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1、关于生命曲线预测方法第一页，本课件共有63页生物的生长过程经历发生、发展到成熟三个阶段，生物的生长过程经历发生、发展到成熟三个阶段，在这三个阶段中生物生长速度是不一样的，例如在这三个阶段中生物生长速度是不一样的，例如,南南瓜的增长速度，在第一阶段增长较慢，在成长时瓜的增长速度，在第一阶段增长较慢，在成长时期则突然加快，而到了成熟期又趋减慢，形成一期则突然加快，而到了成熟期又趋减慢，形成一条条S S形曲线，这就是有名的形曲线，这就是有名的生长曲线（生长曲线（增长曲线增长曲线）。生命曲线生命曲线也可以是描述经济指标随时间变化呈某种也可以是描述经济指标随时间变化呈某种生物变化规律的一种曲线生物变化规
2、律的一种曲线。第七章第七章 生命曲线预测方法生命曲线预测方法第二页，本课件共有63页在市场预测中，经常会碰到预测对象在其发展过在市场预测中，经常会碰到预测对象在其发展过程中呈现出与生物类似的发展过程。即在成长期快程中呈现出与生物类似的发展过程。即在成长期快速增长、成熟（饱和期增长放慢）、衰退等各种不速增长、成熟（饱和期增长放慢）、衰退等各种不同形态。例如同形态。例如新技术、新产品的开发和更新换新技术、新产品的开发和更新换代过程，需求增长代过程，需求增长规律等均可用生命曲线来描述。规律等均可用生命曲线来描述。这种方法是根据时间序列变化的历史数据，运用三这种方法是根据时间序列变化的历史数据，运用三
3、和法、三点法。和法、三点法。第三页，本课件共有63页一、例子一、例子1、人类成长的生命曲线、人类成长的生命曲线年龄年龄36912151821242730身高身高48 76112140168172176178180181例例1 1人类身高的成长曲线的生长规律如表人类身高的成长曲线的生长规律如表7-1所示所示 单位：单位：cm年龄年龄身身高高 图7-1人身高成长曲线 第一节第一节 生命曲线的概念与一般模型生命曲线的概念与一般模型第四页，本课件共有63页例例 2 2如表7-2 是南瓜重量随时间变化的生长曲线。天天2468101214161820222426克克12020040010002600330
4、03800430049005100530054005450图图7-2 南瓜重量生长曲线南瓜重量生长曲线天重量2、生物生长的生命曲线、生物生长的生命曲线第五页，本课件共有63页例例3 典型产品生命周期曲线典型产品生命周期曲线导入期导入期成长期成长期成熟期成熟期衰推期衰推期t销量第六页，本课件共有63页二阶差分 三阶差分 一阶差分环比指数注意：注意：增长曲线增长曲线增长曲线增长曲线模型在理论上的变化规律都遵循着一模型在理论上的变化规律都遵循着一阶差分阶差分、二阶差分、二阶差分、三阶差分、三阶差分、一阶差分环比指数为、一阶差分环比指数为一常数的特征。一常数的特征。一阶差分补充知识：补充知识：n阶差分
5、阶差分第七页，本课件共有63页二、成长曲线预测模型的基本类型二、成长曲线预测模型的基本类型二、成长曲线预测模型的基本类型二、成长曲线预测模型的基本类型（一）多项式增长曲线模型（一）多项式增长曲线模型P225P225（二）简单指数型增长曲线模型（二）简单指数型增长曲线模型（二）简单指数型增长曲线模型（二）简单指数型增长曲线模型简单指数型增长曲线模型为：简单指数型增长曲线模型为：其中：其中：a,b参数，参数，t时间序列时间序列,yt 经济目标值经济目标值 如图如图 所示所示（1）a0a0b b1 1a0a00 0b b1 1图图7-5 简单指数型增长曲线图简单指数型增长曲线图(0(0，a)a)t第
