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1、三角形全等判定复习课件全全等等形形全全等等三三角角形形性质性质判定判定应用应用HL全等三角形对应边相等全等三角形对应边相等全等三角形对应角相等全等三角形对应角相等解决问题解决问题SSSSASASAAAS一般三角形一般三角形直直角角三三角角形形知识构造图知识构造图 三边对应相等的两个三角形全等可以三边对应相等的两个三角形全等可以简写为简写为“边边边或边边边或“SSS。ABCDEF在在ABC和和 DEF中中 ABC DEFSSSAB=DEBC=EFCA=FD用符号语言表达为：用符号语言表达为：用符号语言表达为：用符号语言表达为：三角形全等断定方法三角形全等断定方法1知识梳理知识梳理:三角形全等断定
2、方法三角形全等断定方法2用符号语言表达为：用符号语言表达为：用符号语言表达为：用符号语言表达为：在在ABC与与DEF中中ABCDEFSAS 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(可以简写成可以简写成“边角边或边角边或“SAS)知识梳理知识梳理:FEDCBAAC=DFC=FBC=EFA=D（已知（已知）AB=DE（已知（已知）B=E（已知（已知）在在ABC和和DEF中中 ABCDEFASA 有两角和它们夹边对应相等的两个三角有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等形全等(可以简写成可以简写成“角边角或角边角或“ASA。用符号语言表达为：用符号语言表
3、达为：用符号语言表达为：用符号语言表达为：FEDCBA 三角形全等断定方法三角形全等断定方法3知识梳理知识梳理:知识梳理知识梳理:考虑考虑:在在ABC和和DFE中中,当当A=D,B=E和和AC=DF时时,能否得到能否得到 ABCDFE?三角形全等断定方法三角形全等断定方法4 有两角和其中一有两角和其中一个角的对边对应相个角的对边对应相等的两个三角形全等的两个三角形全等等(可以可以 简写成简写成“角角边或角角边或“AAS。知识梳理知识梳理:ABDABCSSASSA不能不能不能不能断定全等断定全等断定全等断定全等ABCABCABC知识梳理知识梳理:直角三角形全等断定：直角三角形全等断定：HL二、几
4、种常见全等三角形根本图形二、几种常见全等三角形根本图形平移平移旋转旋转翻折翻折ACDEFG找找复杂图形中的根本图形找找复杂图形中的根本图形设计意图：知道了这几种根本图形，那么在解决全等设计意图：知道了这几种根本图形，那么在解决全等三角形问题时，就容易从复杂的图形中分解出根本图三角形问题时，就容易从复杂的图形中分解出根本图形，解题就会变得简便。形，解题就会变得简便。典型题型1、证明两个三角形全等2、证明两个角相等3、证明两条线段相等一、全等三角形性质应用一、全等三角形性质应用1 1：如图，：如图，AOBCODAOBCOD，AB=7,C=60AB=7,C=60那么那么CD=,A=.CD=,A=.A
5、BCDO一、全等三角形性质应一、全等三角形性质应用用2 2：ABCDEFABCDEF，A=60,C=50 A=60,C=50那么那么E=.E=.一、全等三角形性质应一、全等三角形性质应用用3 3：如图，：如图，ABCDEFABCDEF，DE=4DE=4，AE=1AE=1，那么，那么BEBE的长是的长是 A A5 5 B B4 4 C C3 3 D D2 21 1、证明两个三角形全等、证明两个三角形全等例例例例1 1：如图：如图：如图：如图,点点点点B B在在在在AEAE上上上上,CAB=CAB=DAB,DAB,要使要使要使要使ABCABC ABD,ABD,可补充的一可补充的一可补充的一可补充的
