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1、最好的沉淀整理第二讲选修 45不等式选讲考点一含绝对值不等式的解法1|axb|c，|axb|c 型不等式的解法(1) 若 c0，则|axb|ccaxbc，|axb|caxbc或 axbc，然后根据 a，b 的取值求解即可；(2) 若 c0)型不等式的解法(1)零点分段讨论法(2)绝对值的几何意义 (3)数形结合法解 (1)当 a1 时，f(x)|x1|x1|，2，x1，即 f(x)2x，1x1 的解集为xx. (2)当 x(0,1)时|x1|ax1|x 成立等价于当 x(0,1)时|ax1|0 时，则|ax1|1 的解集为x0x . 2所以a1，故 0a2.用零点分段讨论法解绝对值不等式的 4
2、 步(1)令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根； (2)将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间；11如有帮助欢迎下载支持(3) 由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式， 求出解集；(4) 取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集对点训练(2018湖北黄冈模拟)已知函数 f(x)|2xa|2x1|(aR ) (1)当 a1 时，求 f(x)2 的解集12(2) 若 f(x)|2x1|的解集包含集合 ，1，求实数 a 的取值范围解(1)当 a1 时，f(x)|2x1|2x1|，x1x1由 f(x)2 得2 21.1 1上述不等式化为数轴上点 x 到两点2，2的距离之和
3、小于等于 1，1111则2x2，即原不等式的解集为2，2.12(2)f(x)|2x1|的解集包含 ，1，12当 x ，1时，不等式 f(x)|2x1|恒成立，|2xa|2x12x1，12即|2xa|2，2x2a2x2 在 x ，1上恒成立，minmax(2x2)a(2x2)，0a3.考点二含绝对值不等式的综合问题1. 定理 1：如果 a，b 是实数，则|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立2. 定理 2：如果 a，b，c 是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0 时，等号成立角度 1：绝对值的几何意义及应用零点分段法转化不等式求出解集解题指导(1)利用绝对值的几何意义
4、转化为关于a的不等式求出结果(2)2x4，x1，解(1)当 a1 时，f(x)2，12.可得 f(x)0 的解集为x|2x3(2)f(x)1 等价于|xa|x2|4.而|xa|x2|a2|，且当 x2 时等号成立 故 f(x)1 等价于|a2|4.由|a2|4 可得 a6 或 a2.角度 2：含绝对值不等式的恒成立问题解(1)由题意得，当 a2018 时，f(x)2x2018，x2018，2018，xxf(x)恒成立，知|x1|xa|2 恒成立，即(|x1|xa|)min2.而|x1|xa|(x1)(xa)|1a|， 所以|1a|2，解得 a1 或 a3.绝对值恒成立问题应关注的 3 点(1)
5、 巧 用 “|a|b|ab|a|b|” 求 最 值 (2)f(x)a 恒成立f(x)maxa 恒成立f(x)mina.minmax(3) f(x)a 有解f(x)a 有解f(x)a. 对点训练1角度 1(2018山东淄博模拟)设函数 f(x)|x4|. (1)若 yf(2xa)f(2xa)的最小值为 4，求 a 的值；(2)求不等式 f(x)11 的解集2x解(1)因为 f(x)|x4|，所以 yf(2xa)f(2xa)|2xa4|2xa4|2xa4(2xa4)|2a|，又 yf(2xa)f(2xa)的最小值为 4，|2a|4，a2.a.x4(x4)，(2)f(x)|x4|0(x4)，4x(x
