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1、有限元法有限元法 史冬岩 博士博士 教授教授哈尔滨工程大学机电学院哈尔滨工程大学机电学院CIMSCIMS 20122012秋秋CIMS,HEU,CHINACIMS,HEU,CHINA内容内容1绪论绪论2杆系统杆系统3梁系统梁系统4一维单元和二维单元一维单元和二维单元5二维结构问题二维结构问题6动力学问题动力学问题课程安排课程安排课程安排课程安排总课时：总课时：32学时学时 课堂讲授：课堂讲授：26学时学时 上上 机：机：6学时学时 考考 试：闭卷考试试：闭卷考试 成绩比例：期末考试成绩比例：期末考试 50%上机大作业上机大作业 20%平时出勤平时出勤 20%随堂测试随堂测试 10%讲授方式讲授
2、方式幻灯片讲解幻灯片讲解实际操作演示实际操作演示上机操作上机操作参考资料参考资料1.S.Moaveni:Finite Element Analysis,Theory and Applications with ANSYS,1)Pearson Education,Inc.,Upper Saddle River,New Jersey,USA,2003 ISBN 7-5053-8679-4/TP 50392.S.M.：王崧等译王崧等译.有限元分析有限元分析ANSYS理论与应用理论与应用.北京北京:电子工业出版电子工业出版 社社,2005 3.曾攀：曾攀：有限元分析及应用有限元分析及应用.北京北京:清
3、华大学出版社清华大学出版社,2004 4.张洪信：张洪信：有限元基础理论与有限元基础理论与ANSYS应用应用.北京：机械工业出版社北京：机械工业出版社 5.龙驭球龙驭球：有限元法有限元法6.张国瑞张国瑞：有限元法有限元法7.ANSYS应用软件书籍应用软件书籍1.绪论绪论 1.1.目的目的1.2.工程问题工程问题1.3.数值方法数值方法1.4.有限元法和有限元法和 ANSYS历史回顾历史回顾1.5.有限元直接公式法基本步骤有限元直接公式法基本步骤1.6.最小势能原理最小势能原理 1.1 目的目的1.1目的目的1.1 目的目的工程问题：结构热电磁1.2 工程问题工程问题l工程问题工程问题:物理状态
4、的数学模型物理状态的数学模型 1)微分方程微分方程 2)约束条件初始条件约束条件初始条件1)精确解：精确解：单一部分单一部分-E,I,L 特殊部分特殊部分-w,M,F2)数值近似：数值近似：有限差分法有限差分法 有限单元法有限单元法 表表1.1,1.2,1.3微分方程微分方程约束条件约束条件梁的变形梁的变形Y 横向位移横向位移X1.3 数值方法数值方法l有限元法有限元法:阿基米德问题阿基米德问题(约约 250 B.C.):用内接正多边形的周长去逼近圆用内接正多边形的周长去逼近圆周长以求得周长以求得 值。值。l结构分析结构分析数值计算数值计算方法。方法。l理论基础牢靠，物理概念清晰，解题效率高，
5、适应性强。理论基础牢靠，物理概念清晰，解题效率高，适应性强。l机械产品机械产品动、静、热特性分析动、静、热特性分析的重要手段。的重要手段。1.4 有限元法和有限元法和ANSYS的历史回顾的历史回顾l1943年年R.Courant用三角形区域上的多项用三角形区域上的多项式函数式函数(形函数形函数)解决扭转问题；解决扭转问题；l1946年电子计算机问世，使结构分析发生年电子计算机问世，使结构分析发生重大变革；重大变革；l50年年代由德国工程师提出用能量原理代由德国工程师提出用能量原理 和矩阵方法来计算航空器的结构强度，和矩阵方法来计算航空器的结构强度，逐渐波及土木工程；逐渐波及土木工程；l1960
6、年由年由R.H.Clough命名命名“有限单元法有限单元法”FEM以来，有限元法蓬勃发展；以来，有限元法蓬勃发展；l在在60年代年代初开发有限元分析程序；初开发有限元分析程序；l70年代年代初期诞生初期诞生CAE软件，而紧接的软件，而紧接的30年年则是则是CAE软件商品化的发展阶段。软件商品化的发展阶段。lSoftware:ANSYS,ABCUS,DINA-LS Syst.nodal point displ.,reactions at supports,strain distribution,stress distributionSolution of the system of equati
