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1、第第2部分部分有限元分析及应用有限元分析及应用 Finite Element Analysis and Applications1第第6章有限元法的基本概念章有限元法的基本概念2在在工工程程技技术术领领域域内内，经经常常会会遇遇到到两两类类典典型型的的问问题题。第第一一类类问问题题，可可以以归归结结为为有有限限个个已已知知单单元元体体的的组组合合。例例如如，材材料料力力学学中中的的连连续续梁梁、建建筑筑结结构构框框架架和和桁桁架架结结构构。这这类类问问题题称称为为离离散散系系统统。如如下下图图所所示示平平面面桁桁架架结结构构，是是由由6个个承承受受轴轴向向力力的的“杆单元杆单元”组成。组成。6
2、.1工程和科学中典型问题工程和科学中典型问题3 第第二二类类问问题题，通通常常可可以以建建立立它它们们应应遵遵循循的的基基本本方方程程，即即微微分分方方程程和和相相应应的的边边界界条条件件。例例如如弹弹性性力力学学问问题题，热热传传导导问问题题等等。由由于于建建立立基基本本方方程程所所研研究究的的对对象象通通常常是是无无限限小小的的单单元元，这这类类问问题称为题称为连续系统，或场问题连续系统，或场问题。尽尽管管已已经经建建立立了了连连续续系系统统的的基基本本方方程程，由由于于边边界界条条件件的的限限制制，通通常常只只能能得得到到少少数数简简单单问问题题的的精精确确解解答答。对对于于许许多多实实
3、际际的的工工程程问问题题，还还无无法法给给出出精精确确的的解解答答。为为解解决决这这个个困困难难，工工程程师师们们和和数数学学家家们们提提出出了了许许多多近似方法。近似方法。6.1工程和科学中典型问题工程和科学中典型问题46.2场问题的一般描述场问题的一般描述实例：二维热传导（稳态）问题实例：二维热传导（稳态）问题原理：从两个方向传入微元体的热量与微元体内热源原理：从两个方向传入微元体的热量与微元体内热源产生的热量产生的热量Q平衡平衡基本方程：基本方程：边界条件：边界条件：56.3场问题的求解策略及方法场问题的求解策略及方法求解策略求解策略1、直接法：求解基本方程和相应定解条件的解；、直接法：
4、求解基本方程和相应定解条件的解；2、间接法：基于变分原理，构造基本方程及相应定解条件、间接法：基于变分原理，构造基本方程及相应定解条件的泛函形式，通过求解泛函的极值来获得原问题的近似解。的泛函形式，通过求解泛函的极值来获得原问题的近似解。即将微分形式转化与其等价的泛函变分的积分形式。即将微分形式转化与其等价的泛函变分的积分形式。求解方法求解方法1、解析或半解析法：、解析或半解析法：2、数值法：、数值法：A）基于直接法的数值法，如差分法；）基于直接法的数值法，如差分法；B）基于间接法的数值法，如等效积分法（如里兹法）、）基于间接法的数值法，如等效积分法（如里兹法）、有限元法等。有限元法等。6特特
5、 点点优缺点优缺点差分法差分法均匀离散求解域；差分代替微分；解代均匀离散求解域；差分代替微分；解代数方程组数方程组要求规则边界，几何形状要求规则边界，几何形状复杂时精度低复杂时精度低等效积分法等效积分法（加权余量（加权余量法或泛函变法或泛函变分法）分法）整体场函数用近似函数代替；（近似函整体场函数用近似函数代替；（近似函数常为含数常为含n个待定系数的多项式，）微个待定系数的多项式，）微分方程及定解条件的等效积分转化为某分方程及定解条件的等效积分转化为某个泛函的变分，个泛函的变分，-求极值问题，（利用求极值问题，（利用极值条件建立极值条件建立n个代数方程），解代数个代数方程），解代数方程组方程组
6、适合简单问题，复杂问题适合简单问题，复杂问题很难解决很难解决有限元法有限元法可非均匀离散求解域；分片连续函数近可非均匀离散求解域；分片连续函数近似整体未知场函数；解线性方程组。有似整体未知场函数；解线性方程组。有限元法的数学基础仍是变分法（同上）。限元法的数学基础仍是变分法（同上）。节点可任意配置，边界适节点可任意配置，边界适应性好；适应任意支撑条应性好；适应任意支撑条件和载荷；计算精度与网件和载荷；计算精度与网格疏密和单元形态有关，格疏密和单元形态有关，精度可控。对裂缝和无限精度可控。对裂缝和无限域的分析存在不足域的分析存在不足数值计算方法分类数值计算方法分类数值计算方法分类数值计算方法分类