6、一个条件是个条件是个条件是个条件是 .分析：如今我们分析：如今我们分析：如今我们分析：如今我们 AACAB=CAB=DABDAB用用用用SAS,SAS,需要补充条件需要补充条件需要补充条件需要补充条件AD=AC,AD=AC,用用用用ASA,ASA,需要补充条件需要补充条件需要补充条件需要补充条件CBA=CBA=DBA,DBA,用用用用AAS,AAS,需要补充条件需要补充条件需要补充条件需要补充条件C=C=D,D,此外此外此外此外,补充条件补充条件补充条件补充条件CBE=CBE=DBEDBE也可以也可以也可以也可以(?)(?)SASSASASAASAAASAASS S AB=AB(AB=AB(公
7、共边公共边公共边公共边).).AD=AC AD=AC CBA=CBA=DBADBAC=C=D DCBE=CBE=DBEDBE练习练习练习练习1 1:如图如图如图如图,AE=AD,AE=AD,要使要使要使要使ABDABD ACE,ACE,请你增加一请你增加一请你增加一请你增加一个条件是个条件是个条件是个条件是 .练习练习练习练习2 2：2.2.：如图，：如图，AB=AC,1=3,AB=AC,1=3,请你再添一个条请你再添一个条件，使得件，使得E=DE=D？为什么？为什么？1.1.：如图，：如图，AB=AC,AD=AE,AB=AC,AD=AE,请你再添一个条件，请你再添一个条件，使得使得E=DE=
8、D？为什么？为什么？2、证明两个角相等、证明两个角相等变式题：变式题：BE=EB(BE=EB(公共边公共边公共边公共边)又又又又 AC AC DB()DB()DBE=DBE=CEB (CEB (两直线平两直线平两直线平两直线平行行行行,内错角相等内错角相等内错角相等内错角相等)例例例例3:3:如图如图如图如图,AC,AC DB,AC=2DB,E DB,AC=2DB,E是是是是ACAC的的的的中点中点中点中点,求证求证求证求证:BC=DE:BC=DE证明证明证明证明:AC=2DB,AE=EC ()AC=2DB,AE=EC ()DB=ECDB=ECDB=ECDB=ECBE=EBBE=EB DBED
9、BE CEB(SAS)CEB(SAS)BC=DE (BC=DE (全等三角形的对全等三角形的对全等三角形的对全等三角形的对应边相等应边相等应边相等应边相等)3、证明两条线段相等练习：练习：ACB=ADB=900ACB=ADB=900，AC=ADAC=AD，P P是是ABAB上任意一点，上任意一点，求证：求证：CP=DPCP=DP CABDP设计意图：让学生加深如何通过全等三角形设计意图：让学生加深如何通过全等三角形去求证相等线段。去求证相等线段。例例例例4(20074(2007金华金华金华金华):):如图如图如图如图,A,E,B,D,A,E,B,D在同一直线上在同一直线上在同一直线上在同一直线
10、上,AB=DE,AC=DF,AC AB=DE,AC=DF,AC DF,DF,在在在在ABCABC和和和和DEF,DEF,(1)(1)求证求证求证求证:ABC:ABC DEF;DEF;(2)2)你还可以得到的结论是你还可以得到的结论是你还可以得到的结论是你还可以得到的结论是 .(写出一个写出一个写出一个写出一个,不再添加其他线段不再添加其他线段不再添加其他线段不再添加其他线段,不不不不再表注或使用其他字母再表注或使用其他字母再表注或使用其他字母再表注或使用其他字母)(1)(1)证明证明证明证明:ACAC DF()DF()A=A=D (D (两直线平两直线平两直线平两直线平行行行行,内错角相等内错
11、角相等内错角相等内错角相等)AB=DE(AB=DE(已知已知已知已知)A=A=D(D(已证已证已证已证)AC=DF(AC=DF(已知已知已知已知)ABCABC DEF(SAS)DEF(SAS)在在在在ABCABC和和和和DEFDEF中中中中综合题：综合题：2 2解解解解:根据全等三角形的对应边根据全等三角形的对应边根据全等三角形的对应边根据全等三角形的对应边(角角角角)相相相相等可知等可知等可知等可知:C=C=F,F,ABC=ABC=DEF,DEF,EFEF BC,BC,AE=DBAE=DB等等等等BC=EF,BC=EF,综合题综合题:如图如图,A A是是CDCD上的一点上的一点,ABC,AD
