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1、1趣趣 味味 数数 学学第一页，共57页。2我们我们(w men)先计算下面两道题！先计算下面两道题！第二页，共57页。3二十秒钟加数二十秒钟加数(ji sh)请用请用20秒，计算出秒，计算出左边左边(zu bian)一列一列数的和。数的和。1235813213455+89?时间时间(shjin)到！到！答案是答案是 231231。第三页，共57页。4四十秒钟加数四十秒钟加数(ji sh)再再来来一次！一次！3455891442333776109871597+2584?时间时间(shjin)到！到！答案答案(d n)(d n)是是 67106710。第四页，共57页。5这与这与“斐波那契数列斐
2、波那契数列(shli)”有关有关若一个数列若一个数列(shli)(shli)，前两项等于，前两项等于1 1，而，而从第三项起，每一项是其前两项之和，从第三项起，每一项是其前两项之和，则称该数列则称该数列(shli)(shli)为斐波那契数列为斐波那契数列(shli)(shli)。即：。即：1,1,2,3,5,8,13,第五页，共57页。6 一、兔子问题一、兔子问题(wnt)和斐波那契和斐波那契数列数列 1 兔子问题兔子问题(wnt)1）问题问题(wnt)取自意大利数学家取自意大利数学家斐波那契的算盘书斐波那契的算盘书（1202年）年）(L.Fibonacci,1170-1250）第六页，共57
3、页。7 2 斐波那契生平斐波那契生平 斐波那契斐波那契 （Fibonacci.L,11751250）出生于意大利的比萨。他小时候就对算术很有出生于意大利的比萨。他小时候就对算术很有兴趣。后来，他父亲带他旅行到埃及、叙利亚、希兴趣。后来，他父亲带他旅行到埃及、叙利亚、希腊（拜占庭）、西西里和普罗旺斯，他又接触到东腊（拜占庭）、西西里和普罗旺斯，他又接触到东方国家的数学。斐波那契确信印度方国家的数学。斐波那契确信印度(yn d)阿拉阿拉伯计算方法在实用上的优越性。伯计算方法在实用上的优越性。1202年，在回到家年，在回到家里不久，他发表了著名的算盘书。里不久，他发表了著名的算盘书。第七页，共57页
4、。8 斐波那契的才能受到弗里德里希二世斐波那契的才能受到弗里德里希二世的重视，因而被邀请到宫廷参加数学竞的重视，因而被邀请到宫廷参加数学竞赛。他还曾向官吏和市民讲授赛。他还曾向官吏和市民讲授(jingshu)计算方法。计算方法。他的最重要的成果在不定分析和数论他的最重要的成果在不定分析和数论方面，除了算盘书外，保存下来的还方面，除了算盘书外，保存下来的还有实用几何等四部著作。有实用几何等四部著作。第八页，共57页。9 六、六、斐波那契协会斐波那契协会(xihu)和和斐波那契季刊斐波那契季刊 1 斐波那契协会和斐波那契季刊斐波那契协会和斐波那契季刊 斐波那契斐波那契1202年在算盘书中从兔子年在
5、算盘书中从兔子问题得到斐波那契数列问题得到斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，之后，并没有进一步探讨此序列，并且之后，并没有进一步探讨此序列，并且在在19世纪初以前世纪初以前(yqin)，也没有人认真研究过它。没，也没有人认真研究过它。没想到过了几百年之后，十九世纪末和二十世想到过了几百年之后，十九世纪末和二十世纪，这一问题派生出广泛的应用，从而突然活纪，这一问题派生出广泛的应用，从而突然活跃起来，成为热门的研究课题。跃起来，成为热门的研究课题。第九页，共57页。10 有人比喻说，有人比喻说，“有关斐波那契数有关斐波那契数列列(shli)的论文，甚至比斐波那的论文，甚至比斐波那契的兔子增
