方体：F6，V8，E12；三棱柱：三棱柱：F5，V6，E9；五棱柱：五棱柱：F7，V10，E15；四棱锥：四棱锥：F5，V5，E8；两个
8、同底面的四棱锥组成的组合体：两个同底面的四棱锥组成的组合体：F8，V6，E12；通过以上观察发现通过以上观察发现F，V，E满足以下关系：满足以下关系：FVE2.所以归纳出所以归纳出F，V，E的一般性结论为：在凸多面体的一般性结论为：在凸多面体中，面数中，面数F、顶点数、顶点数V和棱数和棱数E满足以下关系：满足以下关系：FVE2.一点通一点通解决此类问题可以从两个方面入手：解决此类问题可以从两个方面入手：(1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与序号的关系从图形的数量规律入手，找到数值变化与序号的关系 (2)从图形的结构变化规律入手，发现图形的结构每发生一从图形的结构变化规律入手，发现图形的结构
9、每发生一次变化，与上一次比较，数值发生了怎样的变化次变化，与上一次比较，数值发生了怎样的变化4把把1,3,6,10,15,21，这些数叫做三角形数，这是因为个数这些数叫做三角形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正三角形等于这些数目的点可以分别排成一个正三角形(如图如图)试求第七个三角形数是试求第七个三角形数是()A27B28C29 D30解析：解析：第七个三角形数为第七个三角形数为123456728.答案：答案：B5将自然数将自然数0,1,2，按照如下形式进行摆放：，按照如下形式进行摆放：根据以上规律判定，从根据以上规律判定，从2 010到到2 012的箭头方向是的箭头方向是()
10、解析：解析：本题中的数字及箭头方向都有一定的规律箭头本题中的数字及箭头方向都有一定的规律箭头每经过四个数就要重复出现，即以每经过四个数就要重复出现，即以4为周期变化为周期变化.2 012恰恰好是好是4的倍数，的倍数，2 010应该与应该与2的起始位置相同的起始位置相同答案：答案：C6设平面内有设平面内有n条直线条直线(n3)，其中有且仅有两条直线互，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点若用相平行，任意三条直线不过同一点若用f(n)表示这表示这n条直线交点的个数，则条直线交点的个数，则f(4)_；当；当n4时，时，f(n)_.(用含用含n的数学表达式表示的数学表达式表示)解析：解
11、析：画图可知，画图可知，f(4)5，当，当n4时，时，可得递推式可得递推式f(n)f(n1)n1，由，由f(n)f(n1)n1，f(n1)f(n2)n2，例例3找出圆与球的相似性质，并用圆的下列性质找出圆与球的相似性质，并用圆的下列性质类比球的有关性质类比球的有关性质(1)圆心与弦圆心与弦(非直径非直径)中点的连线垂直于弦；中点的连线垂直于弦；(2)与圆心距离相等的两弦长相等；与圆心距离相等的两弦长相等；(3)圆的周长圆的周长Cd(d是直径是直径)；(4)圆的面积圆的面积Sr2.思路点拨思路点拨先找出相似的性质再类比，一般是点类先找出相似的性质再类比，一般是点类比线、线类比面、面类比体比线、线
12、类比面、面类比体 精解详析精解详析圆与球有下列相似的性质：圆与球有下列相似的性质：(1)圆是平面上到一定点的距离等于定长的所有点构圆是平面上到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合；球面是空间中到一定点的距离等于定长的所有成的集合；球面是空间中到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合点构成的集合 (2)圆是平面内封闭的曲线所围成的对称图形；球是空圆是平面内封闭的曲线所围成的对称图形；球是空间中封闭的曲面所围成的对称图形间中封闭的曲面所围成的对称图形 通过与圆的有关性质类比，可以推测球的有关性质通过与圆的有关性质类比，可以推测球的有关性质.圆圆球球圆圆心与弦心与弦(非直径非直径)中点的中点的连连
13、线线垂直于弦垂直于弦球心与截面球心与截面(不不经过经过球心的小球心的小圆圆面面)圆圆心的心的连线连线垂直于截面垂直于截面与与圆圆心距离相等的两条弦心距离相等的两条弦长长相等相等与球心距离相等的两个截面的与球心距离相等的两个截面的面面积积相等相等圆圆的周的周长长Cd球的表面球的表面积积Sd2圆圆的面的面积积Sr2球的体球的体积积V r3 一点通一点通解决此类问题，从几何元素的数目、位置关解决此类问题，从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手，将平面几何的相关结论类比到立体几系、度量等方面入手，将平面几何的相关结论类比到立体几何中，相关类比点如下：何中，相关类比点如下：平面图形平面图形立体图形立