6、八页，本课件共有63页将（1）取对数，有：（2）（3）由（由（3）可知：）可知：其曲线方程为一条直线。其曲线方程为一条直线。为一阶差分为一常数。即：为一阶差分为一常数。即：结论结论:当时间序列当时间序列当时间序列当时间序列yt t的环比指数大体相等，或时间序列的环比指数大体相等，或时间序列yt的对数的对数一阶差分近似为一常数，可用简单指数曲线来拟合实一阶差分近似为一常数，可用简单指数曲线来拟合实际曲线。际曲线。第九页，本课件共有63页结论结论 当时间序列当时间序列 yt 的的环比指数大体相等或大体相等时环比指数大体相等或大体相等时环比指数大体相等或大体相等时环比指数大体相等或大体相等时，可用可
7、用修正指数曲线来拟合实际曲线修正指数曲线来拟合实际曲线。1、其模型为：、其模型为：（5）（三）修正指数型增长曲线模型（三）修正指数型增长曲线模型第十页，本课件共有63页k0，a0，0b1y0 0=K+a图7-6 修正曲线的几种类型tttt图图(d)饱和后期饱和后期图（图（a）饱和期）饱和期图图(b)成长期成长期图（图（c）衰退期）衰退期k0，a 1，b 1k0，a0，b 1k0，a 0，0b1修正曲线模型的几种类型图修正曲线模型的几种类型图第十一页，本课件共有63页其模型为：其模型为：（1）（3）（2）结论：结论：龚柏兹曲线类似于修正曲线。龚柏兹曲线类似于修正曲线。（四）龚柏兹曲线模型（四）龚
8、柏兹曲线模型第十二页，本课件共有63页 0a1，0b1y0 0=Ktttt图图(d)衰退期衰退期图（图（a）成长期和成熟前期）成长期和成熟前期图图(b)成长期后半期和衰退期成长期后半期和衰退期图（图（c）成长期）成长期0a1，b 1a 1，b 1a 1，0b1y0 0=K龚柏兹曲线的几种类型图龚柏兹曲线的几种类型图 第十三页，本课件共有63页式中：式中：k,a,b为待定参数为待定参数.由（由（9）可得一阶、二阶导数为）可得一阶、二阶导数为(9)(10)k 0，a10b1t图7-12y0=1/(k+a)（五）罗吉斯曲线其曲线模型（五）罗吉斯曲线其曲线模型yt t=0y=1/k第十四页，本课件共有
9、63页罗吉斯罗吉斯曲线拐点左侧呈上凹趋势，过了该拐点曲线拐点左侧呈上凹趋势，过了该拐点后曲线转变为向下凹趋势。后曲线转变为向下凹趋势。（1）当）当t=0时时,有：有：yt=1/k+a，则，则yt=0和和yt=1/k都是罗吉斯曲线的渐进线。都是罗吉斯曲线的渐进线。（2）当）当t时，时，yt 1/k 当当t-时，时，yt 0罗吉斯罗吉斯曲线形状与曲线形状与龚柏兹龚柏兹曲线形状很相似，它所曲线形状很相似，它所描述的经济变量的变化规律也是开始缓慢增长，描述的经济变量的变化规律也是开始缓慢增长，而后逐渐加快，达到拐点后，增长率减缓，最而后逐渐加快，达到拐点后，增长率减缓，最后达到一临界值。后达到一临界值
10、。第十五页，本课件共有63页第二节第二节 生命曲线模型的识别生命曲线模型的识别在前面，我们介绍了几种常用的生命曲线模在前面，我们介绍了几种常用的生命曲线模型，但在实际的应用中，怎样根据时间序列变型，但在实际的应用中，怎样根据时间序列变化，建立生命曲线模型？选择哪一种模型最合化，建立生命曲线模型？选择哪一种模型最合适？这就涉及到生命增长曲线模型的识别问题。适？这就涉及到生命增长曲线模型的识别问题。下面，介绍几种识别的方法。下面，介绍几种识别的方法。第二十二页，本课件共有63页一、模型识别n在识别模型之前，我们应根据图形的几种特性，在识别模型之前，我们应根据图形的几种特性，掌握要识别模型的大概全貌
11、，然后，才能识别掌握要识别模型的大概全貌，然后，才能识别模型。因此要注意以下几个方面：模型。因此要注意以下几个方面：n n（一）图形的单调性（一）图形的单调性 利用利用y判断。（某区间判断。（某区间内）内）n n（二）极值（二）极值 利用利用y和和y判断。判断。n n（三）拐点（三）拐点 利用利用y和和y判断。判断。n n（四）对称性（四）对称性 利用拐点左右两端及与对称中利用拐点左右两端及与对称中心的极限之差进行比较确定。心的极限之差进行比较确定。n n（五）时间性（五）时间性第二十三页，本课件共有63页二、预测模型的识别方法二、预测模型的识别方法n n（一）目估法（一）目估法n这种方法首先
