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1、第五章 等参元与数值积分 5.1 等参变换的概念5.2 等参变换的条件和收敛性5.3 数值积分方法5.4 数值积分阶次的选择15.等参元与数值积分 本章重点本章重点l等参等参变变化的概念和化的概念和实现单实现单元特性矩元特性矩阵阵方法方法l实现实现等参等参变换变换的条件和的条件和满满足收足收敛敛准准则则的条件的条件l数数值积值积分的基本思想和分的基本思想和GaussGauss积积分的特点分的特点l单单元元刚刚度矩度矩阵阵数数值积值积分分阶阶次的次的选择选择有限元法基础25.等参元与数值积分关键概念关键概念 等等(超、次超、次)参变换参变换 雅克比矩阵和行列式雅克比矩阵和行列式等参变换的条件等参
2、变换的条件 等参元的收敛性等参元的收敛性数值积分数值积分 高斯积分高斯积分 精确积分精确积分减缩积分减缩积分 矩阵的秩矩阵的秩 零能模式零能模式有限元法基础35.1等参变换的概念 将局部（自然）坐将局部（自然）坐标标中的中的简单简单几何形状的几何形状的单单元，元，转换转换成成总总体（物理）坐体（物理）坐标标中的几何扭曲的中的几何扭曲的单单元，必元，必须须建立一建立一个坐个坐标变换标变换，即，即有限元法基础45.1等参变换的概念有限元法基础55.1等参变换的概念有限元法基础65.1等参变换的概念有限元法基础7规则化单元：母单元在自然坐标系内(局部)实际单元：子单元 在总体坐标系内(整体)利用节点
3、坐标和形函数建立坐标变换关系5.1等参变换的概念有限元法基础8l等参变换等参变换 坐标变换和场函数插值采用相同的节点，坐标变换和场函数插值采用相同的节点，m=n,并且并且采用相同的插值函数。这样建立的单元，称为采用相同的插值函数。这样建立的单元，称为等参元等参元。l超参变换超参变换 坐标变换的节点数多于场函数插值的节点数，即坐标变换的节点数多于场函数插值的节点数，即mn。这样建立的单元，称为这样建立的单元，称为超参元超参元。l次参变换次参变换 坐标变换的节点数少于场函数插值的节点数，即坐标变换的节点数少于场函数插值的节点数，即mn。这样建立的单元，称为这样建立的单元，称为次参元次参元。5.1等
4、参变换的概念有限元法基础9l例：一维例：一维2节点单元节点单元 5.1等参变换的概念有限元法基础10l例：二维例：二维3节点单元节点单元 5.1等参变换的概念有限元法基础11l例：平面例：平面4节点单元节点单元 5.1等参变换的概念有限元法基础12l单元矩阵的变换单元矩阵的变换 等参变换单元矩阵的变化等参变换单元矩阵的变化：等参变换等参变换单元矩阵的变化：单元矩阵的变化：B、K、d、5.1等参变换的概念有限元法基础13 由于插值函数使用自然坐标，涉及到求导和积分的变由于插值函数使用自然坐标，涉及到求导和积分的变换，如换，如B矩阵的偏微分计算，矩阵的偏微分计算，K矩阵的积分计算。矩阵的积分计算。
5、5.1等参变换的概念有限元法基础141）导数之间的变换）导数之间的变换 由复合函数求导规则有由复合函数求导规则有写成矩阵形式写成矩阵形式J 称为称为Jacobi 矩阵矩阵 5.1等参变换的概念有限元法基础15J 的伴随矩阵的伴随矩阵5.1等参变换的概念有限元法基础16l由坐标变换求得由坐标变换求得Jacobi矩阵中的元素矩阵中的元素 5.1等参变换的概念有限元法基础172）体积微元的变换）体积微元的变换 5.1等参变换的概念有限元法基础18单元刚度矩阵单元刚度矩阵等效体积力等效体积力 5.1等参变换的概念有限元法基础193）面积微元的变换）面积微元的变换以以 为例，为例，5.1等参变换的概念有
6、限元法基础20边界面力的变换边界面力的变换以以 为例，为例，5.1等参变换的概念有限元法基础214）对二维问题）对二维问题u面元面元 u线元线元5.1等参变换的概念有限元法基础225）面积坐标）面积坐标 直边三角形时：直边三角形时：5.1等参变换的概念有限元法基础236）体积坐标）体积坐标 5.2 等参变换的条件与收敛性有限元法基础24l等参变换的条件等参变换的条件等参变换中，需计算等参变换中，需计算Jacobi矩阵的逆矩阵的逆 是否存在？是否存在？存在的条件是存在的条件是 这是两个坐标系间一对一变换的条件这是两个坐标系间一对一变换的条件5.2 等参变换的条件与收敛性有限元法基础25l以二维情
