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1、关于刚体定点转动的力学基础第一页，本课件共有51页1.1 1.1 刚体的角位置与角速度描述方法刚体的角位置与角速度描述方法l 刚体刚体刚体刚体l 刚体坐标系与参考坐标系刚体坐标系与参考坐标系l l 刚体的运动自由度刚体的运动自由度刚体的运动自由度刚体的运动自由度l 自由刚体位置和运动的描述自由刚体位置和运动的描述l l 定轴转动刚体定轴转动刚体定轴转动刚体定轴转动刚体l 定点转动刚体定点转动刚体定点转动刚体定点转动刚体基本概念基本概念2022/12/102第二页，本课件共有51页一一 质点的位置向量及其表示方法质点的位置向量及其表示方法1.1 1.1 刚体的角位置与角速度描述方法刚体的角位置与
2、角速度描述方法 广义坐标广义坐标 列向量列向量列向量列向量 方向余弦方向余弦方向余弦方向余弦 空间自由质点的位置，可用三个独立参数表示，也可用多于空间自由质点的位置，可用三个独立参数表示，也可用多于空间自由质点的位置，可用三个独立参数表示，也可用多于空间自由质点的位置，可用三个独立参数表示，也可用多于三个的参数来表示，而后者必须满足约束条件。三个的参数来表示，而后者必须满足约束条件。三个的参数来表示，而后者必须满足约束条件。三个的参数来表示，而后者必须满足约束条件。2022/12/103第三页，本课件共有51页二二 定点转动刚体角位置的广义坐标表示定点转动刚体角位置的广义坐标表示1.1 1.1
3、 刚体的角位置与角速度描述方法刚体的角位置与角速度描述方法 三个非共线向量三个非共线向量三个非共线向量三个非共线向量自由刚体六个参数独立自由刚体六个参数独立自由刚体六个参数独立自由刚体六个参数独立 定点刚体三个参数独立定点刚体三个参数独立定点刚体三个参数独立定点刚体三个参数独立2022/12/104第四页，本课件共有51页1.1 1.1 刚体的角位置与角速度描述方法刚体的角位置与角速度描述方法三三 定点转动刚体角位置的方向余弦描述定点转动刚体角位置的方向余弦描述采用三个正交向量作为刚体坐标系，其方向余弦表示为：采用三个正交向量作为刚体坐标系，其方向余弦表示为：采用三个正交向量作为刚体坐标系，其
4、方向余弦表示为：采用三个正交向量作为刚体坐标系，其方向余弦表示为：确定刚体坐标系三根轴的九个方向余弦（一个确定刚体坐标系三根轴的九个方向余弦（一个3333的的的的矩阵），可以确定刚体的角位置。矩阵），可以确定刚体的角位置。矩阵），可以确定刚体的角位置。矩阵），可以确定刚体的角位置。2022/12/105第五页，本课件共有51页三三 定点转动刚体角位置的方向余弦描述定点转动刚体角位置的方向余弦描述对于刚体的一个角位置，有唯一的一个方向余弦矩对于刚体的一个角位置，有唯一的一个方向余弦矩阵，反之亦然。阵，反之亦然。1.1 1.1 刚体的角位置与角速度描述方法刚体的角位置与角速度描述方法2022/12
5、/106第六页，本课件共有51页l方向余弦矩阵的应用：方向余弦矩阵的应用：坐标变换基本公式坐标变换基本公式讨论：讨论：2022/12/107第七页，本课件共有51页讨论：讨论：l方向余弦矩阵的性质方向余弦矩阵的性质（1 1）两个方向余弦矩阵互为转置矩阵）两个方向余弦矩阵互为转置矩阵（2 2）两个方向余弦矩阵互为逆矩阵）两个方向余弦矩阵互为逆矩阵（3 3）方向余弦矩阵是正交矩阵）方向余弦矩阵是正交矩阵）方向余弦矩阵是正交矩阵）方向余弦矩阵是正交矩阵 约束方程约束方程2022/12/108第八页，本课件共有51页l方向余弦矩阵的约束方程方向余弦矩阵的约束方程讨论：讨论：2022/12/109第九页
