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1、关于数值微分与数值积分(2)1第一页，本课件共有47页2微积分中，关于导数的定义如下：微积分中，关于导数的定义如下：自然，而又简单的方法就是，自然，而又简单的方法就是，取极限的近似值，即差商取极限的近似值，即差商.5.1 5.1 数值微分数值微分5.1.1 5.1.1 差商型求导公式差商型求导公式第二页，本课件共有47页3由由Taylor展开展开因此，有误差因此，有误差向前差商向前差商5.1 5.1 数值微分数值微分5.1.1 5.1.1 差商型求导公式差商型求导公式第三页，本课件共有47页4由由Taylor展开展开因此，有误差因此，有误差向后差商向后差商向后差商向后差商5.1 5.1 数值微
2、分数值微分5.1.1 5.1.1 差商型求导公式差商型求导公式第四页，本课件共有47页5由由Taylor展开展开因此，有误差因此，有误差中心差商中心差商中心差商中心差商5.1 5.1 数值微分数值微分5.1.1 5.1.1 差商型求导公式差商型求导公式第五页，本课件共有47页6由误差表达式，由误差表达式，h h越小，误差越小，但同时舍入误差增大，越小，误差越小，但同时舍入误差增大，所以，有个所以，有个最佳步长最佳步长我们可以用事后误差估计的方法来确定我们可以用事后误差估计的方法来确定设设D(h),D(h/2)D(h),D(h/2)分别为步长为分别为步长为h,h/2h,h/2的差商公式。则的差商
3、公式。则时的步长时的步长h/2h/2就是合适的步长就是合适的步长第六页，本课件共有47页7f(x)=exp(x)f(x)=exp(x)hf(1.15)R(x)hf(1.15)R(x)0.103.1630-0.00480.053.1590-0.00080.093.1622-0.00400.043.1588-0.00060.083.1613-0.00310.033.1583-0.00010.073.1607-0.00250.023.1575-0.00070.063.1600-0.00180.013.1550-0.0032例：例：第七页，本课件共有47页8 插值是建立逼近函数的手段，用以研究原函数的
4、性质。插值是建立逼近函数的手段，用以研究原函数的性质。因此，可以用插值函数的导数近似为原函数的导数。因此，可以用插值函数的导数近似为原函数的导数。误差误差5.1 5.1 数值微分数值微分5.1.2 5.1.2 插值型求导公式插值型求导公式注意注意：为了便于估计误差，限定只能对节点上的导数值采用插值为了便于估计误差，限定只能对节点上的导数值采用插值多项式的相应导数进行近似。多项式的相应导数进行近似。第八页，本课件共有47页91 1、两点公式、两点公式5.1 5.1 数值微分数值微分5.1.2 5.1.2 插值型求导公式插值型求导公式给定两点上的函数值给定两点上的函数值 这称为这称为两点公式两点公
5、式。第九页，本课件共有47页10截断误差截断误差:第十页，本课件共有47页11若给定三点上的函数值若给定三点上的函数值 则由则由 这称为这称为三点公式三点公式，其中（，其中（5.1.95.1.9）又称为）又称为中点公式中点公式。2、三点公式三点公式第十一页，本课件共有47页12 例例1 1：已知列表：已知列表X 2.5 2.55 2.60 2.65 2.70Y 1.58114 1.59687 1.61245 1.62788 1.64317第十二页，本课件共有47页13解解:h=0.05第十三页，本课件共有47页14二阶导数公式及误差二阶导数公式及误差对其求二阶导数得对其求二阶导数得 由由Tay
6、lar展开可得误差估计式展开可得误差估计式 第十四页，本课件共有47页155.2 5.2 数值积分数值积分5.2.1 5.2.1 插值型求积公式插值型求积公式 （1 1）插值型求积公式）插值型求积公式 （2 2）Newton-CotesNewton-Cotes型求积公式型求积公式 （3 3）梯形公式、）梯形公式、SimpsonSimpson公式和公式和CotesCotes公式公式5.2.2 5.2.2 复化求积公式复化求积公式 （1 1）复化梯形公式）复化梯形公式 （2 2）复化）复化SimpsonSimpson公式公式5.2.3 Romberg5.2.3 Romberg积分法积分法 （1 1
