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1、第五章 等参元与数值积分,5.1 等参变换的概念 5.2 等参变换的条件和收敛性 5.3 数值积分方法 5.4 数值积分阶次的选择,1,5. 等参元与数值积分,本章重点 等参变化的概念和实现单元特性矩阵方法 实现等参变换的条件和满足收敛准则的条件 数值积分的基本思想和Gauss积分的特点 单元刚度矩阵数值积分阶次的选择,有限元法基础,2,5. 等参元与数值积分,关键概念 等(超、次)参变换 雅克比矩阵和行列式 等参变换的条件 等参元的收敛性 数值积分 高斯积分 精确积分 减缩积分 矩阵的秩 零能模式,有限元法基础,3,5.1等参变换的概念,将局部（自然）坐标中的简单几何形状的单元，转换成总体（
2、物理）坐标中的几何扭曲的单元，必须建立一个坐标变换，即,有限元法基础,4,5.1等参变换的概念,有限元法基础,5,5.1等参变换的概念,有限元法基础,6,5.1等参变换的概念,有限元法基础,7,规则化单元：母单元 在自然坐标系内(局部),实际单元：子单元 在总体坐标系内(整体),利用节点坐标和形函数建立坐标变换关系,5.1等参变换的概念,有限元法基础,8,等参变换 坐标变换和场函数插值采用相同的节点，m=n, 并且采用相同的插值函数。这样建立的单元，称为等参元。 超参变换 坐标变换的节点数多于场函数插值的节点数，即mn。这样建立的单元，称为超参元。 次参变换 坐标变换的节点数少于场函数插值的节
3、点数，即mn。这样建立的单元，称为次参元。,5.1等参变换的概念,有限元法基础,9,例：一维2节点单元,5.1等参变换的概念,有限元法基础,10,例：二维3节点单元,5.1等参变换的概念,有限元法基础,11,例：平面4节点单元,5.1等参变换的概念,有限元法基础,12,单元矩阵的变换 等参变换单元矩阵的变化：,等参变换,单元矩阵的变化：B、K、d、,5.1等参变换的概念,有限元法基础,13,由于插值函数使用自然坐标，涉及到求导和积分的变换，如B矩阵的偏微分计算，K矩阵的积分计算。,5.1等参变换的概念,有限元法基础,14,1）导数之间的变换 由复合函数求导规则有 写成矩阵形式 J 称为Jaco
4、bi 矩阵,5.1等参变换的概念,有限元法基础,15,J 的伴随矩阵,5.1等参变换的概念,有限元法基础,16,由坐标变换求得Jacobi矩阵中的元素,5.1等参变换的概念,有限元法基础,17,2）体积微元的变换,5.1等参变换的概念,有限元法基础,18,单元刚度矩阵 等效体积力,5.1等参变换的概念,有限元法基础,19,3）面积微元的变换 以 为例，,5.1等参变换的概念,有限元法基础,20,边界面力的变换 以 为例，,5.1等参变换的概念,有限元法基础,21,4）对二维问题 面元,线元,5.1等参变换的概念,有限元法基础,22,5）面积坐标,直边三角形时：,5.1等参变换的概念,有限元法基
5、础,23,6）体积坐标,5.2 等参变换的条件与收敛性,有限元法基础,24,等参变换的条件 等参变换中，需计算Jacobi矩阵的逆 是否存在？ 存在的条件是,这是两个坐标系间一对一变换的条件,5.2 等参变换的条件与收敛性,有限元法基础,25,以二维情况为例说明 1）子单元与母单元的单元节点编号顺序相反， ，顺序相同 2） 若子单元与母单元同样是凸的，即各节点处,5.2 等参变换的条件与收敛性,有限元法基础,26,畸变单元举例 节点1 节点2 节点3 由于 是连续函数，故在1-2边至到2-3边时 必有一点 ，不具备等参变换条件。,5.2 等参变换的条件与收敛性,有限元法基础,27,畸变单元举例
6、 边1-2 退化为一个节点 在该点处 ，也不具备 等参变换条件。 实际计算单元刚度矩阵是用数值积分， 并不会出现奇异性，应用中仍可使用； 四边形退化为三角形单元的积分精度较差。,5.2 等参变换的条件与收敛性,有限元法基础,28,等参单元的收敛性 弹性力学问题的收敛性包括完备性和协调性： 完备性：场插值至少一阶完备，能正确反映刚体位移和常应变。 协调性：单元内部位移连续且满足几何方程，单元间的位移场是连续的。,5.2 等参变换的条件与收敛性,有限元法基础,29,完备性 设单元内任一点i的位移场为 代入位移插值函数,5.2 等参变换的条件与收敛性,有限元法基础,30,注意到等参变换,5.2 等参
7、变换的条件与收敛性,有限元法基础,31,只要,Ni 满足形函数性质，完备性就得到满足， 插值函数能够反映刚体位移和常应变。,5.2 等参变换的条件与收敛性,有限元法基础,32,协调性 单元间边界上的位移场： 具有相同的节点和相同的节点数 插值函数相同，有连续的位移场 插值函数满足,5. 等参元与数值积分,有限元法基础,33,练习题： 什么是等参元满足有限元收敛准则的条件？同样条件可否适用于次参和超参单元？ 证明边界为直线的三角形和平行四边形的二维单元的Jacobi矩阵是常数矩阵。 证明面积坐标的幂函数的积分公式。 （提示：利用面积坐标之和等于1的关系消去被积函数中的一个坐标，并注意积分上下限设