6、，本课件共有51页四四 定点转动刚体角位置的欧拉角描述定点转动刚体角位置的欧拉角描述1.1 1.1 刚体的角位置与角速度描述方法刚体的角位置与角速度描述方法选用三个独立的角度来表示定点转动刚体的方位。选用三个独立的角度来表示定点转动刚体的方位。选用三个独立的角度来表示定点转动刚体的方位。选用三个独立的角度来表示定点转动刚体的方位。依次的三次转动，转动轴的选取产生两类欧拉角。依次的三次转动，转动轴的选取产生两类欧拉角。2022/12/1010第十页，本课件共有51页l第一类欧拉角第一类欧拉角 (转动顺序为：转动顺序为：转动顺序为：转动顺序为：Z-X-Z)四四 定点转动刚体角位置的欧拉角描述定点转
7、动刚体角位置的欧拉角描述2022/12/1011第十一页，本课件共有51页l第一类欧拉角的线性化第一类欧拉角的线性化四四四四 定点转动刚体角位置的欧拉角描述定点转动刚体角位置的欧拉角描述定点转动刚体角位置的欧拉角描述定点转动刚体角位置的欧拉角描述2022/12/1012第十二页，本课件共有51页l第二类欧拉角（转动顺序为：第二类欧拉角（转动顺序为：X-Y-ZX-Y-Z）四四四四 定点转动刚体角位置的欧拉角描述定点转动刚体角位置的欧拉角描述定点转动刚体角位置的欧拉角描述定点转动刚体角位置的欧拉角描述2022/12/1013第十三页，本课件共有51页l l第二类欧拉角的线性化第二类欧拉角的线性化第
8、二类欧拉角的线性化第二类欧拉角的线性化四四 定点转动刚体角位置的欧拉角描述定点转动刚体角位置的欧拉角描述2022/12/1014第十四页，本课件共有51页五五 定点转动刚体角速度的欧拉角描述定点转动刚体角速度的欧拉角描述1.1 1.1 刚体的角位置与角速度描述方法刚体的角位置与角速度描述方法2022/12/1015第十五页，本课件共有51页为了表示旋转质量陀螺仪动力学方程的方便，求出刚体为了表示旋转质量陀螺仪动力学方程的方便，求出刚体为了表示旋转质量陀螺仪动力学方程的方便，求出刚体为了表示旋转质量陀螺仪动力学方程的方便，求出刚体转动角速度在中间坐标系中的投影：转动角速度在中间坐标系中的投影：转
9、动角速度在中间坐标系中的投影：转动角速度在中间坐标系中的投影：2022/12/1016第十六页，本课件共有51页1.1 1.1 刚体的角位置与角速度描述方法刚体的角位置与角速度描述方法五五五五 定点转动刚体角速度的欧拉角描述定点转动刚体角速度的欧拉角描述定点转动刚体角速度的欧拉角描述定点转动刚体角速度的欧拉角描述2022/12/1017第十七页，本课件共有51页自学内容：自学内容：方向余弦矩阵的导数方向余弦矩阵的导数2022/12/1018第十八页，本课件共有51页1.2 1.2 常用参考坐标系常用参考坐标系一一一一 惯性坐标系惯性坐标系惯性坐标系惯性坐标系1.1.1.1.日心惯性坐标系日心惯
