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1、 数学学科学生讲义 学生姓名： 年 级：高一年级 科目：数学 学科教师： 课题平面向量概念与运算授课类型基础知识典型例题巩固提升教学目标1. 平面向量概念；2. 相等向量与共线向量；3. 向量的加减、乘积运算。教学重难点1.相等向量与共线向量；2.向量的加减、乘积运算。授课日期及时段教学内容基础知识1、向量的概念有下列物理量：位移、路程、速度、速率、力、质量、密度，其中位移、速度、力都是既有大小又有方向的量路程、速率、质量、密度都是只有大小的量平面向量是既有大小又有方向的量，向量不能比较大小数量是只有大小没有方向的量，数量能比较大小2、向量的几何表示有向线段是带有方向的线段，通常在有向线段的终
2、点处画上箭头表示它的方向以A为起点，B为终点的有向线段记作起点要写在终点的前面有向线段包含三个要素起点、方向、长度向量的有向线段表示方法：向量常用带箭头的线段表示 ，它的长短表示向量的大小，箭头的指向表示向量的方向向量也可以用黑体的字母表示，如a，b，c.手写为。强调：箭头不能不写，否则表示数量向量的模: |(或|a|)表示向量(或a)的大小，即长度(也称模)，长度为零的向量称为零向量，记作0，长度等于1个单位的向量称为单位向量3、共线向量与相等向量平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，向量a与b平行，通常记作ab我们规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量a，都有0a相等向量是长
3、度相等且方向相同的向量，a与b相等，记作ab任意两个相等的非零向量，都可用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关共线向量：任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量，也就是说，共线向量的方向相同或相反若a与b共线，即a与b平行，记作ab4、向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则(1)交换律：(2)结合律：减法求与的相反向量的和的运算叫做与的差三角形法则数乘求实数与向量的积的运算；当0时，的方向与的方向相同；当0时，的方向与的方向相反；当0时，；5、向量加法的多边形法则多个向量相加，利用三角形法则，应首尾顺
4、次连接，表示从始点指向终点的向量，只关心始点、终点.6、向量（）与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使7、平面向量数量积的有关概念（1）向量的夹角：已知两个非零向量a和b，记a，b，则AOB(0180)叫做向量a与b的夹角.（2）数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则a与b的数量积(或内积)ab|a|b|cos.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0a0.（3）数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积（4）两个向量a，b的夹角为锐角ab0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角ab0且a，b不共线.8、平面向量数量积的运算律（
5、1）abba(交换律).（2）ab(ab)a(b)(结合律).（3）(ab)cacbc(分配律).9、平面向量数量积运算的常用公式（1）(ab)(ab)a2b2（2）(ab)2a22abb2（3）(ab)2a22abb2典型例题题型一 平面向量的基本概念例 1下列命题中正确的是( )A有相同起点的两个非零向量不平行B单位向量都相等C以坐标平面上的定点A为起点的所有单位向量的终点P的集合是以A为圆心的单位圆D共线向量一定在同一条直线上变式训练：1、下列说法中错误的是 ( )A有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段B若向量与不共线，则与都是非零向量C长度相等但方向相反的两个向量不一定
6、共线D方向相反的两个非零向量必不相等.题型二 共线向量与平行向量例 2若，则向量与向量( )A共线B不共线C共线且同向D不一定共线变式训练：2、如图所示，四边形ABCD和BCED都是平行四边形,（1）写出与相等的向量：（2）写出与共线的向量： 题型三 模的应用例 3设点O是三角形ABC所在平面上一点，若，则点O是三角形ABC的_心变式训练：3、如图所示，在圆O中，向量是()A 有相同起点的向量 B单位向量C模相等的向量D相等的向量题型四 相等向量例 4已知x,y是实数,向量不共线,若,则_,_.变式训练：4、如图，在四边形ABCD中，若，则图中相等的向量是( )A与B与C与D与题型五 平面向量
7、的加减法例 1如图，在平行四边形中，下列结论中错误的是（ ）ABCD变式训练：5、下列四式不能化简为的是（ ）ABCD题型六 数乘运算例 2若，为已知向量，且，则_.变式训练：6、化简：（1）；（2） ；（3）题型七 共线问题例 3在中，且，则_.变式训练：7、设是不共线的两个非零向量，己知，若三点共线，则的值为( )A1B2C-2D-1题型八 投影问题例 4已知为一个单位向量，与的夹角是.若在上的投影向量为，则_.变式训练：8、设向量满足，且，则向量在向量上的投影的数量为( )A1BCD题型九 数量积例 4已知向量，其中，且，则向量和的夹角是_变式训练：9、已知，为单位向量，且，则_题型十
8、向量与三角形例 5点是所在平面上一点，满足，则的形状是（ ）A等腰直角三角形B直角三角形C等腰三角形D等边三角形变式训练：10、在中，已知向量与满足且，则是( )A三边均不相同的三角形B直角三角形C等腰非等边三角形D等边三角形11、是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则点的轨迹一定经过的（ ）A外心B内心C重心D垂心12、已知O为内一点，若分别满足；(其中为中，角所对的边).则O依次是的( )A内心、重心、垂心、外心B外心、垂心、重心、内心C外心、内心、重心、垂心D内心、垂心、外心、重心巩固提升1设a0，b0分别是与a，b同向的单位向量，则下列结论中正确的是( )Aa0b0Ba0
9、b0C|a0|b0|2Da0b02设O是正方形ABCD的中心，则向量，是( )A相等向量B平行向量C有相同起点的向量D模相等的向量3若a为任一非零向量，b是模为1的向量，下列各式：|a|b|；ab；|a|0；|b|1，其中正确的有( )ABCD4下列命题中，正确的是()A|a|b|abB|a|b|abCababD|a|0a05如图，在四边形ABCD中，若，则图中相等的向量是()A与 B与 C与 D与6如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，图中与共线的向量有()A1个B2个C3个D4个7.在如图的方格纸(每个小方格边长为1)上，已知向量a.(1)试以B为起点画一个向量b，使ba.(2)画一个以
10、C为起点的向量c，使|c|2，并说出c的终点的轨迹8给出下列5个命题：若|a|b|，则ab；若，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；平行四边形ABCD中，一定有；若mn，nk，则mk；若ab，bc, 则ac.其中不正确的个数为()A2B3C4D59如图，四边形ABCD，CEFG，CGHD都是全等的菱形，则下列结论中不一定成立的是()A|B与共线C与共线D10.如图，已知两点A(4,0)，B(0，3)(1)求向量，的模，并指出|与|的关系(2)若C(x，y)，0，求x，y的值 11、如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则（ ）AB0CD12、在中，为的重心，为上一点，且满足，则（
11、 ）ABCD13、已知，均为单位向量，它们的夹角为，那么等于（ ）ABCD414、已知，且，则向量与向量的夹角为（ ）ABCD15、已知平面向量满足与的夹角为，且，则实数的值为（ ）ABCD16、已知为单位向量，且满足，与的夹角为，则实数_.17、在中，设，则动点M的轨迹必通过的（ ）A垂心B内心C重心D外心18、已知向量，且（1）求，；（2）求与的夹角及与的夹角19、设、满足，且与的夹角为，求：（1）；（2）；（3）.20、已知，.（1）求与的夹角；（2）求.21、已知向量，满足，且，的夹角为.（1）求；（2）若，求实数的值.22、已知与的夹角为120（1）求与的值；（2）x为何值时，与垂直？13 学科网（北京）股份有限公司