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1、高中数学新课标选修 4-5 不等式选讲【知识梳理】1两个实数大小关系的基本事实ab? _； ab? _；ab，那么 _；如果 _，那么 ab.即 ab? _。(2)传递性：如果ab，bc，那么 _。(3)可加性：如果ab，那么 _。(4)可乘性：如果ab，c0，那么 _；如果 ab， cb0，那么 an_bn(nN，n1)。(6)开方：如果ab0，那么na_nb(n N，n1)。3绝对值三角不等式(1)性质 1：|ab|_；(2)性质 2：|a|b|_；性质 3：_|ab|_。4绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a 的解集(2)|axb|c (c0)和|axb|c (c0)型不等式
2、的解法|axb|c? _；|axb| c? _。(3)|xa|xb| c 和 |x a|xb|c 型不等式的解法利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想。5基本不等式(1)定理：如果a，bR，那么 a2b22ab，当且仅当ab 时，等号成立(2)定理 (基本不等式 )：如果 a，b0，那么ab2_ab，当且仅当 _时，等号成立。也可以表述为：两个_的算术平均 _它们的几何平均。(3)利用基本不等式求最值：对两个正实数x，y，如果它们的和S是定值，则当且仅当_时，它们的积P 取得最
3、 _值；如果它们的积P 是定值，则当且仅当_时，它们的和S取得最 _值。6三个正数的算术 几何平均不等式(1)定理如果 a，b，c 均为正数，那么abc3_3abc，当且仅当 _时，等号成立。即三个正数的算术平均_它们的几何平均。(2)基本不等式的推广：对于n 个正数 a1，a2， an，它们的算术平均_它们的几何平均，即a1a2 ann_na1a2an，当且仅当 _时，等号成立。7柯西不等式(1)设 a，b， c，d 均为实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当ad bc 时等号成立。(2)设 a1，a2，a3， an，b1，b2，b3， bn是实数，则(a21 a22 a2
4、n)(b21b22 b2n) (a1b1a2b2 anbn)2，当且仅当bi0(i1,2， n) 或存在一个数k，使得 aikbi(i 1,2， n)时，等号成立。(3)柯西不等式的向量形式：设 ，是两个向量，则| | | |，当且仅当是零向量，或存在实数k，使 k时，等号成立。8证明不等式的方法不等式a0a0a0 |x|a 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页(1)比较法：求差比较法：知道ab? ab0，ab? a bb，只要证明 _即可，这种方法称为求差比较法求商比较法： 由 ab0?ab1 且 a0，b0，因此当
5、 a0，b0 时要证明 ab，只要证明 _即可，这种方法称为求商比较法(2)分析法：从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的_，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式 (已知条件、定理等)这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法(3)综合法：从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，推导出所要证明的不等式成立，即“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法(4)反证法的证明步骤第一步：作出与所证不等式_的假设；第二步： 从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设， 从而证明原不等式成立。(5)放缩法：所谓放缩法，即要把所证不等式的一边适当地_，以利于
6、化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得到欲证不等式成立(6)数学归纳法：设 Pn是一个与自然数相关的命题集合，如果：(1)证明起始命题P1(或 P0)成立； (2)在假设 Pk成立的前提下，推出Pk1也成立，那么可以断定 Pn对一切自然数成立。1 ab0ab0ab0； 2 (1)bababc(3)acbc(4)acbcac(6) 3(1)|a|b|(2)|ab|a|b|a|b|；4(1) x| axa 或 x0ab1(2)充分条件(4)相反(5)放大或缩小【基础回归】1不等式 |2x1|x2|0 的解集为 _2不等式1|x1|3 的解集为 _3(2013 福建改编 )设不等式
7、|x2|a(aN*)的解集为 A，且32A，12?A.则 a 的值为 _4已知 a、 b、m 均为正数，且ab， Mab，Nambm，则 M、 N 的大小关系是 _5设 a32，b65，c76，则 a，b，c 的大小关系为_. 1 x|1x12.(4， 2)(0,2)；314.Mbc【题型分类】题型一含绝对值的不等式的解法例 1(2012课标全国) 已知函数f(x) |xa| |x2| 。(1) 当a 3 时，求不等式f(x) 3 的解集； (2) 若f(x) |x4| 的解集包含 1 ，2 ，求a的取值范围。解： （1）当 a 3时， f(x) 2x5， x2，1，2x3，2x5，x3.，当
8、 x2 时，由 f(x)3 得 2x 53，解得 x1；当 2x3 时， f(x)3 无解；当x3 时，由 f(x)3 得 2x53，解得 x4. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页所以 f(x)3 的解集为 x|x1 或 x4。（2）f(x)|x4|? |x 4| |x2|xa|。当 x1， 2时， |x4|x 2| |xa|? 4x(2x)|xa|? 2 ax2a。由条件得 2a 1 且 2 a2，即 3a0。故满足条件的a 的取值范围为3， 0。思维升华解绝对值不等式的基本方法：(1)利用绝对值的定义，通过分类
9、讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解。例 2已知函数f(x)|xa|。(1)若不等式f(x)3 的解集为 x|1x5，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若f(x)f(x5)m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围。解：方法一(1)由 f(x)3 得|xa|3，解得 a3xa3。又已知不等式f(x)3 的解集为 x|1x 5，所以a3 1，a35，解得 a 2。(2)当 a2 时， f(x)|x2|，设 g(x)f(x)f(x 5)，于是 g(x) |x