10、性坐标系日心惯性坐标系日心惯性坐标系2.2.2.2.地心惯性坐标系地心惯性坐标系 日心坐标系的原点取在太阳的中心，三根轴指向确定的日心坐标系的原点取在太阳的中心，三根轴指向确定的日心坐标系的原点取在太阳的中心，三根轴指向确定的日心坐标系的原点取在太阳的中心，三根轴指向确定的恒星。恒星。恒星。恒星。地心坐标系的原点设在地球中心处，地心坐标系的原点设在地球中心处，地心坐标系的原点设在地球中心处，地心坐标系的原点设在地球中心处，x x和和和和y y轴位于地球赤轴位于地球赤轴位于地球赤轴位于地球赤道平面并分别指向确定的恒星，道平面并分别指向确定的恒星，道平面并分别指向确定的恒星，道平面并分别指向确定的
11、恒星，z z轴轴轴轴与地球自转轴（地与地球自转轴（地与地球自转轴（地与地球自转轴（地球极轴）重合，并指向北极星。球极轴）重合，并指向北极星。球极轴）重合，并指向北极星。球极轴）重合，并指向北极星。2022/12/1019第十九页，本课件共有51页1.2 1.2 常用参考坐标系常用参考坐标系二二 地球坐标系及其旋转角速度地球坐标系及其旋转角速度坐标系原点设在地球中心坐标系原点设在地球中心坐标系原点设在地球中心坐标系原点设在地球中心,三根轴与地球相固结。三根轴与地球相固结。三根轴与地球相固结。三根轴与地球相固结。2022/12/1020第二十页，本课件共有51页1.2 1.2 常用参考坐标系常用参
12、考坐标系三三三三 地理坐标系地理坐标系地理坐标系地理坐标系1.1.1.1.地固地理坐标系地固地理坐标系 坐标系的原点选在地球上任一点，坐标系的原点选在地球上任一点，坐标系的原点选在地球上任一点，坐标系的原点选在地球上任一点，三根轴与地球固结三根轴与地球固结三根轴与地球固结三根轴与地球固结。2022/12/1021第二十一页，本课件共有51页1.2 1.2 常用参考坐标系常用参考坐标系三三 地理坐标系地理坐标系2.2.当地地理坐标系当地地理坐标系当地地理坐标系当地地理坐标系 原点设在沿地球表面运动的物体上，三根轴和地固地理坐标系的原点设在沿地球表面运动的物体上，三根轴和地固地理坐标系的原点设在沿
13、地球表面运动的物体上，三根轴和地固地理坐标系的原点设在沿地球表面运动的物体上，三根轴和地固地理坐标系的指向相同，不与地球固结。随载体线运动而运动。指向相同，不与地球固结。随载体线运动而运动。指向相同，不与地球固结。随载体线运动而运动。指向相同，不与地球固结。随载体线运动而运动。KVNE2022/12/1022第二十二页，本课件共有51页1.2 1.2 常用参考坐标系常用参考坐标系三三三三 地理坐标系地理坐标系地理坐标系地理坐标系2.2.2.2.当地地理坐标系当地地理坐标系 2022/12/1023第二十三页，本课件共有51页1.2 1.2 常用参考坐标系常用参考坐标系四四 地平坐标系地平坐标系
14、原点设在运载体质心，原点设在运载体质心，原点设在运载体质心，原点设在运载体质心，y y轴水平并沿载体运动方向，轴水平并沿载体运动方向，轴水平并沿载体运动方向，轴水平并沿载体运动方向，z z轴铅直轴铅直轴铅直轴铅直向上向上向上向上。2022/12/1024第二十四页，本课件共有51页1.2 1.2 常用参考坐标系常用参考坐标系五五五五 载体坐标系载体坐标系载体坐标系载体坐标系坐标原点设在载体质心，三个坐标轴与载体相固结。坐标原点设在载体质心，三个坐标轴与载体相固结。坐标原点设在载体质心，三个坐标轴与载体相固结。坐标原点设在载体质心，三个坐标轴与载体相固结。x xy yz zx xy yz z20
