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1、(人教版)数学八年级上册香河六中香河六中 马静云马静云 12.3 等腰三角形（等腰三角形（1）探究如图,把一张长方形的纸按图中虚线对折,将三角形部分剪下展开,得到的三角形有什么特点?等腰三角形等腰三角形一一.基本概念基本概念 1.定义定义:两条边相等的两条边相等的三角形三角形叫做等腰三角形叫做等腰三角形.如图如图AB=AC，就是等腰三角形就是等腰三角形 2.等腰三角形的基本要素等腰三角形的基本要素:相等的两边叫做相等的两边叫做腰腰另一边叫做另一边叫做 底边底边 两腰的夹角叫做两腰的夹角叫做顶角顶角 腰和底边的夹角叫做腰和底边的夹角叫做底角底角 ABC腰腰腰腰底边底边顶角顶角底角底角底角底角如右
2、图，在如右图，在DEF中，中，DE=DF,请问：请问：哪些边是腰？哪些边是腰？DEF底边是哪条边？底边是哪条边？顶角是哪个角？顶角是哪个角？底角是哪些角？底角是哪些角？拿出你的等腰三角形纸片，把纸片折折看，让拿出你的等腰三角形纸片，把纸片折折看，让两腰两腰ABAB、ACAC重叠在一起，折痕为重叠在一起，折痕为ADAD.你能发现什么你能发现什么现象吗？现象吗？做一做、想一想、说一说做一做、想一想、说一说 等腰三角形是一种特殊的三角形，它除具有等腰三角形是一种特殊的三角形，它除具有一般三角形的性质外，还有一些特殊的性质吗？一般三角形的性质外，还有一些特殊的性质吗？D看看你本组其看看你本组其他同学的
3、情况他同学的情况,共同交流共同交流,能能得出什么结论得出什么结论?(1)等腰三角形是轴对称图形。等腰三角形是轴对称图形。(2)B=C(3)BADCAD，AD为顶角的平分线为顶角的平分线(4)ADB=ADC=90 AD为底边上的高为底边上的高(5)BD=CD，AD为底边上的中线。为底边上的中线。现象现象(3)、(4)、(5)能用一句话归纳出来吗？能用一句话归纳出来吗？现象现象(2)能用一句话归纳出来吗？能用一句话归纳出来吗？等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的顶角平分线、底边上的高和底边等腰三角形的顶角平分线、底边上的高和底边上的中线互相重合（简称上的中线互相重合（简称“
4、三线合一三线合一”）现象现象等腰三角形的性质等腰三角形的性质1、等腰三角形的两个底角相等（简称、等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角等边对等角”）2、等腰三角形的、等腰三角形的顶角顶角平分线平分线、底边底边上的高上的高和和底边底边上的上的中线中线互相重合（简称互相重合（简称“三线合一三线合一”）一般的三角一般的三角形有这种性形有这种性质吗？质吗？要注意是指顶角要注意是指顶角的平分线、底边的平分线、底边上的高、底边上上的高、底边上的中线这三线重的中线这三线重合。合。已知：如图，ABC中，AB=AC。求证：B=CABCD1 2在BAD和CAD中，AB=AC（已知）1=2（辅助线作法）AD=A
5、D（公共边）BADCAD（SAS）B=C（全等三角形的对应角相等）你还有其它的方法吗？性质性质1：等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等（简称（简称“等边对等角等边对等角”）如何证明证明：作顶角的角平分线AD，第二种第三种ABCDABCD作ABC的高线AD，垂直底边BC于D。作ABC的中线AD，交底边BC于D。等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线,底边上的高互相重合.性质2(三线合一)BD=CD,ADB=ADC=90.ABCD1 2证明：作顶角的平分线AD.在BAD和CAD中,AB=AC,1=2,AD=AD,BADCAD CDBA在在ABC中，中，AB=AC，B=C（）等腰三角形的性
6、质等腰三角形的性质 等边对等角等边对等角（1 1）ADBC，_=_，_=_ （2 2）AD是中线，是中线，_ _，_=_=_ （3 3）AD是角平分线，是角平分线，_ _，_=_BAD CADBD CD AD BC AD BCBAD CADBD CD在在ABC中，中，AB=AC时，时，等腰三角形等腰三角形底边底边上上的中线和高线的中线和高线、顶顶角角的平分线的平分线互相重互相重合。合。(2)要注意是哪三线要注意是哪三线?做一做做一做2：画出手中等腰三角形的某一底：画出手中等腰三角形的某一底角平分线、对边角平分线、对边(腰腰)上的中线和高，看上的中线和高，看是否重合？是否重合？等腰三角形的等腰三
7、角形的顶角平分线、底边上的中线顶角平分线、底边上的中线和底边上的高和底边上的高互相互相重合重合，简称简称“三线合一三线合一”(1)“等腰三角形等腰三角形”是是三线合一三线合一的大前的大前提提GECBAF如图：如图：BF为为AC边上的高，边上的高，BE为为 ABC的平分线，的平分线，BG为为AC边上的中线边上的中线CABD例例1已知：已知：在在ABC中，中，ABAC，B80求求C和和A的度数的度数 发散思维发散思维(1)已知：已知：在在ABC中，中，ABAC，A80求求B和和C的度数的度数发散思维发散思维(2)已知：已知：ABC是等腰三角形，其中一个角为是等腰三角形，其中一个角为80求另外两个角