14、体图形点点点、线点、线直线直线直线、平面直线、平面边长边长棱长、面积棱长、面积面积面积体积体积三角形三角形四面体四面体线线角线线角面面角面面角平行四边形平行四边形平行六面体平行六面体圆圆球球7平面内平行于同一直线的两直线平行，由此类比我们可平面内平行于同一直线的两直线平行，由此类比我们可以得到以得到 ()A空间中平行于同一直线的两直线平行空间中平行于同一直线的两直线平行B空间中平行于同一平面的两直线平行空间中平行于同一平面的两直线平行C空间中平行于同一直线的两平面平行空间中平行于同一直线的两平面平行D空间中平行于同一平面的两平面平行空间中平行于同一平面的两平面平行解析：解析：利用类比推理，平面
15、中的直线和空间中的平面利用类比推理，平面中的直线和空间中的平面类比类比答案：答案：D答案：答案：C9如如图图所示，在所示，在ABC中，射影定理可表中，射影定理可表示示为为abcos Cccos B，其中，其中a，b，c分分别为别为角角A，B，C的的对边对边，类类比上述定理，写出比上述定理，写出对对空空间间四面四面体性体性质质的猜想的猜想 例例4类比实数的加法和向量的加法，列出它们相似的类比实数的加法和向量的加法，列出它们相似的运算性质运算性质 精解详析精解详析(1)两实数相加后，结果是一个实数，两向两实数相加后，结果是一个实数，两向量相加后，结果仍是向量；量相加后，结果仍是向量；(2)从运算律
16、的角度考虑，它们都满足交换律和结合律，从运算律的角度考虑，它们都满足交换律和结合律，即：即：abba，abba，(ab)ca(bc)，(ab)ca(bc)；(3)从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，即减法运从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，即减法运算，即算，即ax0与与ax0都有唯一解，都有唯一解，xa与与xa；(4)在实数加法中，任意实数与在实数加法中，任意实数与0相加都不改变大小，相加都不改变大小，即即a0a.在向量加法中，任意向量与零向量相加，既不改在向量加法中，任意向量与零向量相加，既不改变该向量的大小，也不改变该向量的方向，即变该向量的大小，也不改变该向量的方向，即a0a.一点通一
17、点通运用类比推理常常先要寻找合适的类比对运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象，本例中实数加法的对象为实数，向量加法的对象为向象，本例中实数加法的对象为实数，向量加法的对象为向量，且都满足交换律与结合律，都存在逆运算，而且实数量，且都满足交换律与结合律，都存在逆运算，而且实数0与零向量与零向量0分别在实数加法和向量加法中占有特殊的地位分别在实数加法和向量加法中占有特殊的地位因此我们可以从这四个方面进行类比因此我们可以从这四个方面进行类比10试根据等式的性质猜想不等式的性质并填写下表试根据等式的性质猜想不等式的性质并填写下表.等式等式不等式不等式abacbcabacbcaba2b2答案：答案：a
18、bacbcabacbc(c0)ab0a2b2.(说明：说明：“”也可改为也可改为“”)1用用归纳归纳推理可从具体事例中推理可从具体事例中发现发现一般一般规规律，但律，但应应注注意，意，仅仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论结论不不一定可靠，其一定可靠，其结论结论的正确与否，的正确与否，还还要要经过严经过严格的理格的理论证论证明明 2进进行行类类比推理比推理时时，要尽量从本，要尽量从本质质上思考，不要被表上思考，不要被表面面现现象所迷惑，否象所迷惑，否则则，只抓住一点表面的相似甚至假象就，只抓住一点表面的相似甚至假象就去去类类比，就会犯机械比，就会犯机械类类比的比的错误错误 3多用下列技巧会提高所得多用下列技巧会提高所得结论结论的准确性：的准确性：(1)类类比比对对象的共同属性或相似属性尽可能的多些象的共同属性或相似属性尽可能的多些 (2)这这些共同属性或相似属性些共同属性或相似属性应应是是类类比比对对象的主要属象的主要属性性 (3)这这些共同些共同(相似相似)属性属性应应包括包括类类比比对对象的各个方面，象的各个方面，并尽可能是多方面并尽可能是多方面