15、22/12/1025第二十五页，本课件共有51页1.2 1.2 常用参考坐标系常用参考坐标系六六六六 陀螺坐标系陀螺坐标系陀螺坐标系陀螺坐标系x xy yz z O O2022/12/1026第二十六页，本课件共有51页哥氏定理描述的是一般的空间自由质点相对于不同参考哥氏定理描述的是一般的空间自由质点相对于不同参考哥氏定理描述的是一般的空间自由质点相对于不同参考哥氏定理描述的是一般的空间自由质点相对于不同参考系的速度和加速度。系的速度和加速度。系的速度和加速度。系的速度和加速度。1.3 1.3 刚体定点转动的一般原理刚体定点转动的一般原理一一 哥氏定理与哥氏加速度哥氏定理与哥氏加速度两个参考系
16、之间存在相对转动时，质点的速度和加速两个参考系之间存在相对转动时，质点的速度和加速度与两坐标系相对静止时有所差别。度与两坐标系相对静止时有所差别。2022/12/1027第二十七页，本课件共有51页两个参考系之间相对静止时，质点的速度和加速度没有差两个参考系之间相对静止时，质点的速度和加速度没有差两个参考系之间相对静止时，质点的速度和加速度没有差两个参考系之间相对静止时，质点的速度和加速度没有差别别别别n系b系一一 哥氏定理与哥氏加速度哥氏定理与哥氏加速度2022/12/1028第二十八页，本课件共有51页两个参考系之间相对转动时两个参考系之间相对转动时大小变化大小变化大小变化大小变化b系的方
17、位变化系的方位变化系的方位变化系的方位变化一一 哥氏定理与哥氏加速度哥氏定理与哥氏加速度2022/12/1029第二十九页，本课件共有51页两个参考系之间相对转动时两个参考系之间相对转动时于是：一一 哥氏定理与哥氏加速度哥氏定理与哥氏加速度2022/12/1030第三十页，本课件共有51页哥氏定理的向量表示哥氏定理的向量表示 哥氏定理说明：同一个向量相对两个不同参考坐标哥氏定理说明：同一个向量相对两个不同参考坐标哥氏定理说明：同一个向量相对两个不同参考坐标哥氏定理说明：同一个向量相对两个不同参考坐标系对时间取导数之间的关系，只有在两个参考系之间系对时间取导数之间的关系，只有在两个参考系之间系对
18、时间取导数之间的关系，只有在两个参考系之间系对时间取导数之间的关系，只有在两个参考系之间无相对转动时，二者才相等。有时称左边为绝对导数，无相对转动时，二者才相等。有时称左边为绝对导数，无相对转动时，二者才相等。有时称左边为绝对导数，无相对转动时，二者才相等。有时称左边为绝对导数，右边第一项为相对导数。右边第一项为相对导数。右边第一项为相对导数。右边第一项为相对导数。一一 哥氏定理与哥氏加速度哥氏定理与哥氏加速度2022/12/1031第三十一页，本课件共有51页由哥氏定理可得到速度合成公式由哥氏定理可得到速度合成公式由哥氏定理可得到速度合成公式由哥氏定理可得到速度合成公式质点相对于参考系的速度
19、。质点相对于参考系的速度。质点相对于参考系的速度。质点相对于参考系的速度。坐标系坐标系坐标系坐标系b b相对于参考系的速度相对于参考系的速度相对于参考系的速度相对于参考系的速度质点相对于坐标系质点相对于坐标系质点相对于坐标系质点相对于坐标系b b的速度的速度的速度的速度附加速度附加速度附加速度附加速度牵连速度牵连速度牵连速度牵连速度一一 哥氏定理与哥氏加速度哥氏定理与哥氏加速度2022/12/1032第三十二页，本课件共有51页对速度合成公式再取一次时间导数，可得到加速度之对速度合成公式再取一次时间导数，可得到加速度之对速度合成公式再取一次时间导数，可得到加速度之对速度合成公式再取一次时间导数