7、况为例说明以二维情况为例说明1）子单元与母单元的单元节点编号顺序相反，）子单元与母单元的单元节点编号顺序相反，顺序相同，顺序相同2）若子单元与母单元同样是凸的，即各节点处若子单元与母单元同样是凸的，即各节点处 5.2 等参变换的条件与收敛性有限元法基础26l畸变单元举例畸变单元举例节点节点1 节点节点2 节点节点3 由于由于 是连续函数，故在是连续函数，故在1-2边至到边至到2-3边时边时必有一点必有一点 ，不具备等参变换条件。，不具备等参变换条件。5.2 等参变换的条件与收敛性有限元法基础27l畸变单元举例畸变单元举例边边1-2 退化为一个节点退化为一个节点 在该点处在该点处 ，也不具备，也
8、不具备 等参变换条件。等参变换条件。实际计算单元刚度矩阵是用数值积分，实际计算单元刚度矩阵是用数值积分，并不会出现奇异性，应用中仍可使用；并不会出现奇异性，应用中仍可使用；四边形退化为三角形单元的积分精度较差。四边形退化为三角形单元的积分精度较差。5.2 等参变换的条件与收敛性有限元法基础28l 等参单元的收敛性等参单元的收敛性 弹性力学问题的收敛性包括完备性和协调性：弹性力学问题的收敛性包括完备性和协调性：完备性：完备性：场插值至少一阶完备，能正确反映刚体位移场插值至少一阶完备，能正确反映刚体位移和常应变。和常应变。协调性：协调性：单元内部位移连续且满足几何方程，单元间单元内部位移连续且满足
9、几何方程，单元间的位移场是连续的。的位移场是连续的。5.2 等参变换的条件与收敛性有限元法基础29l完备性完备性 设单元内任一点设单元内任一点i i的位移场为的位移场为代入位移插值函数代入位移插值函数 5.2 等参变换的条件与收敛性有限元法基础30注意到等参变换注意到等参变换 5.2 等参变换的条件与收敛性有限元法基础31只要只要 Ni 满足形函数性质，完备性就得到满足，满足形函数性质，完备性就得到满足，插值函数能够反映刚体位移和常应变。插值函数能够反映刚体位移和常应变。5.2 等参变换的条件与收敛性有限元法基础32l协调性协调性 单元间边界上的位移场：单元间边界上的位移场：具有相同的节点和相
10、同的节点数具有相同的节点和相同的节点数插值函数相同，有连续的位移场插值函数相同，有连续的位移场插值函数满足插值函数满足 5.等参元与数值积分有限元法基础33l练习题：练习题：1.1.什么是等参元满足有限元收敛准则的条件？同样什么是等参元满足有限元收敛准则的条件？同样条件可否适用于次参和超参单元？条件可否适用于次参和超参单元？2.2.证明边界为直线的三角形和平行四边形的二维单证明边界为直线的三角形和平行四边形的二维单元的元的JacobiJacobi矩阵是常数矩阵。矩阵是常数矩阵。3.3.证明面积坐标的幂函数的积分公式。证明面积坐标的幂函数的积分公式。（提示：利用面积坐标之和等于（提示：利用面积坐
11、标之和等于1 1的关系消去被积的关系消去被积函数中的一个坐标，并注意积分上下限设置。）函数中的一个坐标，并注意积分上下限设置。）5.3 弹性力学中等参单元的一般列式方法有限元法基础34 有限元方程为有限元方程为单元刚度矩阵为单元刚度矩阵为 5.3 弹性力学中等参单元的一般列式方法有限元法基础351 1）母单元为）母单元为 自然坐标系列自然坐标系列 坐标变换坐标变换 位移插值位移插值 Jacobi Jacobi矩阵矩阵 应变的计算应变的计算 求求B B时需建立时需建立 5.3 弹性力学中等参单元的一般列式方法有限元法基础36单元矩阵计算时单元矩阵计算时 5.3 弹性力学中等参单元的一般列式方法有