12、将图画出来，根据此图形，选这种方法首先将图画出来，根据此图形，选择合适的模型。择合适的模型。n若构成指数形，可选择简单指数形或修正指若构成指数形，可选择简单指数形或修正指数模型；若接近数模型；若接近S形，可选择龚柏兹模型。形，可选择龚柏兹模型。n n特点：特点：n1、直观简便、直观简便n2、若数据不足，（不能画出完整的图形）对、若数据不足，（不能画出完整的图形）对选择模型造成困难。选择模型造成困难。第二十四页，本课件共有63页（二）离差法(i=1,2,n)第二十五页，本课件共有63页（三）增长特征法（三）增长特征法这种方法就是以研究动态序列的增长变化特征与增长曲线这种方法就是以研究动态序列的增
13、长变化特征与增长曲线的相应特征为基础的一种识别方法。其基本点就是选择增的相应特征为基础的一种识别方法。其基本点就是选择增长曲线在理论上的变化规律与样本序列的实际的变化规律长曲线在理论上的变化规律与样本序列的实际的变化规律最接近的一种曲线作为选择的最优曲线。具体方法如下：最接近的一种曲线作为选择的最优曲线。具体方法如下：1、计算时间序列的滑动平均值、计算时间序列的滑动平均值、计算时间序列的滑动平均值、计算时间序列的滑动平均值 。其目的是要消除时间序列中的随机因素，计算公式为其目的是要消除时间序列中的随机因素，计算公式为（9）第二十六页，本课件共有63页2、计算时间序列的平均增长量。其公式为：、计
14、算时间序列的平均增长量。其公式为：（10）第二十七页，本课件共有63页（10）是平均增长计算公式，主要是因为对动态）是平均增长计算公式，主要是因为对动态时间序列选配趋势直线时，是以时间原点作为中时间序列选配趋势直线时，是以时间原点作为中心进行计算的。直线方程是：心进行计算的。直线方程是：y=a+btb是平均增长，其计算公式为：是平均增长，其计算公式为：第二十八页，本课件共有63页3、计算时间序列的增长特征、计算时间序列的增长特征时间序列时间序列 经过移动平均修匀后，经过移动平均修匀后，的变化特征，可通过的变化特征，可通过计算平均增长数计算平均增长数 及及 和和 来判断识别来判断识别曲线的模型。
15、如表曲线的模型。如表7-7第二十九页，本课件共有63页 的平均增长特征的平均增长特征平均增长特征对时间变化的性质平均增长特征对时间变化的性质曲线模型曲线模型基本一样基本一样直线方程直线方程线性变化线性变化二次曲线方程二次曲线方程线性变化线性变化三次曲线方程三次曲线方程基本一样基本一样指数曲线方程指数曲线方程线性变化线性变化双指数曲线方程双指数曲线方程线性变化线性变化龚柏兹龚柏兹曲线方程曲线方程线性变化线性变化罗吉斯罗吉斯曲线方程曲线方程表表7-7 增长特征法判别曲线模型增长特征法判别曲线模型第三十页，本课件共有63页应用应用1某企业某企业 19932004年销售额如表年销售额如表7-8所示资料
16、，试建所示资料，试建立销售额的曲线模型。立销售额的曲线模型。表表7-8 19932004年销售额资料表年销售额资料表年年份份199319941995199619971998199920002001200220032004销销售售额额164193255279512606766838941105510881044第三十一页，本课件共有63页思考：思考：1、画出散点图，初步识别属于哪一类？、画出散点图，初步识别属于哪一类？2、为识别增长曲线属于哪一种类型，可采用增、为识别增长曲线属于哪一种类型，可采用增长特征法进行识别。在这里我们用以长特征法进行识别。在这里我们用以3年为一个跨越期，年为一个跨越期，
