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1、上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology一、隐函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数2.4 由方程所确定的函数的导数三、相关变化率上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology一、隐函数的导数v显函数与隐函数 形如yf(x)的函数称为显函数 例如 ysin x yln xex 都是显函数 由方程F(x y)0所确的函数称为隐函数 把一个隐函数化成显函数 叫做隐函数的显化 例如 方程xy310确定的隐函数为 31 xy上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Che
2、mical Technology 提示:例1 求由方程y22x y90所确定的隐函数y的导数 2y y2y2x y 0 即 (yx)yy v隐函数的求导法 把方程两边分别对x求导数 然后从所得的新的方程中把隐函数的导数解出 一、隐函数的导数方程中每一项对x求导得 解 (xy)yxy (y2)2yy 从而 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 例2 求由方程y52yx3x70所确定的隐函数yf(x)在x0处的导数y|x0 因为当x0时 从原方程得y0 所以 5y4y2y121x60把方程两边分别对x求导数得 解法一 上页 下页 返回
3、退出 Jlin Institute of Chemical Technology 5y4y2y121x60 根据原方程 当x0时 y0 将其代入上述方程得 2y10 从而 y|x005把方程两边分别对x求导数得 解法二 例2 求由方程y52yx3x70所确定的隐函数yf(x)在x0处的导数y|x0 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 解 例3 求曲线 在点 处的切线方程和法线方程 方程两边求导数得 于是 在点 处y1 所求切线方程为 即 所求法线方程为 即 xy0 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Che
4、mical Technology 解 上式两边再对x求导 得 方程两边对x求导 得 的二阶导数 例4 求由方程所确定的隐函数 yy1xey ye yxe yy 于是上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technologyy f(x)ln f(x)对数求导法适用于求幂指函数yu(x)v(x)的导数及多因子之积和商的导数 此方法是先在yf(x)的两边取对数 然后用隐函数求导法求出y的导数 设yf(x)两边取对数 得ln yln f(x)两边对x 求导 得v对数求导法上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technol
5、ogy 例5 求yx sin x(x0)的导数 解法二 这种幂指函数的导数也可按下面的方法求 解法一 上式两边对x 求导 得 两边取对数 得 ln ysin xln x yx sin xe sin xln x 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology上式两边对x求导 得 说明 严格来说 本题应分x4 x1 2x3三种情况讨论 但结果都是一样的 例6 求函数)4)(3()2)(1(xxxxy的导数先在两边取对数 得 xln y21ln(x 1)ln(x 2)ln(x 3)ln(4)解 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute
6、of Chemical Technology二、由参数方程所确定的函数的导数 设xj(t)具有反函数tj1(x)且tj1(x)与yy(t)构成复合函数yyj1(x)若xj(t)和yy(t)都可导 则上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 解 所求切线的斜率为切线方程为切点的坐标为 例7 求曲线 在处 的切线方程 即上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 再求速度的方向 设是切线的倾角 则轨道的切线方向为于是抛射体在时刻 t 的运动速度的大小为 x(t)v1 y(t)v2gt
7、求抛射体在时刻t的运动速度的大小和方向 速度的水平分量与铅直分量分别为 先求速度的大小 解 例8 抛射体运动轨迹的参数方程为 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology提示讨论 已知xj(t),yy(t)如何求y对x的二阶导数y?上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology的函数yf(x)的二阶导数 例9 解 (t2np n为整数)上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology三、相关变化率 设xx(t)及yy(t)都是可导函数 而变
8、量x与y间存在某种关系 从而变化率与间也存在一定关系 这两个相互依赖的变化率称为相关变化率 相关变化率问题就是研究这两个变化率之间的关系 以便从其中一个变化率求出另一个变化率 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 例10 一气球从离开观察员500m处离地面铅直上升 其速度为140m/min(分)当气球高度为500m时 观察员视线的仰角增加率是多少？解 设气球上升t(秒)后 其高度为h 观察员视线的仰角为 则500tanh又当h500(米)时 sec22 500m500m)气球观察员上式两边对t求导 得()/已知140dtdh米 秒上
9、页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 例10 一气球从离开观察员500m处离地面铅直上升 其速度为140m/min(分)当气球高度为500m时 观察员视线的仰角增加率是多少？解 设气球上升t(秒)后 其高度为h 观察员视线的仰角为 则500tanh 上式两边对t求导 得 已知140dtdh(米/秒)又当h500(米)时 sec22 将已知数据代入上式得 度 秒14.050070dtd(弧/)即观察员视线的仰角增加率是每秒0 14弧度 所以上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology总结任何初等函数的导数都可以按常数和基本初等函数的求导公式和上述求导法则求出.关键:正确分解初等函数的复合结构.