10、2|x3|2x 1，x2.所以当 x5；当 3x 2 时， g(x)5；当 x2 时， g(x)5。综上可得， g(x)的最小值为5。从而，若f(x)f(x5)m，即 g(x)m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为 (， 5。方法二(1)同方法一。 (2)当 a2 时， f(x)|x 2|。设 g(x)f(x)f(x5)。由 |x2|x3|(x2) (x 3)|5(当且仅当 3x2 时等号成立 )，得 g(x)的最小值为5。从而，若f(x)f(x5)m，即 g(x)m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为 (， 5。题型二柯西不等式的应用例 3已知 3x22y26，求证： 2xy11
11、。证明：由于 2xy23(3x)12(2y)，由柯西不等式(a1b1 a2b2)2(a21a22)(b21 b22)得(2xy)2(23)2(12)2(3x22y2)(4312) 6116 611， |2xy|11，2x y11。思维升华使用柯西不等式时，关键是将已知条件通过配凑，转化为符合柯西不等式条件的式子，二维形式的柯西不等式(a2b2)(c2 d2)(ac bd)2，当且仅当adbc 时等号成立。例 4若 3x 4y2，试求 x2y2的最小值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页解： 由柯西不等式 (3242)
12、 (x2y2)(3x 4y)2，得 25(x2y2)4，所以 x2y2425。不等式 中当且仅当x3y4时等号成立， x2 y2取得最小值，由方程组3x4y2，x3y4，解得x625，y825.因此当x625，y825时，x2y2取得最小值， 最小值为425。题型三不等式的证明方法例 5已知 a，b，c (0， )，且 abc1，求证： (1)(1a1) (1b 1) (1c1) 8；(2)abc3。证明(1) a，b，c(0， )，ab2ab，b c2 bc，c a2ca， (1a 1) (1b1) (1c1)bc ac ababc2 bc 2 ac 2 ababc8。(2)a， b，c(0
13、， )，ab2ab，bc 2 bc，ca2 ca，2(abc)2 ab2bc2 ca，两边同加abc 得3(abc)abc2ab2bc2 ca (abc)2. 又 abc1，(abc)2 3，abc3. 思维升华用综合法证明不等式是“由因导果 ”，分析法证明不等式是“执果索因 ”，它们是两种思路截然相反的证明方法综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野。例 6设 a，b，c0，且 abbcca1。求证： (1)ab c3；(2) a
14、bcbaccab3(abc)。证明： (1)要证 abc3，由于 a，b，c0，因此只需证明(a bc)23。即证： a2b2c22(abbc ca)3，而 ab bcca1，故需证明： a2b2c22(abbcca)3(abbcca)。即证： a2b2c2abbcca。而这可以由abbccaa2b22b2c22c2a22a2b2c2 (当且仅当abc 时等号成立 )证得。原不等式成立。(2) abcbaccababcabc。在 (1)中已证 abc3。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页因此要证原不等式成立，只需证明
15、1abcabc。即证 a bcbaccab1，即证 abcbacc ab abbcca。而 abcab acabac2，bacabbc2，cabbcac2。a bcb accababbc ca (abc33时等号成立 )。原不等式成立。【思想方法绝对值不等式的解法】典例分析解不等式|x1|x1|3。思维启迪本题不等式为|xa|xb|c 型不等式，解此类不等式有三种方法：几何法、分区间(分类 )讨论法和图象法。规范解答解：方法一如图所示，设数轴上与1，1 对应的点分别为A，B，那么 A，B 两点的距离和为2，因此区间 1，1上的数都不是不等式的解。设在A 点左侧有一点A1，到 A，B 两点的距离
16、和为3，A1对应数轴上的x。 1x1x3，得 x32。同理设 B 点右侧有一点B1到 A，B 两点距离之和为3，B1对应数轴上的x，x1x (1)3。x32。从数轴上可看到，点A1，B1之间的点到A，B 的距离之和都大于3；点 A1的左边或点B1的右边的任何点到A，B 的距离之和都大于3。所以原不等式的解集是，3232， 。方法二当 x1 时，原不等式可化为(x1)(x1)3，解得： x32。当 1x1 时，原不等式可以化为x1 (x 1)3，即 2 3不成立，无解。当 x1 时，原不等式可以化为x1x13，所以 x32。综上，可知原不等式的解集为x|x32或 x32。方法三将原不等式转化为|
17、x1|x1|30。构造函数y|x1|x1|3，即 y2x3，x 1；1， 1x0，求证： 2a3 b32ab2a2b。3若 a、 b、c 均为实数，且ax22y2，b y22z3， cz22x6。求证： a、 b、c 中至少有一个大于0。4(2013 课标全国 )设 a、b、c 均为正数，且abc 1，证明： (1)abbc ac13；(2)a2bb2cc2a1. 5设不等式 |2x1|1 的解集为M。(1)求集合 M；(2)若 a，bM，试比较ab1 与 ab 的大小。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页6(2013
18、 辽宁 )已知函数f(x)|x a|，其中 a1。(1)当 a2 时，求不等式f(x) 4|x4|的解集；(2)已知关于x的不等式 |f(2xa)2f(x)|2 的解集为 x|1x2 ，求 a 的值。B 组专项能力提升1若 nN*，Sn1 223n n 1 ，求证：n n12Snn122。2(2013 课标全国 )已知函数 f(x)|2x 1| |2xa|，g(x)x 3。(1)当 a 2时，求不等式f(x)1，且当 xa2，12时， f(x)g(x)，求 a 的取值范围。3(2012 福建 )已知函数f(x)m|x2|， mR，且 f(x2)0 的解集为 1，1。(1)求 m 的值； (2)若 a，b，cR，且1a12b13cm，求证： a2b3c9。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页4设 a， b，c 为正实数，求证：1a31b31c3abc23。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页