8、的度数求另外两个角的度数解解：ABAC CB80()你能说出它你能说出它的理由吗？的理由吗？等边对等角等边对等角又又ABC180，A180808020例题1如图,在ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD.求ABC各角的度数.解:AB=AC,BD=BC=AD ABC=C=BDC，A=ABD（等边对等角）.设 A=x,则 BDC=A+ABD=2x,从而:ABC=C=BDC=2x.于是在ABC 中,有 A+ABC+C=x+2x+2x=180 解得:x=36 在ABC 中,A=36,ABC=C=72.ABCD 已知：如图，房屋的顶角BAC=100，过屋顶A的立柱ADBC，屋椽AB=AC
9、,求顶架上B、C、BAD、CAD的度数。解：在解：在ABC中，中，AB=AC（已知）（已知）B=C（等边对等角）（等边对等角）B=C=40(三角形内三角形内角和定理角和定理)又又ADBC（已知）（已知）BAD=CAD（等腰（等腰三角形顶角的平分线与底三角形顶角的平分线与底边上的高互相重合）边上的高互相重合）BAD=CAD=50练习练习练习练习2 2 2 2例例3、如图，在、如图，在ABC中，中，AB=AC，D是是BC边上的中点，边上的中点，B=30，求，求 1 和和 ADC的度数。的度数。ABC12D解：解：因为等腰三角形的因为等腰三角形的“三线合一三线合一”所以所以AD是是ABC的顶角平分线
10、、的顶角平分线、底边上的高，即底边上的高，即1=2ADC=90因为因为 BAC=180-30-30=120所以所以 等腰三角形一个底角为75,它的另外两个角为_等腰三角形一个角为70,它的另外两个角为 _等腰三角形一个角为110,它的另外两个角为_ 75,3070,40或或55,5535,354、已知:等腰三角形的两边长分别为5cm,8cm.(1)则第三边长为_cm(2)若周长是偶数,则第三边的长为_cm5或或85二、判断：二、判断：、如图、如图1：AB=AC 1=2（）（）BCA1 2DE图图11.等腰三角形等腰三角形一角一角的平分线，的平分线，一边一边上的上的中线，中线，一边一边上的高都是
11、它的对称轴（上的高都是它的对称轴（）.等腰三角形的等腰三角形的两角两角相等（）相等（）2.三角形的高线三角形的高线.角平分线角平分线.中线三线合一（）中线三线合一（）试一试！试一试！填空：填空：55o、55o70o、40o55o、55o或或70o、40o1、已知等腰三角形的、已知等腰三角形的顶角顶角是是70o，则它的其，则它的其它两角的度数是它两角的度数是 。2、已知等腰三角形的、已知等腰三角形的底角底角是是70o，则它的其，则它的其它两角的度数是它两角的度数是 。3、已知等腰三角形的一个、已知等腰三角形的一个内角内角是是70o，则它，则它的其它两角的度数是的其它两角的度数是 。4.等腰直角三
12、角形的等腰直角三角形的每一个锐角每一个锐角都等于都等于45达标练习二(A 水平)一、填空题：一、填空题：1、等腰三角形若两边长为、等腰三角形若两边长为3和和7，则其周长为，则其周长为_。2、如果等腰三角形的一个底角、如果等腰三角形的一个底角为为50，那么其余两个角，那么其余两个角为为_和和_。3、如果等腰三角形的、如果等腰三角形的顶顶角角为为80，那么它的一个底角，那么它的一个底角为为_。4、等腰三角形的底角可以是直角或钝角吗？为什么？、等腰三角形的底角可以是直角或钝角吗？为什么？二、判断题：二、判断题：1、等腰三角形的底角都是、等腰三角形的底角都是锐锐角角()2、钝钝角三角形不可能是等腰三角
13、形角三角形不可能是等腰三角形()17508050达标练习二(B水平)1、若等腰三角形的一个内角为、若等腰三角形的一个内角为 40,则它的另外两个则它的另外两个内角为内角为_2、若等腰三角形的一个内角为若等腰三角形的一个内角为120,则它的另外两个则它的另外两个内角为内角为_70,70或或40，100 30,30 顶角顶角+2+2底角底角=180=180 顶角顶角=180=1802 2底角底角 底角底角=（180180顶角）顶角）2 2结论结论:在等腰三角形中，已知一个角，就可以求出另外两个角。在等腰三角形中，已知一个角，就可以求出另外两个角。当已知任意一个内角时当已知任意一个内角时,则要分情况
14、讨论则要分情况讨论 四：发散思维四：发散思维(1)已知：已知：在在ABC中，中，ABAC，A80求求B和和C的度数的度数(2)已知：已知：ABC是等腰三角形，其中一个角为是等腰三角形，其中一个角为80求另求另外两个角的度数如果已知的角为外两个角的度数如果已知的角为 呢？呢？呢？呢？感悟感悟:当等腰三角形中角的位置不明确时要分类讨论当等腰三角形中角的位置不明确时要分类讨论1.当给出的角为锐角时它可能是底角也可能是顶角当给出的角为锐角时它可能是底角也可能是顶角2.当给出的角是直角或钝角时它只能是顶角当给出的角是直角或钝角时它只能是顶角 试一试！试一试！能力提升能力提升.填空填空1.一等腰三角的一个角是另一个角的一等腰三角的一个角是另一个角的2倍，则此三倍，则此三角形的各角的度数分别是角形的各角的度数分别是2.等腰三角形的对称轴有等腰三角形的对称轴有条条小小 结结1.性质1:等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等。2.性质2:等腰三角形的顶角平分线等腰三角形的顶角平分线,底边底边上的中线上的中线,底边上的高互相重合底边上的高互相重合.作作 业业A.教科书：51页 1，2，3，题B.教科书：56页 1，2，3，4题