8、置。）,5. 3 弹性力学中等参单元的一般列式方法,有限元法基础,34,有限元方程为 单元刚度矩阵为,5. 3 弹性力学中等参单元的一般列式方法,有限元法基础,35,1）母单元为 自然坐标系列 坐标变换 位移插值 Jacobi矩阵 应变的计算 求B时需建立,5. 3 弹性力学中等参单元的一般列式方法,有限元法基础,36,单元矩阵计算时,5. 3 弹性力学中等参单元的一般列式方法,有限元法基础,37,2）母单元为体积坐标系列 取L1、L2和L3为独立变量，L4=1-L1-L2-L3 单元矩阵计算,5. 3 弹性力学中等参单元的一般列式方法,有限元法基础,38,2）母单元为体积坐标系列 取L1、L
9、2和L3为独立变量，L4=1-L1-L2-L3 单元矩阵计算,5. 3 弹性力学中等参单元的一般列式方法,有限元法基础,39,例：无限元 1）一维问题：2节点单元 通常u2是已知的。,5. 3 弹性力学中等参单元的一般列式方法,有限元法基础,40,例：无限元 2）二维问题：4节点单元,5. 3 弹性力学中等参单元的一般列式方法,有限元法基础,41,坐标变换 反映了1-2边的变化率。 位移插值函数依然与传统单元一样。 通常节点2和节点3的量是已知的。,5.4 数值积分方法,有限元法基础,42,数值积分的基本思想 关键在求积系数和求积点的确定！,求积系数,求积点,误差,5.4 数值积分方法,有限元
10、法基础,43,1）NewtonCotes积分方案 将积分区域a,bn等分 构造近似被积函数 在取样点上,5.4 数值积分方法,有限元法基础,44,使用n阶多项式构造近似函数 为Lagrange插值函数。 积分系数,5.4 数值积分方法,有限元法基础,45,积分系数 与选取的积分点个数有关 与积分点位置有关 与积分域a,b有关 被积函数形式无关,5.4 数值积分方法,有限元法基础,46,采用规范化的区域（0，1），n+1个等距坐标为 称为Cotes系数。 这种积分具有n次的代数精度，即对n次多项式能精确积分。,5.4 数值积分方法,有限元法基础,47,例：一维问题 n = 1(梯形公式),5.4
11、 数值积分方法,有限元法基础,48,n = 2 (Simpson公式),5.4 数值积分方法,有限元法基础,49,NewtonCotes积分特点 积分取样点等距分布 有n+1个积分点，若被积函数是n次多项式，代数积分是精确的,5.4 数值积分方法,有限元法基础,50,2）Gauss积分方案 特点 积分取样点非等间距分布，通过优化积分点的位置，提高了积分精度，n个积分点可达2n-1次精度。,5.4 数值积分方法,有限元法基础,51,在积分域内构造多项式 由条件 确定积分点的位置。,5.4 数值积分方法,有限元法基础,52,的性质： （1）在积分点上 （2）在积分域（a,b）内与 正交。 被积函数
12、 可由2n-1次多项式近似,5.4 数值积分方法,有限元法基础,53,上式在形式上与NewtonCotes积分是一样的，但是近似函数是2n-1次，积分点是非均匀的分布。 为了方便积分，一般积分限（a，b）（-1，1）。,5.4 数值积分方法,有限元法基础,54,例：两点Gauss积分 积分点位置： i=0 i=1,5.4 数值积分方法,有限元法基础,55,得到,求解高阶积分点坐标和权系数，一般利用Legendre多项式来进行。,5.4 数值积分方法,有限元法基础,56,5.4 数值积分方法,有限元法基础,57,n=2 Newton-Cotes Gauss,5.4 数值积分方法,有限元法基础,5
13、8,二维和三维Gauss积分 对二维积分 首先令 为常数，对 积分 再对 积分，得到,5.4 数值积分方法,有限元法基础,59,类似地三维积分为 注：每个方向可以选取不同的积分点数。,5.4 数值积分方法,有限元法基础,60,3）Irons积分方案 对三维六面体积分 每个方向使用n点Newton-Cotes积分，需 n3个点，在 每个方向的精度为n-1次。 每个方向使用m点Gauss积分，需 m3个点，在每个方 向的精度为2m-1次。 Irons积分方案通过三个方向优化节点位置，提高积分精度。,5.4 数值积分方法,有限元法基础,61,5.4 数值积分方法,有限元法基础,62,5.4 数值积分