20、，可得到加速度之间的向量合成关系：间的向量合成关系：间的向量合成关系：间的向量合成关系：一一 哥氏定理与哥氏加速度哥氏定理与哥氏加速度2022/12/1033第三十三页，本课件共有51页一一 哥氏定理与哥氏加速度哥氏定理与哥氏加速度动点在参考坐标系中的视加速度动点在参考坐标系中的视加速度动点在参考坐标系中的视加速度动点在参考坐标系中的视加速度 动点在动坐标系中的相对加速度动点在动坐标系中的相对加速度动点在动坐标系中的相对加速度动点在动坐标系中的相对加速度 动点的哥氏加速度动点的哥氏加速度动点的哥氏加速度动点的哥氏加速度 2022/12/1034第三十四页，本课件共有51页一一 哥氏定理与哥氏加
21、速度哥氏定理与哥氏加速度动点的向心加速度动点的向心加速度动点的向心加速度动点的向心加速度 动点的欧拉加速度动点的欧拉加速度动点的欧拉加速度动点的欧拉加速度 牵连加速度 动点的爱因斯坦加速度动点的爱因斯坦加速度动点的爱因斯坦加速度动点的爱因斯坦加速度2022/12/1035第三十五页，本课件共有51页讨论：讨论：用哥氏定理研究近地表面运动物体用哥氏定理研究近地表面运动物体 e e 系：地球坐标系系：地球坐标系系：地球坐标系系：地球坐标系（b b）i i 系系系系 地心惯性系地心惯性系地心惯性系地心惯性系（n n）2022/12/1036第三十六页，本课件共有51页讨论：用哥氏定理研究近地表面运动
22、物体讨论：用哥氏定理研究近地表面运动物体 e e 系：地球坐标系系：地球坐标系系：地球坐标系系：地球坐标系i i 系系系系 地心惯性系地心惯性系地心惯性系地心惯性系2022/12/1037第三十七页，本课件共有51页二二 非惯性系中的牛顿定律非惯性系中的牛顿定律惯性系中的牛顿第二定律：惯性系中的牛顿第二定律：根据哥氏定理：根据哥氏定理：根据哥氏定理：根据哥氏定理：牵连惯性力：牵连惯性力：牵连惯性力：牵连惯性力：哥氏惯性力：哥氏惯性力：哥氏惯性力：哥氏惯性力：相对惯性力：相对惯性力：相对惯性力：相对惯性力 2022/12/1038第三十八页，本课件共有51页二二 非惯性系中的牛顿定律非惯性系中的
23、牛顿定律达朗贝尔原理的一般形式达朗贝尔原理的一般形式达朗贝尔原理的一般形式达朗贝尔原理的一般形式 2022/12/1039第三十九页，本课件共有51页三三 转动惯量、惯量椭球与惯性主轴转动惯量、惯量椭球与惯性主轴（自学）（自学）l l刚体对任意轴转动惯量的表达式刚体对任意轴转动惯量的表达式刚体对任意轴转动惯量的表达式刚体对任意轴转动惯量的表达式 刚体对任意轴的转动惯量在直角坐标系中的表达式刚体对任意轴的转动惯量在直角坐标系中的表达式刚体对任意轴的转动惯量在直角坐标系中的表达式刚体对任意轴的转动惯量在直角坐标系中的表达式 2022/12/1040第四十页，本课件共有51页讨论：转动惯量的求解l