17、求出求出 ，然后再求出，然后再求出 。3、分别计算出、分别计算出 、与时间与时间t的相关系数的相关系数r,计算公式如下：计算公式如下：具体计算结果如表具体计算结果如表5-9所示所示第三十二页，本课件共有63页年份年份t19931164-19942199204-19953255242.372.350.29910857-2.909-2.90919964279348.7111.70.3202.048-3.037-3.03719975512465.7139.70.3002.145-3.191-3.19119986606628.0135.50.2162.132-3.464-3.4641999776673
18、6.7110.20.1502.042-3.691-3.69120008838848.3104.00.1232.017-3.839-3.83920019941944.789.90.1151.954-3.915-3.91520021010551028.058.80.0571.769-4.256-4.25620031110887062.3-2004121044-表表7-9 1993年年2004年销售额增长特征计算表年销售额增长特征计算表第三十三页，本课件共有63页由表7-9 可知，的值基本保持不变。根据表7-7应选取双曲指数曲线模型。第三十四页，本课件共有63页在前面，介绍了对实际问题的模型识别，进
19、行完在前面，介绍了对实际问题的模型识别，进行完了这一步工作后，还要确定预测方程里的参数（待了这一步工作后，还要确定预测方程里的参数（待定系数）后，才完成了建立预测模型。确定参数，定系数）后，才完成了建立预测模型。确定参数，以预测模型与实际模型之间的以预测模型与实际模型之间的偏差为最小偏差为最小原则。通原则。通常是常是最小二乘法最小二乘法。由于非线性问题用最小二乘法，由于非线性问题用最小二乘法，使得计算非常复杂，于是用三和法、三点法和优使得计算非常复杂，于是用三和法、三点法和优选法选法，下面分别介绍如下：，下面分别介绍如下：第三节第三节 生命曲线模型的参数估计生命曲线模型的参数估计第三十五页，本
20、课件共有63页n n一、最小二乘法一、最小二乘法(略略)n n二、三和法二、三和法n这种方法是将整个增长的时间序列分为这种方法是将整个增长的时间序列分为三个相三个相等的时间周期等的时间周期，并对每一个时间周期的数据求，并对每一个时间周期的数据求和后，再估计参数。和后，再估计参数。它适用于它适用于“S”形的模型。形的模型。n现以修正指数方程应用现以修正指数方程应用“三和法三和法”确定参数为确定参数为例：例：第三十六页，本课件共有63页由修正指数方程 ，将时间序列分为三段，假定有3n段，每段为n。则第一段各期的观察值求和为：则第一段各期的观察值求和为：(1)第一段为：第一段为：第二段为：第二段为：
21、第三段为：第三段为：第三十七页，本课件共有63页(2)(3)将（将（2）-（1）和（）和（3）-（2）得：）得：（4）（5）（5）/（4）有：）有：（6）第三十八页，本课件共有63页（7）（8）（9）（10）第三十九页，本课件共有63页分析误差的大小对参数的影响分析误差的大小对参数的影响n假设假设k=120，a=-60，b=0.5各期的时间序列各期的时间序列数据按数据按yt=120-60*0.5t 的规律形成，当的规律形成，当t=0，1，2，11的各时期的各时期yt，用三和法时，用三和法时，误差的大小对误差的大小对 a，b，k的影响。见表的影响。见表7-10 表表7-10 随机误差随机误差t
22、对模型参数的影响计算表对模型参数的影响计算表第四十页，本课件共有63页t060+2.462.4190+4.894.82105-6.099.03112.5+6.0118.5367.5367.5374.7374.74116.25-1.2115.055118.12+3.6121.726119.06-2.4116.667119.58+2.5122.03472.96472.96475.46475.468119.77+2.4122.179119.88+1.2121.0810119.94-4.8115.1411119.970119.97497.56497.56478.36478.36第四十一页，本课件共有6