6、长得还快契的兔子增长得还快”，以致，以致1963年成立了斐波那契协会，还出版了年成立了斐波那契协会，还出版了斐波那契季刊。斐波那契季刊。第十页，共57页。11兔子兔子(t zi)问题问题 假定假定(jidng)(jidng)一对刚出生的小兔一一对刚出生的小兔一个月后就能长成大兔个月后就能长成大兔,再过一个月便能生再过一个月便能生下一对小兔下一对小兔,并且以后每个月都生一对小并且以后每个月都生一对小兔。一年内没有发生死亡。那么兔。一年内没有发生死亡。那么,由一对由一对刚出生的兔子开始刚出生的兔子开始,12,12个月后会有多少对个月后会有多少对兔子呢兔子呢?第十一页，共57页。12解答解答(jid
7、)1 1 月月 1 1 对对第十二页，共57页。13解答解答(jid)1 1 月月 1 1 对对2 2 月月1 1 对对第十三页，共57页。14解答解答(jid)1 1 月月 1 1 对对2 2 月月1 1 对对3 3 月月2 2 对对第十四页，共57页。15解答解答(jid)1 1 月月 1 1 对对2 2 月月1 1 对对3 3 月月2 2 对对4 4 月月3 3 对对第十五页，共57页。16解答解答(jid)1 1 月月 1 1 对对2 2 月月1 1 对对3 3 月月2 2 对对4 4 月月 3 3 对对5 5 月月5 5 对对第十六页，共57页。17解答解答(jid)1 1 月月 1
8、 1 对对2 2 月月1 1 对对3 3 月月2 2 对对4 4 月月3 3 对对5 5 月月5 5 对对6 6 月月8 8 对对第十七页，共57页。18解答解答(jid)1 1 月月 1 1 对对2 2 月月1 1 对对3 3 月月2 2 对对4 4 月月3 3 对对5 5 月月5 5 对对6 6 月月8 8 对对7 7 月月13 13 对对第十八页，共57页。19解答解答(jid)可以可以(ky)将结果以列表形式给出：将结果以列表形式给出：1 1月月2 2月月3 3月月5 5月月4 4月月6 6月月7 7月月8 8月月9 9月月1111月月1010月月1212月月1 11 12 23 35
9、 58 813132121343455558989144144因此，斐波那契问题的答案因此，斐波那契问题的答案(d n)(d n)是是 144 144对。对。以上数列，以上数列，即即“斐波那契数列斐波那契数列”第十九页，共57页。20 兔子问题的另外兔子问题的另外(ln wi)一种提一种提法：法：第一个月是一对大兔子，第一个月是一对大兔子，类似繁殖；到第十二个月时，共类似繁殖；到第十二个月时，共有多少对兔子？有多少对兔子？规律规律(gul)月月 份份 大兔对数大兔对数(du sh)1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 (du sh)1 1 2 3 5 8 13 21 34 55
10、 89 144144小兔对数小兔对数(du sh)0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 (du sh)0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 8989 到十二月时有大兔子到十二月时有大兔子144144对，小兔子对，小兔子8989对，共有兔子对，共有兔子144+89=233144+89=233对。对。第二十页，共57页。21 2）斐波那契数列斐波那契数列 令令n=1,2,3,依次依次(yc)写出数列，就是写出数列，就是 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，这就是斐波那契数列。其中的任一个这就是斐波那契数列。其中的任一个 数，都叫
