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1、3.1.4 3.1.4 空间向量的正交空间向量的正交分解及其坐标表示分解及其坐标表示平面向量基本定理：平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的正交分解及坐标表示xyo【温故知新】问题：问题：我们知道，平面内的任意一个向量我们知道，平面内的任意一个向量 都可以都可以用两个不共线的向量用两个不共线的向量 来表示（平面向量基本定来表示（平面向量基本定理）。对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢理）。对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？xyzOQP 由此可知，如果由此可知，如果 是空间两是空间两两垂直的向量，那么，对空间任一两垂直的向量，那么，对空间任一向量向量 ，存在一个有序实数组，存在一个有
2、序实数组 x,y,z使得使得 我们称我们称 为向量为向量 在在 上的分向量。上的分向量。探究：探究：在空间中，如果用任意三个不共面向量在空间中，如果用任意三个不共面向量 代替两两垂直的向量代替两两垂直的向量 ，你能得出类似的，你能得出类似的 结论吗？结论吗？任意任意不共面不共面的三个向量都可做为空间的一个的三个向量都可做为空间的一个基底基底。一、空间向量基本定理：一、空间向量基本定理：如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量 ，存在一个唯一的有序实数组x,y,z，使都叫做都叫做基向量基向量（1）任意）任意不共面不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。的三个向量都可做为空间的一个基底。特别提示：
3、特别提示：对于基底对于基底a,b,c,除了应知道除了应知道a,b,c不共面，不共面，还应明确：还应明确：（2）由于可视由于可视 为与任意一个非零向量共线，与任为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是它们都不是 。（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念。底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念。推论：推论：设设O、A、B、C是不共线的四点，则对空间任一是不共线的四点，则对空间任一点点P，都存在唯一的有序实数组，都
4、存在唯一的有序实数组x,y,z，使，使 当且仅当当且仅当x+y+z=1时，时，P、A、B、C四点共面四点共面。1、已知向量、已知向量a，b，c是空间的一个基底是空间的一个基底求证：向量求证：向量a+b，a-b，c能构成空间的一个基底能构成空间的一个基底练习练习二、空间直角坐标系二、空间直角坐标系 单位正交基底：单位正交基底：如果空间的一个基底的如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个，则这个基底叫做基底叫做单位正交基底单位正交基底,常用常用e1,e2,e3 表示表示 空间直角坐标系：空间直角坐标系：在空间选定一点在空间选定一点O和一和一个单位正交基
5、底个单位正交基底 e1,e2,e3,以点以点O为原点，分别为原点，分别以以e1,e2,e3的正方向建立三条数轴：的正方向建立三条数轴：x轴、轴、y轴、轴、z轴，它们都叫做坐标轴轴，它们都叫做坐标轴.这样就建立了一个这样就建立了一个空间直角坐标系空间直角坐标系O-xyz 点点O叫做原点，向量叫做原点，向量e1,e2,e3都叫做都叫做坐标向量坐标向量.通过每两个坐通过每两个坐标轴的平面叫做标轴的平面叫做坐标平面坐标平面。xyzOe1e2e3 给定一个空间坐标系和向给定一个空间坐标系和向量量 ,且设且设e1,e2,e3为坐标向量，为坐标向量，由空间向量基本定理，存在唯由空间向量基本定理，存在唯一的有
6、序实数组一的有序实数组(x,y,z)使使 p=xe1+ye2+ze3 有序数组有序数组(x,y,z)叫做叫做p在空间在空间直角坐标系直角坐标系O-xyz中的坐标，中的坐标，记作记作.P=(x,y,z)三、空间向量的直角坐标系三、空间向量的直角坐标系xyzOe1e2e3例例1 1平行六面体中平行六面体中,点点MC=2=2AM,A1 1N=2=2ND,设设AB=a,AD=b,AA1 1=c,试用试用a,b,c表示表示MN.分析分析:要用要用a,b,c表示表示MN,只要结合图形只要结合图形,充充分运用空间向量加法分运用空间向量加法和数乘的运算律即可和数乘的运算律即可.ABCDA1B1D1C1MN解解
7、:ABCDA1B1D1C1MN连连AN,则则MN=MA+ANMN=MA+ANMA=MA=AC=AC=(a+b)1313AN=AD+DN=ADAN=AD+DN=ADNDND=（2 2 b+c)13=（a+b+c)13MN=MA+ANMN=MA+AN例例1 1平行六面体中平行六面体中,点点MC=2=2AM,A1 1N=2=2ND,设设AB=a,AD=b,AA1 1=c,试用试用a,b,c表示表示MN.例题例题已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N，分别是对边OA，BC的中点，点P，Q是线段MN三等分点，用基向量OA，OB，OC表示向量OP,OQ.BOACPNMQ练习练习.空间四边形空
8、间四边形OABCOABC中中,OA=,OA=a,OB=,OB=b,OC=,OC=c点点M M在在OAOA上上,且且OM=2MA,NOM=2MA,N为为BCBC的中点的中点,则则MN=().MN=().OABCMN(A)a b+c 122312(B)a+b+c 122312(C)a+b c 122312(D)a+b c 122323练习练习2练习：练习：1、在空间坐标系、在空间坐标系o-xyz中，中，(分分别是与别是与x轴、轴、y轴、轴、z轴的正方向相同的单位向量轴的正方向相同的单位向量)，则，则 的坐标为的坐标为 ，点，点B的坐标为的坐标为 。2、点、点M（2，-3，-4）在坐标平面）在坐标平面xoy、xoz、yoz内的正内的正投影的坐标分别为投影的坐标分别为 ，关于坐标平面，关于坐标平面xoy、xoz、yoz的对称点为的对称点为 ，关于原点的对称点为，关于原点的对称点为 ，关于，关于x轴轴,y轴轴,z轴的对称点分别为轴的对称点分别为 ，