7、7先将先将求解域离散求解域离散为有限个单元，单元与单元只在节为有限个单元，单元与单元只在节点相互连接；点相互连接；-即原始连续求解域用有限个单元的集即原始连续求解域用有限个单元的集合近似代替合近似代替每个单元选择一个简单的场函数近似表示真实场函每个单元选择一个简单的场函数近似表示真实场函数在其上的分布规律，该简单函数可由单元节点上物理数在其上的分布规律，该简单函数可由单元节点上物理量来表示量来表示-通常称为通常称为插值函数或位移函数插值函数或位移函数基于问题的基本方程，建立基于问题的基本方程，建立单元节点的平衡方程单元节点的平衡方程（即单（即单元刚度方程）元刚度方程）借助于矩阵表示，把所有单元
8、的刚度方程组合成借助于矩阵表示，把所有单元的刚度方程组合成整整体的刚度方程体的刚度方程，这是一组以节点物理量为未知量的线形，这是一组以节点物理量为未知量的线形方程组，引入边界条件求解该方程组即可。方程组，引入边界条件求解该方程组即可。6.4有限元法基本思想有限元法基本思想8整整体体平平衡衡分分片片近近似似单单元元平平衡衡结结构构离离散散方方程程求求解解问问题题分分析析力力学学模模型型节节点点单单元元位位移移函函数数单单刚刚方方程程总总刚刚方方程程节节点点位位移移有限元法基本思想有限元法基本思想有限元法基本思想有限元法基本思想9节点位移向量表示：节点位移向量表示：节点力向量表示：节点力向量表示：
9、节点节点1沿沿x方向的位移方向的位移 、其余节点位移全为其余节点位移全为0时轴向压力时轴向压力为：为：实例实例实例实例1 1:(1):(1)求右图离散结构求右图离散结构求右图离散结构求右图离散结构2 2的点位移的点位移的点位移的点位移10同理，节点同理，节点2作用于单元作用于单元1上的力，其大小与之相等，方上的力，其大小与之相等，方向相反，向相反，x和和y方向的分量分别记为：方向的分量分别记为：注：注：表示第表示第e个单元的第个单元的第j个自由度产生单位位移，而其它个自由度产生单位位移，而其它自由度上的位移为零时，第自由度上的位移为零时，第i个自由度上所受的力。常称其个自由度上所受的力。常称其
10、为单元的刚度系数。为单元的刚度系数。实例实例实例实例1:(2)1:(2)单元分析单元分析单元分析单元分析节点节点1作用于单元作用于单元1上的力，在上的力，在x和和y方向的分量分别为：方向的分量分别为：11单元单元2节点力平衡方程节点力平衡方程实例实例实例实例1:(2)1:(2)单元分析单元分析单元分析单元分析同理可求同理可求 分别作单位位移时相应的刚度系数，考虑分别作单位位移时相应的刚度系数，考虑到节点的实际受力为到节点的实际受力为 和实际位移为和实际位移为 ，则据各个节点节点力平衡得：，则据各个节点节点力平衡得：12 结合前式推导得：结合前式推导得：实例实例实例实例1:(3)1:(3)整体分
11、析整体分析整体分析整体分析整体分析：整体分析：作用于每个节点上作用于每个节点上的节点力平衡，即的节点力平衡，即13整体矩阵记为：整体矩阵记为：求解上述整体方程，可得问题的节求解上述整体方程，可得问题的节点位移。点位移。实例实例实例实例1:(4)1:(4)引入约束求解引入约束求解引入约束求解引入约束求解将将 代入可得整体方程代入可得整体方程14实例实例实例实例2 2连续问题连续问题连续问题连续问题例：求等截面直杆在自重作用下的拉伸。例：求等截面直杆在自重作用下的拉伸。图图(a)中单位中单位杆长重量为杆长重量为q，杆长为，杆长为L，截面面积为，截面面积为A，弹性模数为，弹性模数为E。15实例实例实
12、例实例2 2材料力学方法求解直杆拉伸：材料力学方法求解直杆拉伸：考虑微段考虑微段dx，内力内力 N=q(L-x)dx的伸长为：的伸长为：x截面上的位移：截面上的位移：根据几何方程求应变，物理方程求应力。这里根据几何方程求应变，物理方程求应力。这里应变：应变：应力：应力：16iL1iL+图图 2-3i+1ii-12)LL(q1ii+1、离散化、离散化 2、外载荷集中到结点上，即把阴、外载荷集中到结点上，即把阴影部分的重量作用在结点影部分的重量作用在结点i上上 实例实例实例实例 2 2（1 1）结构离散）结构离散）结构离散）结构离散有限单元法求解直杆拉伸：有限单元法求解直杆拉伸：直接公式法直接公式