6、12x 等价于解得 x2 或 x12x 的解集为x|x2 或 x102角度 2(2018河南郑州二模)已知函数 f(x)|2x1|，g(x)|x|(1) 当 a0 时，解不等式 f(x)g(x)；(2) 若存在 xR ，使得 f(x)g(x)成立，求实数 a 的取值范围解(1)当 a0 时，由 f(x)g(x)得|2x1|x|，两边平方整理1得 3x24x10，解得 x1 或 x3，原不等式的解集为(13，1 ，.(2)由 f(x)g(x)得 a|2x1|x|， 令 h(x)|2x1|x|，2x1，x1，则 h(x)13x1，2x0，b0，c0，且 abc1. (1)证明：(1a)(1b)(1
7、c)8；(2)证明： a b111cabc.证明(1)1a2 a，1b2 b，1c2 c，(1a)(1b)(1c)2 a2 b2 c8 abc，abc1，(1a)(1b)(1c)8. (2)abbc2 ab2c2 b， abac2 a2bc2 a，bcac2 abc22 c，1|.上 面 三 式 相 加 得 ， 2ab2bc2ca2 a2 b2 c， 即 abbcca a b c.111又abcabbcac，111 a b cabc.1(2017全国卷)已知函数 f(x)x2ax4，g(x)|x1|x(1) 当 a1 时，求不等式 f(x)g(x)的解集；(2) 若不等式 f(x)g(x)的解
8、集包含1,1，求 a 的取值范围解(1)当 a1 时，不等式 f(x)g(x)等价于 x2x|x1|x1|40.当 x1 时，式化为 x2x40，从而 1x2.所以 f(x)g(x)x1x.1 172的解集为 (2)解法一(等价转化法)：当 x1,1时，g(x)2.所以 f(x)g(x)的解集包含1,1等价于当 x1,1时 f(x)2.又 f(x)在1,1的最小值必为 f(1)与 f(1)之一，所以 f(1)2且 f(1)2，得1a1.所以 a 的取值范围为1,1解法二(分类讨论法)：当 x1,1时，g(x)2，所以 f(x)g(x)的解集包含1,1等价于 x1,1时 f(x)2， 即x2ax
9、42，当 x0 时，x2ax42 成立；22当 x(0,1时，x2ax42 可化为 axx，而 yxx在(0,1单调递增，最大值为1，所以 a1；22当 x1,0)时，x2ax42 可化为 axx，而yxx在1,0)单调递增，最小值为 1，所以 a1.综上，a 的取值范围为1,12(2018全国卷)设函数 f(x)|2x1|x1|. (1)画出 yf(x)的图象；(2)当 x0，)时，f(x)axb，求 ab 的最小值23x，x1，解(1)f(x)1x2，2x4；32(2) 若x， ，不等式 a1f(x)恒成立，求实数 a 的取值范围解(1)f(x)|2x3|x1|，23x2，x1，x42，3
10、x243 x1，x1，或2x44或3x24x2 或 01.不等式 f(x)4 的解集为(，2)(0，)2(2)由(1)知，当 x3时，f(x)3x2，35当 x2，53a12，即 a2.32实数 a 的取值范围为， .2(2018河南新乡二模)已知函数 f(x)|x4|x1|3. (1)求不等式 f(x)2 的解集；(2)若直线ykx2 与函数f(x)的图象有公共点，求k 的取值范围解(1)由 f(x)2x1，1x4，x4，得或或22x2022x82，解得 0x5，故不等式 f(x)2 的解集为0,522x，x1，(2)f(x)|x4|x1|30，1x4 的解集；(2)若对任意的 x1，x2，
11、f(x1)g(x2)恒成立，求 m 的取值范围 解(1)解法一：不等式 f(x)4 即|x3|x1|4.x1，3x4x3，或3x1x4，x31x4解得 x1，所以不等式的解集为x|x1 解法二：|x3|x1|x3(x1)|4，当且仅当(x3)(x1)0，即3x1 时，等号成立 所以不等式的解集为x|x1min(2)依题意可知 f(x)g(x)，max由(1)知 f(x)min4，因为 g(x)x22mx(xm)2m2，所以 g(x)m . 2 max由 m24 得 m 的取值范围是2m2.4(2018西安一模)设 a、b112 2.为正实数，且ab(1)求 a2b2 的最小值；(2)若(ab)24(ab)3，求 ab 的值解(1)由 2 21121 得 ab1abab22，当 ab 2 时取等号2故 a2b22ab1，当 ab 2 时取等号所以 a2b2 的最小值是 1.(2)由112 2可得 ab2 2ab，ab(ab)2(ab)24ab8a2b24ab4(ab)3，(ab)22ab10，即(ab1)20，ab10，即 ab1.