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1、关于函数的极值和最值1第一页，本课件共有12页注意注意 1)函数的函数的极值极值概念是概念是局部性局部性的的2)函数的函数的极值极值可能有多个可能有多个3)函数的函数的极大值极大值可能比可能比极小值极小值小小4)函数的函数的极值极值不在端点上取不在端点上取xy2第二页，本课件共有12页由图所示由图所示,函数函数的极大值为的极大值为:极小值为极小值为:函数的极值在单调区间的分界点处取得函数的极值在单调区间的分界点处取得.xy3第三页，本课件共有12页定理定理3.4.1（极值存在的必要条件）（极值存在的必要条件）(费尔马定理费尔马定理)设函数设函数在在处处可导并取得极值可导并取得极值,则则条件必要
2、而不充分条件必要而不充分.即驻点即驻点未必是极值点未必是极值点.注意注意例例 y=x3 在在 x=0点导数为零，但不是极值点。点导数为零，但不是极值点。1）导数不存在的点导数不存在的点也可能是函数的极值点也可能是函数的极值点.若若，称点，称点为函数为函数的的驻点驻点.2）极值点只可能在）极值点只可能在驻点或导数不存在的点驻点或导数不存在的点取到。取到。4第四页，本课件共有12页定理定理 3.4.2(极值存在的充分条件极值存在的充分条件)当当时时,当当时时,(1)则则在在处取得处取得极大值极大值.当当时时,(2)当当时时,则则在在处取得处取得极小值极小值.(3)在在的邻近两侧的邻近两侧不变号不变
3、号,则则在在处处没有极值没有极值.在在点连续，在点连续，在 的某一邻域内可导（的某一邻域内可导（可除外）可除外）设函数设函数xy5第五页，本课件共有12页求函数极值的方法和步骤求函数极值的方法和步骤:(1).求出求出(2).求使求使的点的点(驻点驻点),及使及使不存在的点不存在的点;(3).利用定理利用定理3.4.2判别所找点是否极值点判别所找点是否极值点,并判别极大并判别极大(小小)值值.例例1.求函数求函数的极值的极值.解解.得得列表列表:极大值极大值极小值极小值增增减减增增极大值为极大值为:极小值为极小值为:6第六页，本课件共有12页定理定理 3.4.3（充分条件）（充分条件）设函数设函
4、数处具有二阶导数处具有二阶导数,且且在点在点则则当当时时,为为极大值极大值;当当时时,为为极小值极小值.例例2.求函数求函数的极值的极值.解解:令令,得得所以有极小值所以有极小值:定理定理3.4.3失效失效,用定理用定理3.4.2判断判断.当当时时,时时,不是极值点不是极值点当当时时,时时,不是极值点不是极值点7第七页，本课件共有12页注意注意1)函数的函数的最值最值概念是概念是全局性全局性的的2)函数的函数的最大值（最小值）最大值（最小值）唯一唯一3)函数的函数的最大值大于等于最小值最大值大于等于最小值4)函数的最函数的最值值可在端点上取可在端点上取定义定义3.4.2设设 f(x)在在 D
5、上有定义上有定义,都有都有最大值与最小值统称为最大值与最小值统称为最最值值,使函数取得最值的点称为使函数取得最值的点称为最值点最值点.1).,则称则称为函数为函数的的最大值最大值.2).,则称则称为函数为函数的的最小值最小值.3.4.2 函数的函数的最值及其求法最值及其求法8第八页，本课件共有12页若函数若函数在在上连续，上连续，上取得最大值、最小值上取得最大值、最小值.则必在则必在xyo求最值的方法求最值的方法:2.若函数若函数在在内取得内取得最值最值，则此点一定取得，则此点一定取得极值极值1、求出最值点的存在范畴、求出最值点的存在范畴：端点、驻点、导数不存在的点：端点、驻点、导数不存在的点
6、2.计算函数计算函数在这些点处的函数值在这些点处的函数值;3.比较这些函数值的大小比较这些函数值的大小,其中其中最大者最大者与与最小者最小者就是函数就是函数在区间在区间上的上的最大值最大值和和最小值最小值.x01.函数函数可能在可能在端点端点取得最值。取得最值。说明说明9第九页，本课件共有12页例例1.求函数求函数在在上的最大、小值上的最大、小值.解解令令得得当当时时,不存在不存在.函数函数在在上的最大值为上的最大值为:最小值为最小值为:10第十页，本课件共有12页几种特殊情况几种特殊情况:1.若若在在上上单调单调,则在则在端点处取得端点处取得最值最值.2.若若在在内内只有一个极值点只有一个极值点则当则当为为极大极大(小小)值值点时点时,就是就是最大最大(小小)值值.3.在实际问题中在实际问题中,则按实际情况进行判断则按实际情况进行判断.当表示该实际问题的函数当表示该实际问题的函数在所讨论的区间内在所讨论的区间内只有只有一个可能的极值点一个可能的极值点时时,则该实际问题一定在该点取得所则该实际问题一定在该点取得所求的最大值或最小值求的最大值或最小值.11第十一页，本课件共有12页感谢大家观看10.12.2022第十二页，本课件共有12页