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1、5.6 希尔伯特(Hilbert)变换 希尔伯特变换的引入 可实现系统的网络函数与希尔伯特变换 一由傅里叶变换到希尔伯特变换 正负号函数的傅里叶变换 根据对称性得到 那么 假设系统函数为 那么冲激响应 系统框图:系统的零状态响应 利用卷积定理 具有系统函数为 的网络是一个使相位滞后 弧度的宽带相移全通网络 同理可得到:假设系统冲激响应为 jtF2sgnjt221sgnsgn1jt 为奇函数sgn sgn1jt 090 0 90sgn)(00jjjjH tjHFth11th Ftf Ftf sgnjttfthtftf1 0 0 sgnjFjFjFFtfF tth12 sgnj 其网络的系统函数为
2、 该系统框图为 输出信号 利用卷积定理 具有系统函数为 的网络是一个使相位滞后 弧度的宽带相移全通网络 希尔伯波特变换 二 可实现系统的网络函数与希尔伯特变换 可实现系统是因果系统，其冲激响应 090 0 90 sgn)(00jjjthFHth Ftf Ftf sgnj ttfthtftf1 0 0 sgnjFjFjFF2 sgnj d1tftftfHttftf1 d11tftftfHttftf1 即:其傅里叶变换 又 那么 根据实部与实部相等，虚部与虚部相等，解得 因果系统系统函数 的实部与虚部满足希尔伯特变换约束关系 三常用希尔伯特变换对 对于任意因果函数，傅里叶变换的实部与虚部都满足希尔
3、伯特变换的约束关系，希尔伯特变换作为一种数学工具在通信系统中得到了广泛的应用 tuthth 00tth jjHjH121)()(jjXjRejHjHjjjXjR)(jjjXjR121121jXjR12jRjXj d2121jXjRjjXjR d212jRjXj d1)(jXjR d1jRjX)(jHtftft0cost0sint0sint0costje0tjje0tjetm0 tjetjm0例 5-6-1 用三种方法求解此题：方法 1:方法 2：那么希尔伯特变换的频谱函数为 即：方法 3：直接用希尔伯特变换定义式 例 5-6-2 因为 即系统函数 式中实部 虚部 伯特变换的约束关系。的实部与虚
4、部满足希尔，证明 )()()(t h F t u e t h t .cos0tfttf的希尔伯特变换求 弧度，即滞后比希尔伯特变换2tftf tttfHtf00sin4cos 000costFF因 00sgnjjjFF ttfjF000sintttH000sindcos1cosjtueFthFt1)(jjXjRjjH222222jR22jX 现在求 的希尔伯特变换 可求出各分式系数 那么 jX d1jXjXHd122CjBjA22令22,21,21CjBjA d2121122jjjjjXH d2121122jjjjjXHd122222d12222222lnlnarctg122220022122
5、22 R例 5-6-3 试分析下面系统可以产生单边带信号 信号 是带限信号，其频谱函数为 图中系统函数 载频 由调制定理可知 为带通信号 其频谱函数 是 的希尔伯特变换信号 其频谱 那么 其频谱函数 即 输出信号 其频谱为 乘法器乘法器2移相t0cost0sinjH tg ty ty2 ty1tgmm G1 tg G sgnjjHm0 ttgty01cos 00112121GGYtyF tg tg sgnjjGGtgF ttgty02sin 002221jGYtyF0000sgnsgn2jGjGj 00002sgn21sgn21GGYtytyty21 21YYY频谱图如下所示 是带通信号上边带调幅信号的频谱 00m0m0 1Y021G021G000m0m0 2Y)sgn(2100G)sgn(2100G000m0m0 Y01 Y