7、）梯形逐步减半算法）梯形逐步减半算法 （2 2）RombergRomberg积分法积分法 第十五页，本课件共有47页16 问题：问题：如何求积分如何求积分数学分析：数学分析：牛顿牛顿-莱布尼茨莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式：公式：N-LN-L公式失效的情形：公式失效的情形：（1 1）被积函数，诸如）被积函数，诸如 等等，找不到用等等，找不到用初等函数表示的原函数；初等函数表示的原函数；（2 2）当）当 是由测量或数值计算给出的一张数据表是由测量或数值计算给出的一张数据表.这时，牛顿这时，牛顿-莱布尼茨公式也不能直接运用莱布尼茨公式也不能直接运用;第十六页，本课件共有47页17 问
8、题问题：点：点的具体位置一般是不知道的，因而难以的具体位置一般是不知道的，因而难以 准确算出准确算出 的值，怎么办？的值，怎么办？只要对平均高度只要对平均高度 提供一种算法，相应地便可获得提供一种算法，相应地便可获得一种数值求积方法一种数值求积方法.由积分中值定理知，在积分区间由积分中值定理知，在积分区间 内存在一点内存在一点，成立成立 构造数值积分公式的基本思想：构造数值积分公式的基本思想：（1）左矩形公式）左矩形公式第十七页，本课件共有47页18（3 3）用区间中点）用区间中点 的的“高度高度”近似地取代平近似地取代平均均高度高度 ，则又可导出所谓中矩形公式，则又可导出所谓中矩形公式（2）
9、右矩形公式）右矩形公式（4 4）用两端点）用两端点“高度高度”与与 的算术平均作为平均高的算术平均作为平均高度度的近似值，这样导出的求积公式的近似值，这样导出的求积公式是梯形公式是梯形公式.第十八页，本课件共有47页19 一般地，可以在区间一般地，可以在区间 上适当选取某些节点上适当选取某些节点 ，然后用然后用 加权平均得到平均高度加权平均得到平均高度 的近似值，这样的近似值，这样权权 仅仅与节点仅仅与节点 的选取有关，的选取有关，构造出的求积公式具有下列形式：构造出的求积公式具有下列形式：的具体形式的具体形式.而不依赖于被积函数而不依赖于被积函数式中式中 称为称为求积节点求积节点；称为称为求
10、积系数求积系数,亦称伴随节点亦称伴随节点 的的权权.kA将这种思想一般化：将这种思想一般化：第十九页，本课件共有47页20（1 1）插值型求积公式）插值型求积公式 x0 x1-xi-1xixi+1-xnf(x0)f(x1)-f(xi-1)f(xi)f(xi+1)-f(xn)2.2.由下列列表函数求由下列列表函数求L-L-插值多项式插值多项式第二十页，本课件共有47页21称为称为插值型求积公式插值型求积公式，称为称为求积求积节点节点，称为称为求积系数求积系数，其和 第二十一页，本课件共有47页22求积系数求积系数 通过插值基函数通过插值基函数 积分得出积分得出 由插值余项定理即知，其由插值余项定
11、理即知，其余项余项 式中式中与变量与变量 有关，有关，因此，当因此，当 f(x)f(x)为次数不超过为次数不超过 n n 次的多项式时，插值型求积次的多项式时，插值型求积公式精确成立。公式精确成立。第二十二页，本课件共有47页23（2）Newton-Cotes公式公式 则则 ，考虑等距节点的情形考虑等距节点的情形 Newton-Cotes公式公式CotesCotes系数系数 第二十三页，本课件共有47页24n=1,2,4的的N-C公式公式 这称为这称为梯形公式梯形公式；几何意义：用梯形面积几何意义：用梯形面积代替代替f(x)作为曲边的曲边作为曲边的曲边梯形面积。梯形面积。图图1 梯形公式梯形公
12、式 ab（3 3）梯形公式、）梯形公式、SimpsonSimpson公式和公式和CotesCotes公式公式第二十四页，本课件共有47页25这称为这称为Simpsion公式公式。图图2 Simpson公式公式 ab几何意义：用抛物线几何意义：用抛物线 作曲边的曲边作曲边的曲边梯形面积代替梯形面积代替f(x)作作为曲边的曲边梯形面积。为曲边的曲边梯形面积。第二十五页，本课件共有47页26这称为这称为Cotes公式公式。求积公式的误差（余项）求积公式的误差（余项）第二十六页，本课件共有47页27第二十七页，本课件共有47页28 例例 5.1 分别用梯形公式、分别用梯形公式、Simpson公式计算定