7、ons underconsideration of BCs,that means,supports and loadsAssembly of the systemstiffness relationSystem of linear algebraic equationselement stiffnessrelationEngineering problem fora real solid ora real structureFE-Model,that is,discretisationthrough choice of element type andmesh design(i)(i)FFMe
8、chanicallyequivalentmodelModelling1.5 有限元法基本步骤有限元法基本步骤(i+1)(i+1)有限元法基本步骤三个阶段有限元法基本步骤三个阶段前处理阶段（前处理阶段（Preprocessing phase）1.离散化离散化成有限个单元；成有限个单元；2.单元分析，单元基本公式（单元分析，单元基本公式（单元刚度单元刚度）；）；3.整体分析，把单元集成整体，组装整体分析，把单元集成整体，组装整体刚度矩阵；整体刚度矩阵；4.施加载荷、约束条件；施加载荷、约束条件；求解阶段（求解阶段（Solution)5.求解线性或者非线性方程（求解线性或者非线性方程（linear
9、or nonlinear algebraic equations），得到节点位移值），得到节点位移值（displacement values at different nodes；后处理后处理Postprocessing6.得到其它结果，如应力、支反力。得到其它结果，如应力、支反力。有限元常用术语有限元常用术语l 单元单元(element)：有限元模型中每一个小的块体；有限元模型中每一个小的块体；线、三角形、四边形、四面体、六面体；线、三角形、四边形、四面体、六面体；l 节点节点(node)：确定单元形状、表述单元特征、连接相邻单确定单元形状、表述单元特征、连接相邻单 元的点；元的点；l 载荷
10、载荷(load)：外在施加的力或力矩；不同的学科有所区外在施加的力或力矩；不同的学科有所区 别；别；集中力、分布力、力矩、温度、磁场集中力、分布力、力矩、温度、磁场l 边界条件：边界条件：结构在边界上受到的外加约束；结构在边界上受到的外加约束；l 初始条件：初始条件：结构响应前所施加的初始速度、初始温度结构响应前所施加的初始速度、初始温度 预应预应 力。力。节点和单元节点和单元节点节点:空间中的坐标位置，具有一定自空间中的坐标位置，具有一定自由度和存在相互物理作用。由度和存在相互物理作用。单元单元:一组节点自由度间相互作用的数一组节点自由度间相互作用的数值、矩阵描述（称为刚度或系数值、矩阵描述
11、（称为刚度或系数矩阵矩阵)。单元有线、面或实体以及二维或单元有线、面或实体以及二维或三维的单元等种类。三维的单元等种类。l有限元模型由一些简单形状的单有限元模型由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接元组成，单元之间通过节点连接并承受一定载荷。并承受一定载荷。节点和单元节点和单元(续续)信息是通过单元之间的公共节点传递的信息是通过单元之间的公共节点传递的分离但节点重叠的单元分离但节点重叠的单元A和和B之间没有信息传递之间没有信息传递（需进行节点合并处理）（需进行节点合并处理）具有公共节点的单元具有公共节点的单元之间存在信息传递之间存在信息传递节点和单元节点和单元(续续)节点自由度是随连接
12、该节点节点自由度是随连接该节点单元类型单元类型变化的变化的三维杆单元三维杆单元(铰接铰接)UX,UY,UZ二维或轴对称实体元二维或轴对称实体元UX,UY三维实体结构单元三维实体结构单元UX,UY,UZ三维梁单元三维梁单元ROTX,ROTY,ROTZ三维四边形壳单元三维四边形壳单元UX,UY,UZ,ROTX,ROTY,ROTZ三维实体热单元三维实体热单元TEMP节点自由度点自由度自由度自由度(DOFs)用于描述一个物理场的响应特性用于描述一个物理场的响应特性。结构结构 位移位移 热热 温度温度 电电 电位电位 流体流体 压力压力 磁磁 磁位磁位 方向方向 自由度自由度结构结构 DOFsROTZU