11、斐波那契数。数，都叫斐波那契数。第二十一页，共57页。22 二、二、相关相关(xinggun)的问题的问题 斐斐波波那那契契数数列列是是从从兔兔子子问问题题中中抽抽象象出出来来的的，如如果果它它在在其其它它方方面面(fngmin)没没有有应应用用，它它就就不不会会有有强强大大的的生生命命力力。发发人人深深省省的的是是，斐斐波波 那那 契契 数数 列列 确确 实实 在在 许许 多多 问问 题题 中中 出出 现现。第二十二页，共57页。第二十三页，共57页。24自然界中的斐波那契数自然界中的斐波那契数 斐波那契数列中的任一个数，都叫斐斐波那契数列中的任一个数，都叫斐波那契数。斐波那契数是大自然的一
12、个基波那契数。斐波那契数是大自然的一个基本模式，它出现在许多场合本模式，它出现在许多场合(chng h)。下面举几个例子。下面举几个例子。第二十四页，共57页。25 1）花瓣花瓣(hubn)数中的斐波那契数数中的斐波那契数 大多数植物的花，其花瓣大多数植物的花，其花瓣(hubn)数数都恰是斐波那契数。例如，兰花、茉利花、都恰是斐波那契数。例如，兰花、茉利花、百合花有百合花有3个花瓣个花瓣(hubn)，毛茛属的植物，毛茛属的植物有有5个花瓣个花瓣(hubn)，翠雀属植物有，翠雀属植物有8个花个花瓣瓣(hubn)，万寿菊属植物有，万寿菊属植物有13个花瓣个花瓣(hubn)，紫菀属植物有，紫菀属植物
13、有21个花瓣个花瓣(hubn)，雏菊属植物有，雏菊属植物有34、55或或89个花个花瓣瓣(hubn)。第二十五页，共57页。26花瓣花瓣(hubn)(hubn)中的斐波那契数中的斐波那契数花瓣花瓣(hubn)(hubn)的数目的数目马蹄莲（马蹄莲（1）第二十六页，共57页。27白色白色(bis)马蹄莲马蹄莲（1）第二十七页，共57页。28虎刺梅（虎刺梅（2）第二十八页，共57页。29紫露草（紫露草（3）第二十九页，共57页。30铁兰铁兰（3）第三十页，共57页。31铁兰铁兰（3 3）第三十一页，共57页。32花瓣花瓣(hubn)中的斐波那契数中的斐波那契数花瓣花瓣(hubn)的数目的数目洋紫荊
14、（洋紫荊（5 5）黃黃蝉蝉（5 5）蝴蝶蝴蝶兰兰（5 5）第三十二页，共57页。33花瓣花瓣(hubn)中的斐波那契数中的斐波那契数花瓣花瓣(hubn)的数目的数目雏雏菊（菊（1313）雏雏菊（菊（1313）第三十三页，共57页。兰兰花花(lnhu)132第三十四页，共57页。苹苹 果果 花花15324第三十五页，共57页。格桑花格桑花12534687第三十六页，共57页。雏雏菊菊1 2345678910111213第三十七页，共57页。38第三十八页，共57页。3 5 8 13 21 34第三十九页，共57页。402 2）树杈）树杈(sh ch)(sh ch)的数目的数目13853211第四
15、十页，共57页。413 3）向日葵花盘）向日葵花盘(hupn)(hupn)内葵花子排列的内葵花子排列的螺线数螺线数第四十一页，共57页。向日葵花盘(hupn)上的螺旋线条，顺时针数条；反向再数就变成了条是不是很有意思呀！第四十二页，共57页。43 向日葵花盘内，种子是按对数螺线向日葵花盘内，种子是按对数螺线(lu xin)排排 列的，有顺时针转和逆时针转的两组对数列的，有顺时针转和逆时针转的两组对数螺线螺线(lu xin)。两组螺线。两组螺线(lu xin)的条的条数往往成相继的两个斐波那契数，一般是数往往成相继的两个斐波那契数，一般是34和和55，大向日葵是，大向日葵是89和和144，还曾发