13、法17 实例实例实例实例2 2（2 2）单元分析）单元分析）单元分析）单元分析3、假设线单元上的位移为线性函数、假设线单元上的位移为线性函数184、以、以i结点为对象，列力的平衡方程结点为对象，列力的平衡方程令令 将位移和内力的关系代入得将位移和内力的关系代入得 用结点位移表示的平衡方程，其中用结点位移表示的平衡方程，其中i=1，2，n有有n个个方程未知数也有方程未知数也有n个，解方程组，得出结点位移，进而计算个，解方程组，得出结点位移，进而计算应力。应力。实例实例实例实例2 2（2 2）单元分析）单元分析）单元分析）单元分析19假设线单元数为假设线单元数为3个的情况，个的情况，平衡方程有平衡
14、方程有3个：个：i=1时，时，i=2时时,i=3时，时，联立解得：联立解得：aL1 =aL3 =aL2 =0 u1 u2 u3 u0123图图 2-6与材料力学的精确解答在结点处完全相同。与材料力学的精确解答在结点处完全相同。实例实例实例实例2 2（3 3）整体分析与求解）整体分析与求解）整体分析与求解）整体分析与求解20力学模型力学模型(平面应力问题平面应力问题)微分方程微分方程+边界条件边界条件有限元模型有限元模型代数方程组代数方程组（基本变量节（基本变量节点位移）点位移）6.5有限元法的基本步骤有限元法的基本步骤l 所研究问题的数学建模所研究问题的数学建模(问题分析问题分析)l 结构离散
15、结构离散l 单元分析单元分析 (位移函数、单刚方程位移函数、单刚方程)l 整体分析与求解整体分析与求解 (总刚方程与求解总刚方程与求解)l 结果分析及后处理结果分析及后处理21在寻找连续系统求解方法的过程中，工程师和数学家从两种在寻找连续系统求解方法的过程中，工程师和数学家从两种不同的路线得到了相同的结果，即有限元法。有限元法的形成可不同的路线得到了相同的结果，即有限元法。有限元法的形成可以回顾到二十世纪以回顾到二十世纪50年代，来源于固体力学中矩阵结构法的发展年代，来源于固体力学中矩阵结构法的发展和工程师对结构相似性的直觉判断。从固体力学的角度来看，桁和工程师对结构相似性的直觉判断。从固体力
16、学的角度来看，桁架结构等标准离散系统与人为分割成有限个分区后的连续系统在架结构等标准离散系统与人为分割成有限个分区后的连续系统在结构上存在相似性。结构上存在相似性。1956年，将矩阵位移法推广到求解平面应力问题。把结构划年，将矩阵位移法推广到求解平面应力问题。把结构划分成一个个三角形和矩形的分成一个个三角形和矩形的“单元单元”，利用单元中近似位移函数，利用单元中近似位移函数，求得单元节点力与节点位移关系的单元刚度矩阵。求得单元节点力与节点位移关系的单元刚度矩阵。1960年，年，Clough在他的名为在他的名为“The finite element in plane stress analysi
17、s”的论文中首次提出了有限元（的论文中首次提出了有限元（finite element）这）这一术语。一术语。6.6有限单元法的发展有限单元法的发展22数数学学家家们们则则发发展展了了微微分分方方程程的的近近似似解解法法，包包括括有有限限差差分分方法，变分原理和加权余量法。方法，变分原理和加权余量法。在在1963年年前前后后，经经过过,R.E.Jones,（卞卞学学磺磺）等等许许多多人人的的工工作作，认认识识到到有有限限元元法法就就是是变变分分原原理理中中Ritz近近似似法法的的一一种种变形，发展了用各种不同变分原理导出的有限元计算公式。变形，发展了用各种不同变分原理导出的有限元计算公式。196
18、5年年和和（张张佑佑启启）发发现现只只要要能能写写成成变变分分形形式式的的所所有有场场问题，都可以用与固体力学有限元法的相同步骤求解。问题，都可以用与固体力学有限元法的相同步骤求解。1969年年和和指指出出可可以以用用加加权权余余量量法法特特别别是是Galerkin法法，导导出标准的有限元过程来求解非结构问题。出标准的有限元过程来求解非结构问题。有限单元法的发展有限单元法的发展有限单元法的发展有限单元法的发展23 我我国国的的力力学学工工作作者者为为有有限限元元方方法法的的初初期期发发展展做做出出了了许许多多贡贡献献，其其中中比比较较著著名名的的有有：陈陈伯伯屏屏（结结构构矩矩阵阵方方法法），