12、限元法基础372 2）母单元为体积坐标系列）母单元为体积坐标系列 取取L L1 1、L L2 2和和L L3 3为独立变量，为独立变量，L L4 4=1-=1-L L1 1-L L2 2-L L3 3单元矩阵计算单元矩阵计算 5.3 弹性力学中等参单元的一般列式方法有限元法基础382 2）母单元为体积坐标系列）母单元为体积坐标系列 取取L L1 1、L L2 2和和L L3 3为独立变量，为独立变量，L L4 4=1-=1-L L1 1-L L2 2-L L3 3单元矩阵计算单元矩阵计算 5.3 弹性力学中等参单元的一般列式方法有限元法基础39l例：无限元例：无限元1 1）一维问题：）一维问题
13、：2 2节点单元节点单元通常通常u u2 2是已知的。是已知的。5.3 弹性力学中等参单元的一般列式方法有限元法基础40l例：无限元例：无限元2 2）二维问题：）二维问题：4 4节点单元节点单元 5.3 弹性力学中等参单元的一般列式方法有限元法基础41坐标变换坐标变换 反映了反映了1-21-2边的变化率。边的变化率。位移插值函数依然与传统单元一样。位移插值函数依然与传统单元一样。通常节点通常节点2 2和节点和节点3 3的量是已知的。的量是已知的。5.4 数值积分方法有限元法基础42l数值积分的基本思想数值积分的基本思想关键在求积系数和求积点的确定！关键在求积系数和求积点的确定！求积系数求积系数
14、求积点求积点误差误差5.4 数值积分方法有限元法基础431 1）NewtonNewtonCotesCotes积分方案积分方案 将积分区域将积分区域a,bna,bn等分等分构造近似被积函数构造近似被积函数在取样点上在取样点上 5.4 数值积分方法有限元法基础44使用使用n n阶多项式构造近似函数阶多项式构造近似函数 为为Lagrange插值函数。插值函数。积分系数积分系数 5.4 数值积分方法有限元法基础45积分系数积分系数与选取的积分点个数有关与选取的积分点个数有关与积分点位置有关与积分点位置有关与积分域与积分域a,b有关有关被积函数形式无关被积函数形式无关 5.4 数值积分方法有限元法基础4
15、6采用规范化的区域（采用规范化的区域（0 0，1 1），），n+1n+1个等距坐标为个等距坐标为 称为称为Cotes系数。系数。这种积分具有这种积分具有n次的代数精度，即对次的代数精度，即对n次多项式能精次多项式能精确积分。确积分。5.4 数值积分方法有限元法基础47例：一维问题例：一维问题n=1(梯形公式梯形公式)5.4 数值积分方法有限元法基础48n=2(Simpson公式公式)5.4 数值积分方法有限元法基础49lNewtonCotes积分特点积分特点积分取样点等距分布积分取样点等距分布有有n+1n+1个积分点，若被积函数是个积分点，若被积函数是n n次多项式，代次多项式，代数积分是精确
16、的数积分是精确的 5.4 数值积分方法有限元法基础502 2）GaussGauss积分方案积分方案l特点特点 积分取样点非等间距分布，通过优化积分点积分取样点非等间距分布，通过优化积分点的位置，提高了积分精度，的位置，提高了积分精度，n n个积分点可达个积分点可达2n-12n-1次精度。次精度。5.4 数值积分方法有限元法基础51在积分域内构造多项式在积分域内构造多项式由条件由条件确定积分点的位置。确定积分点的位置。5.4 数值积分方法有限元法基础52 的性质：的性质：（1 1）在积分点上）在积分点上（2 2）在积分域（）在积分域（a,ba,b）内与）内与正交。正交。被积函数被积函数 可由可由
17、2n-12n-1次多项式近似次多项式近似 5.4 数值积分方法有限元法基础53 上式在形式上与上式在形式上与NewtonCotes积分是一样的，但是积分是一样的，但是近似函数是近似函数是2n-1次，积分点是非均匀的分布。次，积分点是非均匀的分布。为了方便积分，一般积分限（为了方便积分，一般积分限（a，b）（）（-1，1）。）。5.4 数值积分方法有限元法基础54例：两点例：两点GaussGauss积分积分积分点位置：积分点位置：i=0i=0i=1i=1 5.4 数值积分方法有限元法基础55得到得到 求解高阶积分点坐标和权系数，一般利用求解高阶积分点坐标和权系数，一般利用Legendre多项式来
