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1、五年级奥数 举一反三第十讲 数阵 填“幻方”是同学们比较熟悉的一种数学游戏，由幻方演变出来的数阵问题，也是一类比较常见的填数问题。这里，和同学们讨论一些数阵的填法。解答数阵问题通常用两种方法：一是待定数法，二是试验法。待定数法就是先用字母（或符号）表示满足条件的数，通过分析、计算来确定这些字母（或符号）应具备的条件，为解答数阵问题提供方向。试验法就是根据题中所给条件选准突破口，确定填数的可能范围。把分析推理和试验法结合起来，再由填数的可能情况，确定应填的数。一、知识要点【例题1】把5、6、7、8、9五个数分别填入下图的五个方格里，如图a使横行三个数的和与竖行三个数的和都是21。【思路导航】先把
2、五格方格中的数用字母A、B、C、D、E来表示，根据题意可知：ABCDE=35，AEBCED=212=42。把两式相比较可知，E=4235=7，即中间填7。然后再根据59=68便可把五个数填进方格，如图b。二、精讲精练【练习1】1，把110各数填入“六一”的10个空格里，使在同一直线上的各数的和都是12。2，把19各数填入“七一”的9个空格里，使在同一直线上的各数的和都是13。3，将17七个自然数分别填入图中的圆圈里，使每条线上三个数的和相等。【例题2】将514这十个数填入下图小圆中，使每个大圆上六个数的和是55。【思路导航】设中间两个圆中的数为a、b，则两个大圆的总和是56714ab=552，
3、即95ab=110，ab=15。在514这十个数中510=15，69=15，78=15。当a和b是5和10时，每个大圆上另外四个数分别是（8，9，11，12）和（6，7，13，14）；当a和b是6和9时，每个大圆上另外四个数分别为（7，8，12，13）和（5，10，11，14）；当a和b是7和8时，每个大圆上另外四个数分别为（5，10，12，13）和（6，9，11，14）。【练习2】1，把18八个数分别填入下图的内，使每个大圆上五个内数的和相等。2，把110这十个数分别填入下图的内，使每个四边形顶点的内四个数的和都相等，且和最大。3，将18八个数填入下图方格里，使上面四格、下面四格、左四格、右
4、四格、中间四格以及对角线四格内四个数的和都是18。【例题3】将16这六个数分别填入下图的圆中，使每条直线上三个圆内数的和相等、且最大。【思路导航】设中间三个圆内的数是a、b、c。因为计算三条线上的和时，a、b、c都被计算了两次，根据题意可知：123456（abc）除以3没有余数。123456=21，213=7没有余数，那么abc的和除以3也应该没有余数。在16六个数中，只有456的和最大，且除以3没有余数，因此a、b、c分别为4、5、6。（123456456）3=12，所以有上面的填法：【练习3】1，将16六个数分别填入下图的内，使每边上的三个内数的和相等。2，将19九个数分别填入下图内，使每
5、边上四个内数的和都是17.3，将18八个数分别填入下图的内，使每条安上三个数的和相等。【例题4】将17分别填入下图的7个内，使每条线段上三个内数的和相等。【思路导航】首先要确定中心圆内的数，设中心内的数是a，那么，三条线段上的总和是12345672a=282a，由于三条线段上的和相等，所以（282a）除以3应该没有余数。由于283=91，那么2a除以3应该余2，因此，a可以为1、4或7。当a=1时，（2821）31=9，即每条线段上其他两数的和是9，因此，有这样的填法。【练习4】1，将19填入下图的中，使横、竖行五个数相加的和都等于25。2，将111这十一个数分别填进下图的里，使每条线上3个内
6、的数的和相等。3，将18这八个数分别填入下图内，使外圆四个数的和，内圆四个数的和以及横行、竖行上四个数的和都等于18。【例题5】如下图(a)四个小三角形的顶点处有六个圆圈。如果在这些圆圈中分别填上六个质数，它们的和是20，而且每个小三角形三个顶点上的数的和相等。问这六个质数的积是多少？【思路导航】设每个小三角形三个顶点处内数的和为x。因为中间的小三角形顶点处的数在求和时都用了三次，所以，四个小三角形顶点处数的总和是4x=202x，解方程得x=10。由此可知，每个小三角形顶点处的三个质数的和是10，这三个质数只能是2、3、5。因此这6个质数的积是223355=900。如图（b）。【练习5】1，将九个不同的自然数填入下面方格中，使每行、每列、每条对角线上三个数的和都相等。2，将19九个自然数分别填入下图的九个小三角形中，使靠近大三角形每条边上五个数的和相等，并且尽可能大。这五个数之和最大是多少？3，将19九个数分别填入下图内，使外三角形边上内数之和等于里面三角形边上内数之和。