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1、希尔伯特黄变换 黄诚惕，希尔伯特-黄变换及其应用研究提要1)分析了时变信号处理的发展及现状2)介绍时变信号处理常用方法和新的时变信号处理方法，HHT信号分析方法1)分析了时变信号处理的发展过程及现状传统的信号分析与处理都是建立在傅立叶分析的基础上的，它有三个基本的假设：线性、高斯性和平稳性，建立的是一种理想的模型。傅立叶分析在科学与技术的所有领域中发挥着十分重要的作用，但是它使用的是一种全局的变换，因此无法表述信号的时频局部性能，而这种性质恰恰是非平稳(时变)信号最根本和最关键的性质，因此就不适合用于分析非平稳信号。现实生活中存在的自然或是人工的信号大多是非平稳信号，如语音信号、机械振动信号、
2、心电信号、雷达信号及地震信号等。因此为了分析和处理非平稳(时变)信号，人们对傅立叶分析进行了推广乃至根本性的革命，提出并发展了一系列新的信号分析与处理理论，即非平稳(时变)信号分析与处理。2 HHTHuang于1998年提出了一种新的信号分析方法希尔伯特一黄变换(HilbertHuang Transform，简称为HHT)。应用这个方法时需执行两个基本步骤：首先，用EMD方法(The empirical mode decomposition method)把信号分解成一些本征模态函数(intrinsic Mode Function，简称为IMF)。接着，对分解得到的IMF分量进行Hibert变
3、换，从而得出时频平面上的能量分布谱图(Hilbert谱)。下面对这个方法中所涉及到的一些概念进行简要说明：对任意的时间序列X(t)，Hilbert变换Y(t)定义为：(1)这里P表示柯西主值，变换对所有 类成立。根据这一定义，当X(t)与Y(t)形成一个复共轭时，就可得到一个解析信号Z(t)：Z(t)=X(t)+iY(t)=a(t)(2)(3)这样，Hilben变换提供了一个独特的定义幅度与相位的函数。式(1)定义Hilbert变换为X(t)与1/t的卷积；因此它强调了X(t)的局部特性：它是一个幅度与相位变化的三角函数X(t)的最好局部近似。在Hilbert变换中，用下式定义瞬时频率：(4)
4、对于一个简单的信号例如正弦信号，只有满足局部对称于零均值时，其瞬时频率才有意义。2.1本征模态函数(IMF)的概念在物理上，如果瞬时频率有意义，那么函数必须是对称的，局部均值为零，并且具有相同的过零点和极值点数目。在此基础上，NordneE.Huang等人提出了本征模函数(Intrinsic Mode Function，简称IMF)的概念。本征模函数任意一点的瞬时频率都是有意义的。Hunag等人认为任何信号都是由若干本征模函数组成，任何时候，一个信号都可以包含若干个本征模函数，如果本征模函数之间相互重叠，便形成复合信号。EMD分解的目的就是为了获取本征模函数，然后再对各本征模函数进行希尔伯特变
5、换，得到希尔伯特谱。一个本征模态函数是满足如下两个条件的函数：(1)在整个数据序列中，极值点的数量与过零点的数量必须相等，或最多相差不能多于一个。(2)在任一时间点上。信号的局部极大值和局部极小值定义的包络平均值为零。第一个限定条件是非常明显的；它近似于传统的平稳高斯过程关于窄带的定义。第二个条件是一个新的想法：它把传统的全局限定变为局部限定。这种限定是必须的，它可去除由于波形不对称而造成的瞬时频率的波动。采用本征模态函数（以下简称IMF）这个名称是因为它代表了信号数据中的振荡模式。IMF在按过零点定义的每一个周期中，只包括一个本征模态的振荡，没有复杂的叠加波存在。如此定义，一个基本的IMF并
6、不限定为窄带信号，也可以是幅度调制和频率调制的。事实上，它可以是非平稳的。图1是一个典型的本征模态函数。本征模态函数(IMF)概念的提出使得用Hnbcn变换定义的瞬时频率具有实际的物理意义，而提出IMF分量的EMD分解方法的出现则使瞬时频率可用于复杂的非平稳信号的分析。22时间特征尺度现在有三种测量时间尺度的方法：相邻两过零点间隔的时间尺度，相邻两极值点间隔的时间尺度，相邻两曲率极值点间隔的时间尺度。三种情况中，时间间隔都是用来局部测量事物时间变化的。局部极值时间间隔和曲率时间间隔尺度代表了整个波形，无论波形是否穿过零线。Huang等人分析认为，时间尺度代表了信号的局部震荡尺度，并且仅表示一种
