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1、第五节第五节 夹逼准则与两个重要极限夹逼准则与两个重要极限 一、夹逼准则一、夹逼准则二、两个重要极限二、两个重要极限 利用极限的定义及运算法则虽可以求得很多函数的利用极限的定义及运算法则虽可以求得很多函数的极限，但是对于一些特殊函数的极限却无能为力，如极限，但是对于一些特殊函数的极限却无能为力，如极限值各是多少？如何求解？极限值各是多少？如何求解？一、夹逼准则一、夹逼准则(1)yn xn zn,(n=1,2,3)；准则准则I 如果数列如果数列xn,yn,zn满足满足 则数列则数列xn的极限存在的极限存在,且且例例1 1 求求解解 因为因为又又 由夹逼准则得由夹逼准则得 对于函数对于函数,也有类
2、似的夹逼准则：也有类似的夹逼准则：(或或|x|M)时时,有有准则准则I 如果如果当当 则有则有 f(x)A(xx0或或x)（1）g(x)f(x)h(x)(2)g(x)A,h(x)A(xx0或或x),准则准则I I和和准则准则I 称为夹逼准则。称为夹逼准则。二、两个重要极限二、两个重要极限 证证故只讨论故只讨论x0+的情形的情形.如图如图,在单位圆中在单位圆中,AOB=x,BD=sinx,AC=tanx,因为因为 S AOB S扇形扇形AOB S AOC,所以所以由夹逼准则由夹逼准则,得得解解例例2 2 求求例例3 3 求求解解 解解:令令则则因此因此原式原式例例4 4.求求例例5 5.求求解解
3、:令令则则因此因此原式原式例例6 6 求求解解 例例22例例6 6可以作为公式使用可以作为公式使用.在使用公式在使用公式通过这些例子可以看到，通过这些例子可以看到，时，有三处必须一致，公式的时，有三处必须一致，公式的一般形式为一般形式为原式原式例例7 7.求求例例8 8.求求解解:解解:原式原式例例9 9 求求解：解：（2 2）这是一个非常重要的极限这是一个非常重要的极限.当当时，底数时，底数指数指数，称为，称为型极型极限限.若令若令，则，则时，时，可以得到此极限的另一个等价形式，可以得到此极限的另一个等价形式.此极限我们不予证明，此极限我们不予证明，从函数的图形中可以看出从函数的图形中可以看
4、出此极限存在。此极限存在。t3y左右两侧附近计算出一些点的对应函数值左右两侧附近计算出一些点的对应函数值列表观察函数极限值。列表观察函数极限值。我们在我们在t0-0.54.000000.52.25000-0.12.867970.12.25374-0.012.732000.012.70481-0.0012.719640.0012.71692-0.00012.718420.00012.71815-0.000012.718300.000012.71827-0.0000012.718280.0000012.71828从表中可以看出，当从表中可以看出，当时，时，可以证可以证明这个极限是无理数，将其记作明
5、这个极限是无理数，将其记作e e，.这样就有这样就有或或例例1111 求求解解 例例1212 求求解解 例例1313 求求解解 例例14 求求解解:原式原式=例例15 求求解解:原式原式=例例16 已知已知求求 c。解解:原式原式=作业作业P54 1(2),(4),(6),(8),(10);2(1),(2),(3),(4),(7).1.夹逼准则夹逼准则例例例例1.1.证明证明证明证明证证证证:由极限的定义可以看出，由极限的定义可以看出，由极限的定义可以看出，由极限的定义可以看出，利用夹逼准则即得利用夹逼准则即得利用夹逼准则即得利用夹逼准则即得一、夹逼准则一、夹逼准则(1)yn xn zn,(n=1,2,3)；准则准则I 如果数列如果数列xn,yn,zn满足满足 则数列则数列xn的极限存在的极限存在,且且