14、方法,有限元法基础,63,4）Hammer积分方案 讨论对象为面积坐标和体积坐标的积分,5.4 数值积分方法,有限元法基础,64,5.4 数值积分方法,有限元法基础,65,5.5 数值积分阶次的选择,有限元法基础,66,积分点个数的选取是对数值积分阶次的选择,计算精度 计算工作量 计算成本,5.5 数值积分阶次的选择,有限元法基础,67,选取积分点个数的原则 1）保证积分精度 2）保证总体刚度矩阵满秩 3）有较好的计算效率,5.5 数值积分阶次的选择,有限元法基础,68,1）保证积分精度 以一维单元刚度矩阵积分为例 积分限标准化，并设Jacobi行列式为常数,5.5 数值积分阶次的选择,有限元
15、法基础,69,对多数弹性力学问题 Ni 插值函数： p 阶多项式 D 微分算子：最高导数 阶次 m 原被积函数为2（p m）阶多项式,5.5 数值积分阶次的选择,有限元法基础,70,为保证积分精度，Gauss积分点数为n，应有 按此规则选取积分点个数，才能使被积函数达到精度。,5.5 数值积分阶次的选择,有限元法基础,71,对二维和三维单元 按一维的方法选 nxn 或nxnxn 个积分点，可能被积函数达不到精确积分的要求！ 原因1：Jacobi行列式可能不是常数, 这样提高了被积函数的阶次。 当物理坐标中的单元 平行四变形（2D） 平行六面体（3D）,5.5 数值积分阶次的选择,有限元法基础,
16、72,解决办法 1）适当提高积分点数，以适应精度 2）剖分网格时，尽量避免过分扭曲单元,5.5 数值积分阶次的选择,有限元法基础,73,例：不同形状网格剖分的悬臂梁,5.5 数值积分阶次的选择,有限元法基础,74,5.5 数值积分阶次的选择,有限元法基础,75,原因2：B矩阵中包含有高阶非完全项 原插值函数：p阶完备多项式 p阶非完全项 采用精确积分方案，应以p为准，即,5.5 数值积分阶次的选择,有限元法基础,76,例：二维4节点单元 优化积分方案： p=1, n = p-m+1 = 1, 一点积分 非完全项含有 , 精确积分方案：积分点 2x2,5.5 数值积分阶次的选择,有限元法基础,7
17、7,例：二维8节点单元 优化积分方案： p=2, n = p-m+1 = 2, 2x2积分 精确积分方案： 非完全项含有 ， 积分点 3x3,5.5 数值积分阶次的选择,有限元法基础,78,在实际计算单元刚度矩阵时，还有其他方面的考虑。,实际的Gauss积分点数 精确积分要求的积分点数,5.5 数值积分阶次的选择,有限元法基础,79,精确积分是非完全项所要求，决定有限元的精度是完全多项式，选取较低的Gauss积分已保证完备项的要求，可提高计算效率 位移元得到的解是下限解，往往偏刚，降阶积分可减少单元的刚度 对于畸形单元，积分中含有 本身也不可能精确积分,5.5 数值积分阶次的选择,有限元法基础
18、,80,2）保证总体刚度矩阵满秩 系统总自由度数 N系统节点数 X 每节点自由度约束数 约束数 刚体位移数,施加边界条件后，总刚度矩阵非奇异 存在，方程有解。,5.5 数值积分阶次的选择,有限元法基础,81,矩阵的秩 1）矩阵相乘 2）矩阵相加,5.5 数值积分阶次的选择,有限元法基础,82,单元刚度矩阵的计算公式 C是dXd的方阵，d是应变数量，三维问题为6，平面问题为3，轴对称问题为4。 一般情况下，秩Bd M个单元的结构,5.5 数值积分阶次的选择,有限元法基础,83,是K非奇异的必要条件。,系统独立的自由度数N超过(或 ) 全部积分点nG提供的独立关系数，则K必然奇异。,5.5 数值积
19、分阶次的选择,有限元法基础,84,例：平面8节点单元 独立DOF数 N2x8-3=13 精确积分3x3 减缩积分2x2 减缩积分下K是奇异的。,5.5 数值积分阶次的选择,有限元法基础,85,2x2积分的平面8节点单元的零能变形模式,5.5 数值积分阶次的选择,有限元法基础,86,零能变形模式（Zero Energy Deformation Mode）： 一种由刚度矩阵产生的变形能为零的非刚体位移的变形模式。 非刚体位移模式 q 也称为 Spurious Kinematic Mode,5.5 数值积分阶次的选择,有限元法基础,87,例:平面问题的奇异性,5.5 数值积分阶次的选择,有限元法基础,88,5.5 数值积分阶次的选择,有限元法基础,89,5.6 小结,有限元法基础,90,等参元在有限元法中占有非常重要的位置 精确积分方案只是一个相对的 单元的积分方案是与单元的应用有关的 为提高计算效率，多数单元使用了减缩积分或选择减缩积分，并使用了沙漏控制技术,5.6 小结,有限元法基础,91,商业软件中等参元大多是经过特殊处理的 例如，ANSYS中 Plane42为非协调元（QM6） Solid45为非协调元 Plane182为使用选择减缩积分单元 Plane183使用减缩积分单元 Solid185使用选择减缩积分单元 Solid186使用减缩积分单元,