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1、随机变量的方差和标准差1第1页，本讲稿共19页 随机随机变变量量X的数学期望，描述了随机的数学期望，描述了随机变变量量X取取值值的集的集中中趋势趋势或平均水平，但是或平均水平，但是仅仅仅仅知道知道X的数学期望有的数学期望有时还时还不不能完全刻划随机能完全刻划随机变变量量X的的统计统计特征。比如，某厂生特征。比如，某厂生产产一一批元件，平均使用寿命批元件，平均使用寿命E(X)=)=1000小小时时，仅仅由此我由此我们还们还很很难难了解了解这这批元件批元件质质量的好坏，因量的好坏，因为为有可能有一半的元有可能有一半的元件件质质量很高，寿命在量很高，寿命在1500小小时时以上，而另一半却以上，而另一
2、半却质质量很差，量很差，寿命不足寿命不足500小小时时，从而反映出，从而反映出质质量不量不稳稳定。可定。可见应进见应进一一步考察元件寿命步考察元件寿命X对对期望期望E(X)的偏离程度。下面介的偏离程度。下面介绍绍的方的方差就是用来描述随机差就是用来描述随机变变量的可能取量的可能取值值与其期望之与其期望之间间的差异程的差异程度的数量特征。度的数量特征。2第2页，本讲稿共19页一、方差的定义一、方差的定义 定义定义即即3第3页，本讲稿共19页计算公式计算公式:4第4页，本讲稿共19页1.1.若若X是是离散型离散型随机随机变变量，其概率分布量，其概率分布为为 则则计算公式计算公式:2.2.若若X为为
3、连续型连续型随机随机变变量，其概率密度量，其概率密度为为 f(x)，则则5第5页，本讲稿共19页 设设X表示机床表示机床A一天生产的产品废品数，一天生产的产品废品数，Y 表示机床表示机床B一天生产的产品废品数，它们的概率分布如下：一天生产的产品废品数，它们的概率分布如下：X0120.5P 30.30.10.1例例1 1解解Y0120.6P 30.10.20.1问：两机床哪台质量好？设两台机床的日产量相等问：两机床哪台质量好？设两台机床的日产量相等。均值相等均值相等,据此不能判断优劣据此不能判断优劣,再求方差再求方差.6第6页，本讲稿共19页X0120.5P 30.30.10.1Y0120.6P
4、 30.10.20.1均值相等均值相等,据此不能判据此不能判断优劣断优劣,再求方差再求方差.由于由于D(X)D(Y),),因此机床因此机床A的波动较机床的波动较机床B的波动的波动小小,质量较稳定质量较稳定.7第7页，本讲稿共19页解解例例2 2 设设随机随机变变量量X的概率密度函数的概率密度函数 求求：EX,DX.8第8页，本讲稿共19页二、方差的性质二、方差的性质性性质质1 D(C)=0)=0，其中其中C是常数。是常数。性质性质2 若若k是常数是常数,则则性质性质3证证其中其中C是常数。是常数。证证9第9页，本讲稿共19页性质性质4设设X和和Y是两个相互独立的随机是两个相互独立的随机变变量，
5、量，则则 证证而而10第10页，本讲稿共19页当当X和和Y相互相互独立独立时时，有有E(XY)=E(X)E(Y)，所以所以推广：推广：若若X1,X2,Xn两两两两独立独立,则则性质性质4设设X和和Y是两个相互独立的随机是两个相互独立的随机变变量，量，则则 证证11第11页，本讲稿共19页注意注意：以下两个式子是等价的：以下两个式子是等价的,的充分必要条件为的充分必要条件为,存在常数存在常数C,使使事实上事实上,例如例如,当当X和和Y相互独立相互独立时时,有有性质性质5若若X1,X2,Xn两两两两独立独立,则则12第12页，本讲稿共19页三、切比雪夫不等式三、切比雪夫不等式 随机随机变变量的方差
6、是刻画它量的方差是刻画它围绕围绕其期望其期望值值的离散程度的，因的离散程度的，因此我此我们们希望用方差来估希望用方差来估计计随机随机变变量与其期望量与其期望值值之之间间的偏差大于的偏差大于某一某一给给定正数的概率的上界。定正数的概率的上界。定理定理成立成立.13第13页，本讲稿共19页定理定理成立成立.证证设设X是是连续连续型随机型随机变变量，其概率密度量，其概率密度为为f(x),则则 14第14页，本讲稿共19页上式可改写为上式可改写为 切切比雪夫不等式具体地估算了随机变量比雪夫不等式具体地估算了随机变量X取值时，以取值时，以数学期望数学期望E(X)为中心的分散程度。不难看出，方差为中心的分
7、散程度。不难看出，方差D(X)越小，则随机变量越小，则随机变量X的取值越集中在数学期望的取值越集中在数学期望E(X)的附的附近，由此可以进一步体会到方差的概率意义，它刻划近，由此可以进一步体会到方差的概率意义，它刻划了随机变量的分散程度。了随机变量的分散程度。如取如取15第15页，本讲稿共19页 已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是是7300，均方差是，均方差是700.利用切比雪夫不等式估计每毫升利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在白细胞数在52009400之间的概率之间的概率.设每毫升白细胞数为设每毫升白细胞数为X，依题意，依题意，E(
8、X)=7300,D(X)=7002，例例3 3解解由切比雪夫不等式，由切比雪夫不等式，16第16页，本讲稿共19页 根据过去统计资料，某产品的次品率为根据过去统计资料，某产品的次品率为p=0.05，试试用切比雪夫不等式估计用切比雪夫不等式估计1000件产品中，次品数在件产品中，次品数在4060之之间的概率间的概率.例例4 4解解设设X表示表示1000件产品中的次品数，则件产品中的次品数，则 由切比雪夫不等式，由切比雪夫不等式，17第17页，本讲稿共19页 该该数数值值是非常保守的估是非常保守的估计计，事，事实实上，由中心极限定理可上，由中心极限定理可知，概率知，概率约为约为 注注：18第18页，本讲稿共19页练习：练习：P131 习题四习题四19第19页，本讲稿共19页