7、震荡模式。这种震荡从一个极值点到另一个相反的极值点，因此时间尺度是震荡本身所隐含的尺度，称为特征时间尺度。EMD方法使用的时间尺度是极值点间隔，它当然提供了一个很好的对时间尺度测量的方法。所谓的局部是特征尺度是指信号重量邻近极大值点或者极小值点的时间间隔。HHT分析方法是通过对信号本身的局部特征进行分析，从局部特征时间尺度入手，获得不同时间尺度特征的有限个IMF分量。2.3EMD分解方法EMD是Empirical Mode Decomposition的简写，通常被称为经验模态分解法，是Huang在1996年提出的信号分解算法，这主要是从复杂信号里分离出IMF的过程，也称为筛选过程 Siftin
8、g Process)。在此基础上，1998年Huang及其同事提出了较为完整的Hilbert Huang变换法。EMD是HHT方法中至关重要的一部分。EMD方法假设任何信号都由不同的本征模态函数(IMF)组成，每个IMF可以是线性的，也可以是非线性的，IMF分量必须满足下面两个条件：一是其极值点个数和过零点数相同或最多相差一个，二是其上下包络关于时间轴局部对称。这样任何一个信号就可以分解为有限个IMF之和。分解过程基于以下假设：(1)信号最少有一个极大值和一个极小值；(2)时域特性由极值间隔决定；(3)如果数据序列完全缺乏极值但是仅包含拐点，那么它也可通过求导一次或多次来揭示极值点，而最终结果
9、可以由这些成分求积分来获得。具体方法是由一个“筛选”过程完成的：(1)首先找出 s(t)所有的极大值点并将其用三次样条函数拟合成原数据序列的上包络线：以及所有的极小值点并将其用三次样条函数拟合成原数据序列的下包络线；图为一测试数据及其包络线、均值线示意图。(2)计算上下包络线的均值，记为m1(t)；将原数据序列s(t)减去该均值即可得到一个去掉低频的新数据序列h1下图即为s(t)和h1的示意图。(3)h1一般仍不是一个IMF分量序列，为此需要对它重复进行上述处理过程。重复进行上述处理过程k次，直到h1(t)符合IMF的定义要求，所得到的均值趋于零为止，这样就得到了第1个IMF分量c1(t)，它
10、代表信号s(t)中最高频率的分量：h1(k-1)(t)-m1k(t)=h1k(t),c1(t)=h1k(t)(5)图为分解得到的第一个IMF分量c1(t)，图中可以看出极值点数与零点数目满足IMF的要求。第一个IMF,c1(4)将c1(t)从s(t)中分离出来，即得到一个去掉高频分量的差值信号r1(t)，即有：r1(t)=s(t)-c1(t)(6)将r1(t)作为原始数据，重复步骤(1)(2)(3)，得到第二个IMF分量c2(t),重复n次,得到n个IMF分量。这样就有：r1(t)-c2(t)=r1(t)(7).rn-1(t)-cn(t)=rn(t)当cn(t)或rn(t)满足给定的终止条件(
11、通常使rn(t)为一单调函数)时，循环结束。由(6)(7)可得：(8)其中，rn(t)为残余函数，代表信号的平均趋势。而各个 IMF分量c1(t)，c2(t)cn(t)分别包含了信号不同时间特征尺度大小的成分，其尺度依次由小到大。因此，各分量也就相应地包含了从高到低不同频率段的成分，每一个频率段所包含的频率成分都是不同的，且随信号本身的变化而变化。2.4 Hilbert谱和边际谱在IMF定义和EMD的基础上，Huang等人系统地提出了一种分析信号的新理论或新方法。它包括两个大组成部分，EMD和与之相应的Hilben谱分析方法。即首先用EMD将任意信号s(t)分解成有限个IMF的和 然后分别对每
12、一个IMF分量用Hilbert变换进行谱分析。最后得到信号的瞬时频率表示:(9)这里省略了残余函数rn(t)，Re表示取实部。称式(9)右边为Hilbert时频谱，简称Hilbert谱，记作 (10)它是瞬时振幅在频率,时间平面上的分布。在式(9)中省略残余函数rn(t),是因为它或者是一个常数，或者是一个单调函数。虽然可以把rn(t)看作一个长周期波的一部分，但考虑到长周期的不确定性，及信号所包含的信息主要在高频分量中，因此做了省略处理。展开式(9)中，每个分量的幅值和相位都是随时间可变的，而同样信号s(t)的Fourier变换展开式为 (11)其中ai,wi为常数。这清楚地表明：HHT对信
13、号的瞬时频率表示是Fourier展开的一般化，它不仅提高了信号的效率，而且能够表示可变的频率。因此，新方法突破了傅立叶变换的束缚。用Hilbert谱可以进一步定义边际谱为：(12)这里由HHT得到的边际谱与Fourier频谱有相似之处，从统计观点上来看，它表示了该频率上振幅(能量)在时间上的累加，能够反映各频率上的能量分布，但因为瞬时频率定义为时间的函数，不同以往Fourier等需要完整的振荡波周期来定义局部的频率值，而且求取的能量值不是全局定义的。因此对信号的局部特征反映更准确，在这方面优于Fourier谱。尤其是在分析非平稳信号时，这种定义对于频率随时间随时变化的信号特征来说，能够反映真实地振动特点。Thanks for your attention!