24、求下图装置对不同坐标系的转动惯量求下图装置对不同坐标系的转动惯量2022/12/1041第四十一页，本课件共有51页l求圆环与匀质圆盘的转动惯量求圆环与匀质圆盘的转动惯量圆环匀质圆盘2022/12/1042第四十二页，本课件共有51页l l惯量椭球惯量椭球惯量椭球惯量椭球三三 转动惯量、惯量椭球与惯性主轴转动惯量、惯量椭球与惯性主轴 过坐标原点到椭球面上的任意点过坐标原点到椭球面上的任意点过坐标原点到椭球面上的任意点过坐标原点到椭球面上的任意点的距离，反映了刚体对该任意轴的转的距离，反映了刚体对该任意轴的转的距离，反映了刚体对该任意轴的转的距离，反映了刚体对该任意轴的转动惯量。该椭球可用来描述
25、刚体对所动惯量。该椭球可用来描述刚体对所动惯量。该椭球可用来描述刚体对所动惯量。该椭球可用来描述刚体对所有过原点的轴的转动惯量的情况，称有过原点的轴的转动惯量的情况，称有过原点的轴的转动惯量的情况，称有过原点的轴的转动惯量的情况，称之为刚体的惯量椭球或惯性椭球。之为刚体的惯量椭球或惯性椭球。之为刚体的惯量椭球或惯性椭球。之为刚体的惯量椭球或惯性椭球。2022/12/1043第四十三页，本课件共有51页l l 惯性主轴惯性主轴惯性主轴惯性主轴三三 转动惯量、惯量椭球与惯性主轴转动惯量、惯量椭球与惯性主轴如果刚体对某根轴的惯量积为零，则称该轴为刚体的惯性如果刚体对某根轴的惯量积为零，则称该轴为刚体
26、的惯性如果刚体对某根轴的惯量积为零，则称该轴为刚体的惯性如果刚体对某根轴的惯量积为零，则称该轴为刚体的惯性主轴，对于惯量椭球的三根对称轴，刚体的惯量积是为零，主轴，对于惯量椭球的三根对称轴，刚体的惯量积是为零，主轴，对于惯量椭球的三根对称轴，刚体的惯量积是为零，主轴，对于惯量椭球的三根对称轴，刚体的惯量积是为零，所以这三根对称轴是刚体的惯性主轴。所以这三根对称轴是刚体的惯性主轴。所以这三根对称轴是刚体的惯性主轴。所以这三根对称轴是刚体的惯性主轴。2022/12/1044第四十四页，本课件共有51页定点转动刚体的惯量矩阵定点转动刚体的惯量矩阵 三三 转动惯量、惯量椭球与惯性主轴转动惯量、惯量椭球
27、与惯性主轴2022/12/1045第四十五页，本课件共有51页四四 角动量、角动量定理与欧拉动力学方程角动量、角动量定理与欧拉动力学方程质点的角动量及角动量定理质点的角动量及角动量定理 2022/12/1046第四十六页，本课件共有51页定点转动刚体的角动量定点转动刚体的角动量 四四 角动量、角动量定理与欧拉动力学方程角动量、角动量定理与欧拉动力学方程2022/12/1047第四十七页，本课件共有51页四四 角动量、角动量定理与欧拉动力学方程角动量、角动量定理与欧拉动力学方程惯性主轴惯性主轴惯性主轴惯性主轴定点转动刚体的角动量定点转动刚体的角动量 2022/12/1048第四十八页，本课件共有
28、51页l l刚体的角动量定理与欧拉动力学方程刚体的角动量定理与欧拉动力学方程刚体的角动量定理与欧拉动力学方程刚体的角动量定理与欧拉动力学方程 四四 角动量、角动量定理与欧拉动力学方程角动量、角动量定理与欧拉动力学方程哥氏定理哥氏定理哥氏定理哥氏定理角动量定理角动量定理角动量定理角动量定理2022/12/1049第四十九页，本课件共有51页l刚体的角动量定理与欧拉动力学方程刚体的角动量定理与欧拉动力学方程四四 角动量、角动量定理与欧拉动力学方程角动量、角动量定理与欧拉动力学方程刚体系刚体系刚体系刚体系及惯性及惯性及惯性及惯性主轴主轴主轴主轴2022/12/1050第五十页，本课件共有51页感谢大家观看2022/12/10第五十一页，本课件共有51页