19、钱钱令令希希（余余能能原原理理），钱钱伟伟长长（广广义义变变分分原原理理），胡胡海海昌昌（广广义义变变分分原原理理），冯冯康康（有有限限单单元元法法理理论论）。遗遗憾憾的的是是，从从1966年开始的近十年期间，我国的研究工作受到阻碍。年开始的近十年期间，我国的研究工作受到阻碍。有有限限元元法法不不仅仅能能应应用用于于结结构构分分析析，还还能能解解决决归归结结为为场场问问题题的的工工程程问问题题，从从二二十十世世纪纪六六十十年年代代中中期期以以来来，有有限限元元法法得得到到了巨大的发展，为工程设计和优化提供了有力的工具。了巨大的发展，为工程设计和优化提供了有力的工具。有有限限元元法法是是一一种种
20、数数值值计计算算方方法法。可可广广泛泛应应用用于于各各种种微微分分方方程描述的场问题的求解。程描述的场问题的求解。有限单元法的发展有限单元法的发展有限单元法的发展有限单元法的发展24l结构力学有限元法的力学基础是弹性力学，而方程求解的原理结构力学有限元法的力学基础是弹性力学，而方程求解的原理是泛函极值原理，实现的方法是数值离散技术，最后的技术载体是泛函极值原理，实现的方法是数值离散技术，最后的技术载体是有限元分析软件。因此学习时，必须掌握的基本内容应包括：是有限元分析软件。因此学习时，必须掌握的基本内容应包括：l1、基本变量和力学方程（即弹性力学的基本概念）、基本变量和力学方程（即弹性力学的基
21、本概念）;l2、数学求解原理（即能量原理）、数学求解原理（即能量原理）;l3、离散结构和连续结构的有限元分析实现（即有限元法的基本、离散结构和连续结构的有限元分析实现（即有限元法的基本步骤）步骤）;l4、有限元法的应用（即有限元法的应用领域或工程问题研究）、有限元法的应用（即有限元法的应用领域或工程问题研究）;l5、各种分析建模技巧及计算结果的评判、各种分析建模技巧及计算结果的评判;l6、典型分析软件的使用。、典型分析软件的使用。l注意：会使用有限元软件不等于掌握了有限元分析工具注意：会使用有限元软件不等于掌握了有限元分析工具6.7有限元法的基本内容有限元法的基本内容25CADCAECAM 设
22、计修改或优化设计修改或优化运运动动性性能能力力学学性性能能可可靠靠性性数字样件数字样件性能分析性能分析数字加工数字加工 应力应力变形变形固有频率固有频率 有有限限元元分分析析在大力推广在大力推广CAD技术的今天，从自行车到航天飞机，所技术的今天，从自行车到航天飞机，所有的设计制造都离不开有限元分析计算，有的设计制造都离不开有限元分析计算，FEA在工程设计和在工程设计和分析中将得到越来越广泛的重视。分析中将得到越来越广泛的重视。6.8有限元法的应用有限元法的应用26应用实例：制动器数字模型及应用实例：制动器数字模型及应用实例：制动器数字模型及应用实例：制动器数字模型及FEAFEA网格网格网格网格
23、27应用实例：制动器性能分析应用实例：制动器性能分析应用实例：制动器性能分析应用实例：制动器性能分析2829亚洲第一，世界第二起重船高70米起重3500吨应用实例：应用实例：应用实例：应用实例：东海大桥和杭州湾大桥用起重船东海大桥和杭州湾大桥用起重船东海大桥和杭州湾大桥用起重船东海大桥和杭州湾大桥用起重船30应用实例：应用实例：应用实例：应用实例：起重机和扁担梁模型起重机和扁担梁模型起重机和扁担梁模型起重机和扁担梁模型31面板刚度提高面板刚度提高2.8倍倍,质量减少质量减少35%,整体厚度下整体厚度下降降CAD模模型型CAE分析分析结构优化结构优化工艺设计工艺设计后的产品后的产品应用实例：面板
24、刚性增强设计应用实例：面板刚性增强设计应用实例：面板刚性增强设计应用实例：面板刚性增强设计323334l结构离散（有限元建模）结构离散（有限元建模）l内容：内容：l1）网格划分）网格划分-即把结构按一定规则分割成有限单元即把结构按一定规则分割成有限单元l 2）边界处理）边界处理-即把作用于结构边界上约束和载荷处即把作用于结构边界上约束和载荷处理为节点约束和节点载荷。理为节点约束和节点载荷。l要求：要求：l1）离散结构必须与原始结构保形）离散结构必须与原始结构保形-单元的几何特性；单元的几何特性；l2）一个单元内的物理特性必须相同）一个单元内的物理特性必须相同-单元的物理特单元的物理特性。性。6