23、3页当用第二列的数据去估算，其参数为当用第二列的数据去估算，其参数为a=-60,b=0.5,k=120。但用第。但用第4列的数据去估算时，列的数据去估算时，b=0.3528,a=-67.5K=114,其模型为：其模型为：由此可见，用三和法，随机因素的大小对参数影响很大。由此可见，用三和法，随机因素的大小对参数影响很大。因此，用这种方法时，因此，用这种方法时，最好先用指数平滑法对时间序列滤最好先用指数平滑法对时间序列滤去随机因素，再用此法。去随机因素，再用此法。在在 式中，当：式中，当：第四十二页，本课件共有63页三和法特点：三和法特点：n1、对随机因素的干扰很敏感；n2、时间序列变化范围小；n
24、3、收集的数据要完整。第四十三页，本课件共有63页三、三点法三、三点法n这种方法是用在这种方法是用在观察数据观察数据不全不全的情况下，假定的情况下，假定曲线通过已知的相邻间隔相等的三个点曲线通过已知的相邻间隔相等的三个点(必必要条件要条件)，现假设：，现假设：第四十四页，本课件共有63页(1)(3)(5)(6)（2）（4）第四十五页，本课件共有63页(5)(6)有：(7)(8)将（7）代入（5）有：（9）将（9）代入（2）得：（10）将a，b，k代入（1），即可得预测模型。第四十六页，本课件共有63页三点法特点：三点法特点：n1、在计算模型参数时，仅用了三个数据点，因而选用数据时，要尽量未受到
25、随机因素干扰要尽量未受到随机因素干扰的数据的数据，因此，在可能情况下，最好选均值。最好选均值。n2、计算简单。第四十七页，本课件共有63页应用应用2现用三点法估算修正指数型增长曲线模型的各现用三点法估算修正指数型增长曲线模型的各参数参数k、a和和b。设曲线通过三点。设曲线通过三点y0=15，y1=90，y2=125,且相邻两点之间的间距为且相邻两点之间的间距为6个时间单个时间单位（位（2P+1=6），则），则第四十八页，本课件共有63页a0,0b1第四十九页，本课件共有63页以上介绍以上介绍“三和法三和法”和和“三点法三点法”虽然在计算虽然在计算上简单，但精度较低。上简单，但精度较低。“最小二
26、乘法最小二乘法”精度较高，精度较高，但遇到非线性问题计算非常烦琐。为了简化计算，但遇到非线性问题计算非常烦琐。为了简化计算，下面介绍下面介绍在优选法的基础上利用在优选法的基础上利用“最小二乘法最小二乘法”简称简称“优选法优选法”。具体方法如下具体方法如下:由由龚柏兹曲线龚柏兹曲线 （1）已知时间序列的历史统计数据为：已知时间序列的历史统计数据为：若能通过某种方式首先估出参数若能通过某种方式首先估出参数k，(1)就可线性就可线性化了。化了。四、优选法四、优选法第五十页，本课件共有63页n即：有：令：（2 2）（3）第五十一页，本课件共有63页由（3）可将（2）转化为：（4）其中：A，B为待定参数
27、。由最小二乘法可得:(5)(6)现来确定k，k的优选标准是使：则估计k的方法如下：1、根据预测对象的发展规律，试估计、根据预测对象的发展规律，试估计k的取值范围。的取值范围。的取值范围。的取值范围。例如，取2、按、按0.618法选取法选取k k的第一个估计值，计算的第一个估计值，计算k：并将 代入（3），与历史数据算出 的时间序列值 组成新的时间序列数据 ，然后用最小二乘法估计参数A、B，再求出a1 1,b1 1.第五十二页，本课件共有63页3 3、计算残差、计算残差Qi4、按、按、按、按0.6180.618法的步骤，继续对法的步骤，继续对k k作第二次选择试算作第二次选择试算（7）（8）返回
28、第二步，试估计出a、b并类似第三步求出残差平方和Q2 2：（9）5、对比、对比Q1 1和和Q2 2，按，按0.618法的基本原理，若法的基本原理，若法的基本原理，若法的基本原理，若Q2 2Q1 1，则，则k k的试算区间为的试算区间为的试算区间为的试算区间为,若Q1 1 Q2 2略去（a）(b)若Q1 1 Q2 2略去第五十三页，本课件共有63页6、按、按0.6180.618法，的优选步骤，在留下的区间法，的优选步骤，在留下的区间内继续优选内继续优选k值，直到选出一个使残差平方和最小的值，直到选出一个使残差平方和最小的为止。为止。为止。为止。第五十四页，本课件共有63页第四节第四节 生命预测法