16、现，还曾发现过一个更大的向日葵有过一个更大的向日葵有144和和233条螺线条螺线(lu xin)，它们都是相继的两个斐波那，它们都是相继的两个斐波那契数。契数。第四十三页，共57页。44 多叶芦荟多叶芦荟(l hu)，又名螺旋，又名螺旋芦荟芦荟(l hu)第四十四页，共57页。45 松果种子松果种子(zhng zi)(zhng zi)的排列的排列第四十五页，共57页。46 松果松果(sn u)(sn u)种子的排列种子的排列第四十六页，共57页。47 松果松果(sn u)(sn u)种子的排列种子的排列第四十七页，共57页。48菜花菜花(cihu)(cihu)表面排列的螺线数表面排列的螺线数（
17、5-85-8）第四十八页，共57页。49 这一模式几个世纪前已被注意到，此后这一模式几个世纪前已被注意到，此后曾被广泛研究，但真正满意的解释直到曾被广泛研究，但真正满意的解释直到(zhdo)1993年才给出。这种解释是：这是年才给出。这种解释是：这是植物生长的动力学特性造成的；相邻器官原植物生长的动力学特性造成的；相邻器官原基之间的夹角是黄金角基之间的夹角是黄金角137.50776度；这度；这使种子的堆集效率达到最高。使种子的堆集效率达到最高。第四十九页，共57页。502）用斐波那契数列用斐波那契数列(shli)及其推广变魔术及其推广变魔术 让观众从你写出的让观众从你写出的斐波那契数列中任意选
18、斐波那契数列中任意选定连续的十个数，你能定连续的十个数，你能很快说出这些数的和。很快说出这些数的和。其实有公式其实有公式(gngsh)：这个和，就：这个和，就是所选出的十个数中第是所选出的十个数中第七个数的七个数的11倍。倍。1 1 2 3 5 81321345589144233377610987第五十页，共57页。51“二十秒钟加数二十秒钟加数(ji(ji sh)”sh)”的秘密的秘密数学家发现：连续数学家发现：连续 10 10个斐波那个斐波那契数之和，必定契数之和，必定(bdng)(bdng)等于等于第第 7 7个数的个数的 11 11 倍！倍！1235813213455+89?所以(su
19、y)右式的答案是：21 11=231第五十一页，共57页。52“二十秒钟加数二十秒钟加数(ji(ji sh)”sh)”的秘密的秘密又例如(lr)：右式的答案(d n)是：3455891442333776109871597+2584?610 11=6710第五十二页，共57页。53 推推广广的的斐斐波波那那契契数数列列与与斐斐波波那那契契数数列列一一样样，与与黄黄金金分分割割有有密密切切的的联联系系：该该数数列列相相邻邻两两数数之之比比，交交替替地地大大于于或或小小于于黄黄金金比比；并并且且，两两数数之之比比的的差差随随项项数数的的增增加加而而越越来来越越小小，趋趋近近于于0，从从而而这这个个(
20、zh ge)比比存存在在极极限限；而而且且这这个个(zh ge)比比的的极极限限也也是是黄黄金金比比 。第五十三页，共57页。54类似于前面提到类似于前面提到(t do)的数列的数列 其极限(jxin)也是第五十四页，共57页。习题习题(xt)、过河问题、过河问题1 有一个农夫，带了一包米，一只鸡和一只有一个农夫，带了一包米，一只鸡和一只狗准备要过河。当农夫不在时，鸡会吃米，狗狗准备要过河。当农夫不在时，鸡会吃米，狗会吃鸡，河边有一艘船，农夫在船上一次只能会吃鸡，河边有一艘船，农夫在船上一次只能(zh nn)带一样东西，请问农夫该怎么过河带一样东西，请问农夫该怎么过河？初级过河问题初级过河问题第五十五页，共57页。解答解答(jid)农夫农夫(nngf)带鸡过河，空手回；农夫带鸡过河，空手回；农夫(nngf)带狗过河，带鸡回；农夫带狗过河，带鸡回；农夫(nngf)带米带米过河，空手回；农夫过河，空手回；农夫(nngf)带鸡过河。带鸡过河。第五十六页，共57页。作业(zuy)、1、求2、3、4、已知 求57第五十七页，共57页。