18、进行。多项式来进行。5.4 数值积分方法有限元法基础56 5.4 数值积分方法有限元法基础57n=2Newton-CotesGauss5.4 数值积分方法有限元法基础58l二维和三维二维和三维GaussGauss积分积分 对二维积分对二维积分首先令首先令 为常数，对为常数，对 积分积分再对再对 积分，得到积分，得到 5.4 数值积分方法有限元法基础59类似地三维积分为类似地三维积分为注：每个方向可以选取不同的积分点数。注：每个方向可以选取不同的积分点数。5.4 数值积分方法有限元法基础603 3）IronsIrons积分方案积分方案 对三维六面体积分对三维六面体积分每个方向使用每个方向使用n
19、n点点Newton-CotesNewton-Cotes积分，需积分，需 n n3 3个点，在个点，在 每个方向的精度为每个方向的精度为n-1n-1次。次。每个方向使用每个方向使用m m点点GaussGauss积分，需积分，需 m m3 3个点，在每个方个点，在每个方 向的精度为向的精度为2m-12m-1次。次。IronsIrons积分方案通过三个方向优化节点位置，提高积积分方案通过三个方向优化节点位置，提高积分精度。分精度。5.4 数值积分方法有限元法基础615.4 数值积分方法有限元法基础62 5.4 数值积分方法有限元法基础634 4）HammerHammer积分方案积分方案 讨论对象为面
20、积坐标和体积坐标的积分讨论对象为面积坐标和体积坐标的积分 5.4 数值积分方法有限元法基础645.4 数值积分方法有限元法基础65 5.5 数值积分阶次的选择有限元法基础66积分点个数的选取是对数值积分阶次的选择积分点个数的选取是对数值积分阶次的选择计算精度计算精度计算工作量计算工作量计算成本计算成本5.5 数值积分阶次的选择有限元法基础67l选取积分点个数的原则选取积分点个数的原则1）保证积分精度）保证积分精度2）保证总体刚度矩阵满秩）保证总体刚度矩阵满秩3）有较好的计算效率）有较好的计算效率5.5 数值积分阶次的选择有限元法基础681）保证积分精度）保证积分精度以一维单元刚度矩阵积分为例以
21、一维单元刚度矩阵积分为例 积分限标准化，并设积分限标准化，并设Jacobi行列式为常数行列式为常数5.5 数值积分阶次的选择有限元法基础69对对多数多数弹弹性力学性力学问题问题Ni 插插值值函数：函数：p 阶阶多多项项式式D 微分算子：最高微分算子：最高导导数数 阶阶次次 m 原被原被积积函数函数为为2（p m）阶阶多多项项式式5.5 数值积分阶次的选择有限元法基础70为为保保证积证积分精度，分精度，Gauss积积分点数分点数为为n，应应有有 按此按此规则选规则选取取积积分点个数，才能使被分点个数，才能使被积积函数达函数达到精度。到精度。5.5 数值积分阶次的选择有限元法基础71l对对二二维维
22、和三和三维单维单元元 按一维的方法选按一维的方法选 nxn nxn 或或nxnxn nxnxn 个积分点，可能个积分点，可能被积函数达不到精确积分的要求！被积函数达不到精确积分的要求！原因原因1 1：JacobiJacobi行列式可能不是常数行列式可能不是常数,这样提高了这样提高了被积函数的阶次。被积函数的阶次。当物理坐标中的单元当物理坐标中的单元 平行四变形（平行四变形（2D2D）平行六面体（平行六面体（3D3D）5.5 数值积分阶次的选择有限元法基础72解决解决办办法法1）适当提高积分点数，以适应精度）适当提高积分点数，以适应精度2）剖分网格时，尽量避免过分扭曲单元）剖分网格时，尽量避免过
23、分扭曲单元5.5 数值积分阶次的选择有限元法基础73例：不同形状网格剖分的悬臂梁例：不同形状网格剖分的悬臂梁5.5 数值积分阶次的选择有限元法基础745.5 数值积分阶次的选择有限元法基础75原因原因2 2：B B矩阵中包含有高阶非完全项矩阵中包含有高阶非完全项 原插值函数：原插值函数：p p阶完备多项式阶完备多项式 p p阶非完全项阶非完全项采用精确积分方案，应以采用精确积分方案，应以pp为准，即为准，即 5.5 数值积分阶次的选择有限元法基础76例：二维例：二维4 4节点单元节点单元优化积分方案：优化积分方案：p=1,n=p-m+1=1,p=1,n=p-m+1=1,一点积分一点积分非完全项
