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1、2.3 极限运算法则极限运算法则2.3.1 极限四则运算法则极限四则运算法则2.3.2 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量2.3.3 极限的复合运算法则极限的复合运算法则 本节讨论极限的求法。利用极限的定义，从变量本节讨论极限的求法。利用极限的定义，从变量的变化趋势来观察函数的极限，对于比较复杂的函的变化趋势来观察函数的极限，对于比较复杂的函数难于实现。为此需要介绍极限的运算法则。首先数难于实现。为此需要介绍极限的运算法则。首先来介绍来介绍极限四则运算法则极限四则运算法则。12.3.1 极限四则运算法则极限四则运算法则定理定理1注注(1),(2)可推广到任意有限个具有极限的函数可推广到任意有
2、限个具有极限的函数定理中极限号下面没有指明极限过程，是指对定理中极限号下面没有指明极限过程，是指对任何一个过程都成立，此定理对于数列同样成立任何一个过程都成立，此定理对于数列同样成立定理简言之即是：和、差、积、商的极限定理简言之即是：和、差、积、商的极限等于极限的和、差、积、商等于极限的和、差、积、商定理的条件：定理的条件：存在存在商商的情形还须加上分母的极限不为的情形还须加上分母的极限不为02积规则有两个重要的推论积规则有两个重要的推论推论推论1 1常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面.推论推论2 2解解注注3例例2 2解解注注这种求极限的方法称之为这种求极限的方法称之为
3、代入法代入法。一般求极限时应先用一般求极限时应先用代入法代入法试试。试试。简单型简单型4例例3 3解解(消去零因子法消去零因子法)【注】【注】对分对分子、分子、分母极限母极限均均为为0情形的有理式情形的有理式,先约先约去分子分母的公因子去分子分母的公因子 ,再求极限。再求极限。5例例4 4 解解(根式有根式有理化理化)6解解练习：练习：273lim21-+xxxx解解求求)2(lim1-+xx1-x)73(lim2+xx273lim21-+xxxx5=15=21+-7)1(3)1(2+-+-=求求解解；原式原式=72.3.2 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量一、无穷小量一、无穷小量 在实际
4、应用中，经常会遇到极限为在实际应用中，经常会遇到极限为0的变量。的变量。对于这种变量不仅具有实际意义，而且更具有理对于这种变量不仅具有实际意义，而且更具有理论价值，值得我们单独给出定义论价值，值得我们单独给出定义定义定义1:在在x的某一变化过程中的某一变化过程中,函数函数f(x)极限为零极限为零,称称f(x)为该过程的为该过程的无穷小量无穷小量（简称（简称无穷小无穷小）.例如例如 :8注意注意1.称函数为无穷小，必须指明自变量的称函数为无穷小，必须指明自变量的变化过程；变化过程；2.无穷小是变量无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;3.零是可以作为无穷小的唯一的数零是可以作为无穷
5、小的唯一的数.无穷小无穷小9二、无穷大量二、无穷大量注意注意1.无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;3.无穷大是一种特殊的无界变量无穷大是一种特殊的无界变量,但是无但是无界变量未必是无穷大界变量未必是无穷大.10三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系意义意义 据此定理，据此定理，关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,都可归结都可归结为关于无穷小的讨论为关于无穷小的讨论.若若为无穷大为无穷大,为无穷小为无穷小 ;若若为无穷小为无穷小,且且则则为无穷大为无穷大.则则定理定理3 3 在自变量的同一变化过程中在自变量的同一变化过程中,0C 型型再利用再利用无穷无穷小小
6、与无穷与无穷大大 之间的关系之间的关系,可得可得:解解11例例7 7解解(无穷小因子分出法无穷小因子分出法)一般地一般地 ,设设0,000 ba ,nm,为正整数为正整数 ,则则12-型型 【注】【注】对对-型型 的有理式函数求的有理式函数求极限极限 ,先通分先通分,后求极限。后求极限。例例8 解解原式原式13证证 必要性必要性充分性充分性意义意义 将一般极限问题转化为特殊极限问题将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小无穷小);14无穷小的性质无穷小的性质（2）有界函数与无穷小的乘积是无穷小）有界函数与无穷小的乘积是无穷小.（1）有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小）有限个无穷小的和、差、积仍
7、是无穷小.（3 3）在同一过程中）在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小积是无穷小.（4 4）常数与无穷小的乘积是无穷小）常数与无穷小的乘积是无穷小.例例5 5解解152.3.3 极限的复合运算法则极限的复合运算法则定理定理5 5 （极限复合运算法则极限复合运算法则变量代换法则变量代换法则）例例9 9解解163.无穷小与无穷大是相对于过程而言的无穷小与无穷大是相对于过程而言的.1、主要内容、主要内容:两个定义两个定义;四个定理四个定理.2、几点注意、几点注意:（1）无穷小（无穷小（大）是变量大）是变量,不能与很小（大）的数不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；混淆，零是唯一的无穷小的数；（2 2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.（3）无界变量未必是无穷大无界变量未必是无穷大.小结小结1.极限的四则运算法则及其推论极限的四则运算法则及其推论;2.极限求法极限求法;a.多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限.17