29、应用举例生命预测法应用举例n n一、龚伯兹曲线预测应用n例7-7 已知某地区某商品19952003年销售额如表7-11所示，试预测2004和2005年的销售额各为多少万元？表7-11 19952004年销售额年份年份199519961997199819992000200120022003销售额销售额258503280044480560006496072080802808584089900第五十五页，本课件共有63页图7-16 销售额变化趋势图t销售额2、识别模型、识别模型3 3、确定参数，建立模型、确定参数，建立模型（三和法、三点法、优选法）4、进行预测。、进行预测。1、根据销售额画出散点图、
30、根据销售额画出散点图、根据销售额画出散点图、根据销售额画出散点图分析：分析：根据散点图，曲线的根据散点图，曲线的变化趋势是一个变化趋势是一个S S型型的，为了确定合适的的，为了确定合适的预测模型，需要计算预测模型，需要计算时间序列数据的对数时间序列数据的对数一阶差分及其环比指一阶差分及其环比指数，计算结果。数，计算结果。第五十六页，本课件共有63页解解:（1 1）模型识别计算表）模型识别计算表7-127-12年份年份年年t销售额销售额Yi i(万元万元)lgyt tyt tyt t/yt-1t-1（%）三段三段和和相对相对误差误差(%)19950258504.4125-242316.23619
31、961328004.51590.00340.0034-34495-5.16819972444804.64810.13220.1322127.8545155-1.51819983560004.74820.10010.100175.72554420.99629994649604.81260.06440.064464.34648320.19720005720804.85780.04520.045270.1973045-1.33920016802804.90460.04680.0468103.53799970.35320027858404.93370.02910.029162.18857380.119
32、20038899004.95380.02010.020169.0790389-0.544表7-12第五十七页，本课件共有63页 除了97、2001年的一阶差分外，其他的都大体接近，可用龚柏兹曲线进行预测。（2）用三和法计算参数，建立预测模型用三和法计算参数，建立预测模型取取n=3，第一组：第一组：(0(0，25850),(125850),(1，32800),(232800),(2，44480)44480)；第二组第二组：(3(3，56000),(456000),(4，64960),(564960),(5，72080)72080)；第三组：第三组：(6(6，80280),(780280),(7，
33、85840),(885840),(8，89900)89900)。第五十八页，本课件共有63页求每组销售额的对数之和：lgyt=lg25850+lg32800+lg44480=13.5765lgyt=lg56000+lg64960+lg72080=14.4189lgyt=lg80280+lg85840+lg89900=14.7921计算a,b,k.第五十九页，本课件共有63页第六十页，本课件共有63页(3)建立预测模型，并计算预测值建立预测模型，并计算预测值第六十一页，本课件共有63页二、罗吉斯曲线预测应用二、罗吉斯曲线预测应用(略略)P247第六十二页，本课件共有63页感感谢谢大大家家观观看看第六十三页，本课件共有63页