12、E ABC,ADE 都是正都是正三角形三角形,求证求证CE=BDCE=BDBACDEFG分析:证ABDACE变式变式1 1:在原题条件不变的前提下在原题条件不变的前提下,可以可以探求以下结论探求以下结论:(1)(1)求证求证:AG=AF;AG=AF;(2)(2)求证求证:ABFACG;:ABFACG;(3)(3)连结连结GF,GF,求证求证AGFAGF是正三角形是正三角形;(4)(4)求证求证GF/CDGF/CD变式变式2:2:在原题条件下在原题条件下,再增加一个条件再增加一个条件,在在CE,BDCE,BD上分别取中点上分别取中点M,N,M,N,求证求证:AMN:AMN是正三角形是正三角形如图
13、如图,A是是CD上的一点上的一点,ABC,ADE 都是正三角形都是正三角形,求证求证CE=BDACDEFGB变式变式3:如图如图,点点C C为线段为线段ABAB延长线上一点延长线上一点,AMC,BNCAMC,BNC为正三角形为正三角形,且在线段且在线段ABAB同同侧侧,求证求证AN=MBAN=MBABCNM分析:此中考题与原题相比较,只是两个三角形的位置不同,此图的两个三角形重叠在一起,增加了难度,其证明方法与前题根本一样,只须证明ABNBCM变式变式4:如图如图,ABD,ACEABD,ACE都是正三角形都是正三角形,求证求证CD=BECD=BEABCDE分析:此题本质上是把题目中的条件B,A
14、,C三点改为不共线,证明方法与前题根本一样.变式变式6:如图如图,分别以分别以ABCABC的边的边AB,ACAB,AC为一边为一边画正方形画正方形AEDBAEDB和正方形和正方形ACFG,ACFG,连结连结CE,BG.CE,BG.求求证证BG=CEBG=CEAB CFGED分析:此题是把两个三角形改成两个正方形而以,证法类同1.证明两个三角形全等，要结合题目的条件证明两个三角形全等，要结合题目的条件和结论，选择恰当的断定方法和结论，选择恰当的断定方法2.全等三角形，是证明两条线段或两个角相全等三角形，是证明两条线段或两个角相等的重要方法之一，证明时等的重要方法之一，证明时要观察待证的线段或角，
15、在哪两个可能全等的三要观察待证的线段或角，在哪两个可能全等的三角形中。角形中。分析要证两个三角形全等，已有什么条件，还缺分析要证两个三角形全等，已有什么条件，还缺什么条件。什么条件。有公共边的，公共边一定是对应边，有公共边的，公共边一定是对应边，有公共角的，有公共角的，公共角一定是对应角，有对顶角，对顶角也是对公共角一定是对应角，有对顶角，对顶角也是对应角应角 小结小结:3.3.注意正确地书写证明格式注意正确地书写证明格式(顺序和对应关系顺序和对应关系).).例题一例题一:如图如图如图如图B=B=DEF,BC=EF,DEF,BC=EF,补充条件求证补充条件求证补充条件求证补充条件求证:ABC:
16、ABC DEF DEFD DE EF FA AB BC C(1)(1)假假假假设设设设要以要以要以要以“SAS“SAS为为为为根据，根据，根据，根据，还还还还缺条件缺条件缺条件缺条件 ；AB=DE(2)(2)假设要以假设要以假设要以假设要以“ASA“ASA为根据，还缺条件；为根据，还缺条件；为根据，还缺条件；为根据，还缺条件；ACB=DFE(3)(3)假设要以假设要以假设要以假设要以“AAS“AAS为根据，还缺条件为根据，还缺条件为根据，还缺条件为根据，还缺条件 A=D(4)(4)假设要以假设要以假设要以假设要以“SSS“SSS 为根据，还缺条件为根据，还缺条件为根据，还缺条件为根据，还缺条件
17、 AB=DE AC=DF(5)(5)假设假设假设假设 B=B=DEF=90DEF=90要以要以要以要以“HL“HL 为根据，还缺条为根据，还缺条为根据，还缺条为根据，还缺条件件件件AC=DF例例2、如图、如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块成了三块,如今要到玻璃店去配一块完全一如今要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃样的玻璃,那么最省事的方法是拿那么最省事的方法是拿()去配去配.证明题的分析思路：证明题的分析思路：要证什么要证什么 已有什么已有什么 还还缺什么缺什么缺什么缺什么 创造条件创造条件创造条件创造条件注意注意1、证明两个三角形全等，要结合题目的条件、证明