25、.9有限元法的几个基本概念有限元法的几个基本概念35节点载荷节点载荷节点力节点力l单元：即原始结构离散后，满足单元：即原始结构离散后，满足一定几何特性和物理特性的最小结一定几何特性和物理特性的最小结构域。构域。l节点：单元与单元间的连接点。节点：单元与单元间的连接点。l节点力：单元与单元间通过节点节点力：单元与单元间通过节点的相互作用力。的相互作用力。l节点载荷：作用于节点上的外载。节点载荷：作用于节点上的外载。l注意：注意：1)节点是有限元法的重要概念，有节点是有限元法的重要概念，有限元模型中，相邻单元的作用通过限元模型中，相邻单元的作用通过节点传递，而单元边界不传递力，节点传递，而单元边界
26、不传递力，这是离散结构与实际结构的重大差这是离散结构与实际结构的重大差别；别；2）节点力与节点载荷的差别。）节点力与节点载荷的差别。单元与节点单元与节点单元与节点单元与节点36单元类型单元类型单元图形单元图形节点数节点数节点自由度节点自由度杆单元杆单元21梁单元梁单元23平面单元平面单元32平面四边形平面四边形42轴对称问题轴对称问题32板壳单元板壳单元43四面体单元四面体单元43典典典典型型型型单单单单元元元元类类类类型型型型37l 用以表示单元内物理量变化（如位移或位移场）的近似函数。用以表示单元内物理量变化（如位移或位移场）的近似函数。由于该近似函数常由单元节点物理量值插值构成，故称为插
27、值由于该近似函数常由单元节点物理量值插值构成，故称为插值函数，如单元内物理量为位移，则该函数称为位移函数。函数，如单元内物理量为位移，则该函数称为位移函数。l选择位移函数的一般原则：选择位移函数的一般原则：1）位移函数在单元节点的值应等于节点位移（即单元内部）位移函数在单元节点的值应等于节点位移（即单元内部是连续的）；是连续的）；2）所选位移函数必须保证有限元的解收敛于真实解。）所选位移函数必须保证有限元的解收敛于真实解。为了便于微积分运算，位移函数一般采用多项式形式，为了便于微积分运算，位移函数一般采用多项式形式，在单元内选取适当阶次的多项式可得到与真实解接近的近在单元内选取适当阶次的多项式
28、可得到与真实解接近的近似解似解6.10插值函数（或位移函数）插值函数（或位移函数）386.11位移函数的构造方法位移函数的构造方法(1)广义坐标法广义坐标法:一维单元位移函数：一维单元位移函数：为待定系数，也称为广义坐标为待定系数，也称为广义坐标39如一维单元如一维单元:二维单元二维单元:注：注：Ni可为可为Lagrange、Hamiton多项式或形函数，多项式或形函数，在在+1-1间变化间变化l(2)插值函数法插值函数法:即将位移函数表示为各个节点位移与已即将位移函数表示为各个节点位移与已知插值基函数积的和。知插值基函数积的和。6.12位移函数的构造方法位移函数的构造方法40l影响有限元解的
29、误差：影响有限元解的误差：1）离散误差）离散误差 2）位移函数误差）位移函数误差l收敛准则：收敛准则：1）位移函数必须包括常量应变（即线形项）；）位移函数必须包括常量应变（即线形项）；2）位移函数必须包括单元的刚性位移（即常量项）；）位移函数必须包括单元的刚性位移（即常量项）；3）位移函数在单元内部必须连续（连续性条件）；）位移函数在单元内部必须连续（连续性条件）；4）位移函数应使得相邻单元间的位移协调（协调性条件）。）位移函数应使得相邻单元间的位移协调（协调性条件）。注：上述四个条件称为有限元解收敛于真实解的充分条件；注：上述四个条件称为有限元解收敛于真实解的充分条件；前三个条件称为必要条件。满足四个条件的位移函数构成的前三个条件称为必要条件。满足四个条件的位移函数构成的单元称为协调元；满足前三个条件的单元称为非协调元；满单元称为协调元；满足前三个条件的单元称为非协调元；满足前两个条件的单元称为完备元。足前两个条件的单元称为完备元。6.13有限元法的收敛准则有限元法的收敛准则41