13、积分公式计算定积分 解解梯形公式的误差梯形公式的误差SimpsonSimpson公式及误差公式及误差第二十八页，本课件共有47页295.2.2 5.2.2 复化求积公式复化求积公式 第二十九页，本课件共有47页30当取当取 m=1 时，称为时，称为复化梯形公式复化梯形公式，简记为，简记为Tn（1 1）复化梯形公式）复化梯形公式第三十页，本课件共有47页31当取当取 m=2 时，称为时，称为复化复化Simpson公式公式，简记为，简记为Sn（2 2）复化）复化SimpsonSimpson公式公式第三十一页，本课件共有47页32复合求积公式的误差（余项）复合求积公式的误差（余项）第三十二页，本课件
14、共有47页33解：解：使用复化梯形公式使用复化梯形公式使用复化使用复化Simpson公式：公式：例例 5.3 5.3 分别用复化梯形公式、复化分别用复化梯形公式、复化SimpsonSimpson公式计算定积分公式计算定积分 第三十三页，本课件共有47页34 为便于估计误差，实际计算时常常采用步长逐次减半的算法，为便于估计误差，实际计算时常常采用步长逐次减半的算法，下面介绍其思想。下面介绍其思想。由由得得5.2.3 Romberg5.2.3 Romberg积分法积分法 （1 1）梯形逐步减半算法）梯形逐步减半算法 第三十四页，本课件共有47页35所以得所以得 所以所以 第三十五页，本课件共有47
15、页36 根据式根据式(5.2.15)进行进行事后误差估计事后误差估计 ，如此递推计算，如此递推计算，直到某个直到某个n 满足满足 为止为止，取取 为所求的近似值，为所求的近似值，这就是这就是梯形公式的步长逐次减半算法梯形公式的步长逐次减半算法。因此，可先用因此，可先用 计算出计算出T1，并把步长减，并把步长减半算出半算出T2，若，若 则则T2 即为所求的近即为所求的近似值，否则再把步长减半，算出似值，否则再把步长减半，算出T4;第三十六页，本课件共有47页37为减少计算量，需建立递推公式，现对复合梯形公式推导之。为减少计算量，需建立递推公式，现对复合梯形公式推导之。这里这里 对应于新的步长，对
16、应于新的步长，对对应于新分点。应于新分点。第三十七页，本课件共有47页38因此可建立梯形公式的步长逐次减半递推公式：因此可建立梯形公式的步长逐次减半递推公式：第三十八页，本课件共有47页39 类似地，可对类似地，可对 Simpson 公式和公式和 Cotes 公式公式分别利用（分别利用（5.2.17）和（）和（5.2.18）进行事后误差）进行事后误差估计，建立步长逐次减半的算法。估计，建立步长逐次减半的算法。第三十九页，本课件共有47页40解解:第四十页，本课件共有47页41计算结果见下表计算结果见下表第四十一页，本课件共有47页42这说明收敛较快的这说明收敛较快的 Simpson 步长减半序
17、列步长减半序列 可由梯形公式的可由梯形公式的步长减半序列步长减半序列 构造生成。构造生成。5.2.3 Romberg积分法积分法（2）Romberg积分法积分法第四十二页，本课件共有47页43类似地，类似地，(5.2.20)、(5.2.22)和和(5.2.24)称为称为龙贝格（龙贝格（Romberg）积分公式）积分公式。按以上方法可继续外推下去，建立如下收敛较快的外推算法按以上方法可继续外推下去，建立如下收敛较快的外推算法龙贝龙贝格积分法格积分法。第四十三页，本课件共有47页44 其计算公式为其计算公式为注注：这样的计算格式可根据精这样的计算格式可根据精度自动停机。只要竖线上相邻度自动停机。只要竖线上相邻两结果之差不超过给定精度为两结果之差不超过给定精度为止。计算过程实质是将区间逐止。计算过程实质是将区间逐次分半计算次分半计算 ，然后利用加，然后利用加速公式，故又叫逐次分半加速速公式，故又叫逐次分半加速法。法。5.2.3 Romberg积分法积分法（2）Romberg积分法积分法第四十四页，本课件共有47页45解解:第四十五页，本课件共有47页46第四十六页，本课件共有47页10.12.2022感谢大家观看第四十七页，本课件共有47页