24、含有非完全项含有 ,精确积分方案：积分点精确积分方案：积分点 2x22x2 5.5 数值积分阶次的选择有限元法基础77例：二维例：二维8 8节点单元节点单元优化积分方案：优化积分方案：p=2,n p=2,n=p-m+1=2,2x2=p-m+1=2,2x2积分积分精确积分方案：精确积分方案：非完全项含有非完全项含有 ，积分点积分点 3x33x3 5.5 数值积分阶次的选择有限元法基础78 在实际计算单元刚度矩阵时，还有其在实际计算单元刚度矩阵时，还有其他方面的考虑。他方面的考虑。实际的实际的Gauss积分点数积分点数 刚体位移数刚体位移数施加边界条件后，总刚度矩阵非奇异施加边界条件后，总刚度矩阵
25、非奇异 存在，方程有解。存在，方程有解。5.5 数值积分阶次的选择有限元法基础81l 矩阵的秩矩阵的秩1）矩阵相乘）矩阵相乘2）矩阵相加）矩阵相加 5.5 数值积分阶次的选择有限元法基础82l 单元刚度矩阵的计算公式单元刚度矩阵的计算公式C是是dXd的方阵，的方阵，d是应变数量，三维问题为是应变数量，三维问题为6，平面，平面问题为问题为3，轴对称问题为，轴对称问题为4。一般情况下，秩一般情况下，秩BdM个单元的结构个单元的结构 5.5 数值积分阶次的选择有限元法基础83 是是K非奇异的必要条件。非奇异的必要条件。系统独立的自由度数系统独立的自由度数N超过超过(或或)全部积分全部积分点点nG提供
26、的独立关系数，则提供的独立关系数，则K必然奇异。必然奇异。5.5 数值积分阶次的选择有限元法基础84例：平面例：平面8节点单元节点单元独立独立DOF数数 N2x8-3=13精确积分精确积分3x3减缩积分减缩积分2x2减缩积分下减缩积分下K是奇异的。是奇异的。5.5 数值积分阶次的选择有限元法基础852x2积分的平面积分的平面8节点单元的节点单元的零能变形模式零能变形模式5.5 数值积分阶次的选择有限元法基础86零能变形模式（零能变形模式（Zero Energy Deformation Zero Energy Deformation ModeMode）：）：一种由刚度矩阵产生的变形能为零的非刚体
27、一种由刚度矩阵产生的变形能为零的非刚体位移的变形模式。位移的变形模式。非刚体位移模式非刚体位移模式 q也称为也称为 Spurious Kinematic ModeSpurious Kinematic Mode5.5 数值积分阶次的选择有限元法基础87例例:平面问题的奇异性平面问题的奇异性节节点数点数44N42-3=582-3=13nG14M nGd113143结论结论351213K奇异奇异奇异奇异5.5 数值积分阶次的选择有限元法基础88节节点数点数44N62-3=9132-3=23nG14M nGd213=6243结论结论623K奇异奇异非奇异非奇异5.5 数值积分阶次的选择有限元法基础89
28、节节点数点数2565N252-3=47652-3=127nG14M nGd1613=481643=192结论结论4847192127K非奇异非奇异非奇异非奇异5.6 小结有限元法基础90l等参元在有限元法中占有非常重要的位置等参元在有限元法中占有非常重要的位置l精确积分方案只是一个相对的精确积分方案只是一个相对的l单元的积分方案是与单元的应用有关的单元的积分方案是与单元的应用有关的l为提高计算效率，多数单元使用了减缩积分为提高计算效率，多数单元使用了减缩积分或选择减缩积分，并使用了沙漏控制技术或选择减缩积分，并使用了沙漏控制技术5.6 小结有限元法基础91l商业软件中等参元大多是经过特殊处理的商业软件中等参元大多是经过特殊处理的 例如，例如，ANSYSANSYS中中 Plane42 Plane42为非协调元（为非协调元（QM6QM6）Solid45 Solid45为非协调元为非协调元 Plane182 Plane182为使用选择减缩积分单元为使用选择减缩积分单元 Plane183 Plane183使用减缩积分单元使用减缩积分单元 Solid185 Solid185使用选择减缩积分单元使用选择减缩积分单元 Solid186 Solid186使用减缩积分单元使用减缩积分单元