18、两个三角形全等，要结合题目的条件和结论，选择恰当的断定方法和结论，选择恰当的断定方法 2、全等三角形，是证明两条线段或两个角相、全等三角形，是证明两条线段或两个角相等的重要方法之一，证明时等的重要方法之一，证明时 要观察待证的线段或角，在哪两个可能全等要观察待证的线段或角，在哪两个可能全等的三角形中。的三角形中。有公共边的，公共边一定是对应边，有公共边的，公共边一定是对应边，有公共有公共角的，公共角一定是对应角，有对顶角，对顶角也角的，公共角一定是对应角，有对顶角，对顶角也是对应角是对应角总之，证明过程中能用简单方法的就不要绕弯路。总之，证明过程中能用简单方法的就不要绕弯路。=_ _ _A A
19、B BC CD DP P例例3：如图：如图,P是是BD上的任意一点上的任意一点AB=CB,AD=CD.求证求证:PA=PC要证明要证明要证明要证明PA=PCPA=PC可将其可将其可将其可将其放在放在放在放在APBAPB和和和和CPB CPB 或或或或APDAPD和和和和CPDCPD考虑考虑考虑考虑已有两条边对应相等已有两条边对应相等已有两条边对应相等已有两条边对应相等 其中一条是公共边其中一条是公共边其中一条是公共边其中一条是公共边 还缺一组夹角对还缺一组夹角对还缺一组夹角对还缺一组夹角对应相等应相等应相等应相等 假设能使假设能使假设能使假设能使ABP=CBPABP=CBPABP=CBPABP
20、=CBP或或或或ADP=CDP ADP=CDP ADP=CDP ADP=CDP 即可。即可。即可。即可。创造条件创造条件创造条件创造条件 分分析：析：=_ _ _A AB BC CD DP P例例例例3 3：P P是是是是BDBD上的任意一点上的任意一点上的任意一点上的任意一点AB=CB,AD=CD.AB=CB,AD=CD.求证求证求证求证PA=PCPA=PC证明：在证明：在ABD和和CBD中中 AB=CB AD=CD BD=BD ABDCBD(SSS)ABD=CBD 在在ABP和和CBP中中 AB=BC ABP=CBP BP=BP ABP CBP(SAS)PA=PC例例4。:如图如图AB=A
21、E,B=E，BC=ED AFCD求证：点求证：点F是是CD的中点的中点分析：要证分析：要证CF=DF可以考虑可以考虑CF、DF所在的两个三角形全等，为此可所在的两个三角形全等，为此可添加辅助线构建三角形全等添加辅助线构建三角形全等，如何，如何添加辅助线呢添加辅助线呢?已有已有AB=AE,B=E，BC=ED 怎样构建三角形能得到两个三角怎样构建三角形能得到两个三角形全等呢？形全等呢？连结AC,AD 添添加加辅辅助助线线是是几几何何证证明明中很重要的一种思路中很重要的一种思路 证明：连结和证明：连结和在在和和中，中，B=E，全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等 AFC=AFD=90，在在t
22、AFC和和tAFD中中 已证已证 公共边公共边tAFC tAFD全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等点点F是是CD的中点的中点假如把例假如把例4来个变身，聪明的同学来个变身，聪明的同学们来再试身手吧！们来再试身手吧！:如图如图AB=AE,B=E，BC=ED，点，点F是是CD的中点的中点 (1)求证：求证：AFCD (2)连接连接BE后，还能得出什么结论？后，还能得出什么结论？写出两个写出两个)小结：小结：1、全等三角形的定义，性质，、全等三角形的定义，性质，断定方法。断定方法。2、证明题的方法、证明题的方法 要证什么要证什么 已有什么已有什么 还缺什么还缺什么 创造条件创造条件 3、添加辅助线、添加辅助线