13、YROTYUXROTXUZ有限元法详细步骤有限元法详细步骤1.1.结构结构离散化离散化 离散化离散化（划分网格或网络化）：是将所求解的对象（划分网格或网络化）：是将所求解的对象划分划分为有为有限个具有规则形状的微小块体，把每个微小块体称为限个具有规则形状的微小块体，把每个微小块体称为单元单元，相邻两个相邻两个单元单元之间只通过之间只通过若干点若干点互相连接，每个连接点称为互相连接，每个连接点称为节点节点。相邻相邻单元单元只在只在节点处节点处连接，连接，载荷载荷也只通过也只通过节点在各单元节点在各单元之间之间传递，这些传递，这些有限个单元有限个单元的的集合体，集合体，即原来的结构。即原来的结构。
14、单元单元划分后，给每个划分后，给每个单元单元及及节点节点进行编号；进行编号；选定坐标系，计算各个选定坐标系，计算各个节点坐标节点坐标；确定各个确定各个单元单元的的形态和性态参数形态和性态参数以及以及边界条件边界条件等。等。有限元法详细步骤有限元法详细步骤悬悬悬悬臂梁臂梁臂梁臂梁建立建立有限元分析模有限元分析模有限元分析模有限元分析模型型型型。该该悬臂梁悬臂梁划分为许多划分为许多三角形单元三角形单元；三角形单元的；三角形单元的三个顶点三个顶点都是都是节点节点。有限元法详细步骤有限元法详细步骤2.单元分析单元分析 结构离散化结构离散化后，即可对后，即可对单元体单元体进行特性分析，即进行特性分析，即
15、单元分析单元分析。单元分析工作单元分析工作主要有主要有两项两项：(1)(1)选择单元位移模式选择单元位移模式(位移函数位移函数)用用节点位移节点位移来表示来表示单元体内任一点单元体内任一点的的位移位移、应变应变和和应力应力，就需搞清各单元中的就需搞清各单元中的位移分布位移分布。一般是假定一般是假定单元位移单元位移是坐标的某种简单函数，用其模拟是坐标的某种简单函数，用其模拟内位移的分布规律，内位移的分布规律，这种函数这种函数就称为就称为位移模式位移模式或或位移函数位移函数。通常采用的函数形式多为多项式。通常采用的函数形式多为多项式。根据所选定的根据所选定的位移模式位移模式，就可以导出用，就可以导
16、出用节点位移节点位移来表示来表示单元体内单元体内任一点位移的关系式任一点位移的关系式。有限元法详细步骤有限元法详细步骤 (2)(2)分析单元的特性，建立单元刚度矩阵分析单元的特性，建立单元刚度矩阵 进行进行单元单元力学特性分析力学特性分析，将作用在，将作用在单元上单元上的的所有力所有力（表（表 面力、体积力、集中力）等效地移置为面力、体积力、集中力）等效地移置为节点载荷节点载荷；采用有关的力学原理建立采用有关的力学原理建立单元的平衡方程单元的平衡方程，求得单元内，求得单元内 节点位移节点位移与与节点力节点力之间的关系矩阵之间的关系矩阵单元刚度矩阵单元刚度矩阵。3.整体分析整体分析 把把各个单元
17、各个单元的的刚度矩阵刚度矩阵集成为集成为总体刚度矩阵总体刚度矩阵，以及将各，以及将各 单元的单元的节点力向量节点力向量集成集成总的力向量总的力向量，求得，求得整体平衡方程整体平衡方程。集成过程所依据的原理是集成过程所依据的原理是节点变形协调条件节点变形协调条件和和平衡条件平衡条件。有限元法详细步骤有限元法详细步骤4.施加载荷、施加载荷、约束条件约束条件 由上述所形成的由上述所形成的整体平衡方程整体平衡方程整体平衡方程整体平衡方程是是一组线性代数方程一组线性代数方程，在求解，在求解之前，必修根据具体情况分析，确定之前，必修根据具体情况分析，确定求解对象问题求解对象问题求解对象问题求解对象问题的的
18、边界约边界约束条件束条件，并对，并对这些方程这些方程进行适当修正。进行适当修正。5.有限元方程求解有限元方程求解通过通过求解求解整体平衡方程整体平衡方程，即可求得，即可求得各节点各节点的的位移位移，进而根据，进而根据位移位移可计算可计算单元单元的的应力应力及及应变应变。6.结果分析与讨论结果分析与讨论有限元法基本求解方法有限元法基本求解方法 (1)位移法位移法以以节点位移节点位移作为基本未知量，通过选择适当的作为基本未知量，通过选择适当的位移函数位移函数，进行，进行单单元元的力学特性分析。在的力学特性分析。在节点处节点处建立建立单元刚度方程单元刚度方程，再组合成，再组合成整体刚度整体刚度矩阵矩
19、阵，求解出，求解出节点位移节点位移后，进而由后，进而由节点位移节点位移求解出求解出应力应力。位移法优点位移法优点是比较简单，规律性强，易于编写计算机程序。所以是比较简单，规律性强，易于编写计算机程序。所以得到广泛应用，其缺点是精度稍低。得到广泛应用，其缺点是精度稍低。(2)力法力法该法该法是以是以节点力节点力作为作为基本未知量基本未知量，在，在节点处节点处建立位移连续方程，建立位移连续方程，求解出求解出节点力节点力后，再求解节点位移和单元应力。后，再求解节点位移和单元应力。力法的特点力法的特点是计算精度高。是计算精度高。(3)混合法混合法此法此法是取一部分是取一部分节点位移节点位移和一部分和一
20、部分节点力节点力作为作为基本未知量基本未知量，建立，建立平衡方程平衡方程进行求解。进行求解。1.5 例子例子求解阶段（求解阶段（Preprocessing phase）1.离散化（离散化（Discretize）承受轴向载荷的杆承受轴向载荷的杆 划分成节点和单元划分成节点和单元2.单元分析（单元形函数）单元分析（单元形函数）L-长度长度,A-截面积截面积,F-载荷载荷应力、弹性模量、应变应力、弹性模量、应变2.单元分析单元分析2.单元分析单元分析2.单元分析（单元）单元分析（单元）2.单元分析（节点分析）单元分析（节点分析）2.单元分析（节点分析）单元分析（节点分析）2.单元分析（节点分析）单元
21、分析（节点分析）支反力支反力=刚度刚度位移位移-载荷载荷施加载荷和约束施加载荷和约束约束条件:u1=0Boundary conditions:u1=0施加载荷和约束施加载荷和约束刚度矩阵刚度矩阵位移矩阵位移矩阵=载荷矩阵载荷矩阵12345Node1 2 3 4 5单元公式单元公式f(e)=k(e)u(e)节点节点:(1),(2)或或(i),(j)或或(i),(i+1)节点力节点力=单元刚度单元刚度 节点位移节点位移4 整体分析（由单元组合成整体）整体分析（由单元组合成整体）单元单元1234系统节点系统节点1，22，33，44，5单元节点单元节点(1),(2)(1),(2)(1),(2)(1),
22、(2)(1)(2)(1)(2)(1)1 k11K11 k12K12 (2)2 k21K21 k22K22单元单元 14 整体分析（由单元组合成整体）整体分析（由单元组合成整体）(1)2 k11K22 k12K23 (2)3 k21K32 k22K33单元 21 2 3 4 5123454 整体分析（由单元组合成整体）整体分析（由单元组合成整体）5.施加载荷和约束条件施加载荷和约束条件6.求解求解u1=0 in u2=0.001026 inu3=0.002210 in u4=0.003608 in u5=0.005317 in 1.6 最小势能原理最小势能原理l弹性体弹性体在外力作用下发生变形，
23、则在所有满足边界条件下和在外力作用下发生变形，则在所有满足边界条件下和协调要求下的可能位移中，协调要求下的可能位移中，总势能最小总势能最小。l外部载荷外部载荷 产生变形产生变形 弹性体内的能量弹性体内的能量 (1)面力或者体力在弹性体上所作的面力或者体力在弹性体上所作的功功 (2)应变能应变能，主应力和剪力，主应力和剪力 总势能的定义：总势能的定义：strain energywork外力功，应变能?1.6 最小势能原理最小势能原理1.6 最小势能原理最小势能原理n 单元单元,m 节点节点nodal forces nodal displacementelement strain energy1.
24、6 最小势能原理最小势能原理例子例子:求解弹簧的位移求解弹簧的位移:a)用静力平衡方程用静力平衡方程;b)用最小势能原理用最小势能原理 a)G=8N,k=20N/m,P=12N1.6 最小势能原理最小势能原理b)1.6 最小势能原理最小势能原理 应变能最小应变能最小(对对ui 和和 ui+1求偏微分求偏微分)1.6 最小势能原理最小势能原理功最小功最小(对对ui 和和 ui+1求偏微分求偏微分)练习练习是否有其它是否有其它划分方法划分方法?整体刚整体刚度矩阵度矩阵?本章小结本章小结l有限元法的流程；有限元法的流程；l有限元法的三个阶段；有限元法的三个阶段；l解法的详细步骤；解法的详细步骤；l基本表达式；基本表达式；l单元分析、整体分析的意义；单元分析、整体分析的意义；l位移法的具体含义；位移法的具体含义；l单元刚度矩阵集成整体刚度矩阵；单元刚度矩阵集成整体刚度矩阵；l最小势能原理的能量平衡关系；最小势能原理的能量平衡关系；l应变能的物理意义。应变能的物理意义。重点：三个阶段，详细步骤，单元分析和整体分析的意义，单重点：三个阶段，详细步骤，单元分析和整体分析的意义，单元刚度矩阵集成整体刚度矩阵，能量平衡关系。元刚度矩阵集成整体刚度矩阵，能量平衡关系。难点：单元刚度矩阵集成整体刚度矩阵。难点：单元刚度矩阵集成整体刚度矩阵。