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1、随机事件的概率随机事件的概率 研究随机现象，不仅关心试验中会出研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是事件的概率的可能性大小，也就是事件的概率.概率是随机事件概率是随机事件发生可能性大小发生可能性大小的度量的度量 事件发生的可能性事件发生的可能性越大，概率就越大，概率就越大！越大！例如，了解发生意外人身事故的例如，了解发生意外人身事故的可能性大小可能性大小,确定保险金额确定保险金额.了解来商场购物的顾客人数的各种了解来商场购物的顾客人数的各种可能性大小，合理配置服务人员可能性大小，合理配置服务人员.了解每年最大
2、洪水超警戒线可能性大了解每年最大洪水超警戒线可能性大小，合理确定堤坝高度小，合理确定堤坝高度.一、频率及其性质一、频率及其性质定义定义次数为次数为频率频率.若在相同条件下进行若在相同条件下进行 次试验，次试验，其中其中 发生的发生的则称则称为事件为事件 发生的发生的历史上著名的投掷硬币试验记录历史上著名的投掷硬币试验记录0.51810.50690.50160.500610612048601912012204840401200024000De MorganBuffonPearonPearon正面频率正面频率(/n)正面次数正面次数()投掷次数投掷次数(n)试验者试验者试验表明试验表明：虽然每次投
3、掷硬币事先无法准确预虽然每次投掷硬币事先无法准确预知出现正面还是反面，知出现正面还是反面，但大量重复试验时，但大量重复试验时，发现出现发现出现正面和反面的次数大致相等，正面和反面的次数大致相等，即各占总试验次数的比即各占总试验次数的比例大致为例大致为0.5，并且随着试验次数的增加，并且随着试验次数的增加，这一比例这一比例更加稳定的趋于更加稳定的趋于0.5.在充分多次试验中，事件的频率总在一个在充分多次试验中，事件的频率总在一个定值附近摆动，而且，试验次数越多，定值附近摆动，而且，试验次数越多，一般来一般来说说摆动越小摆动越小.这个性质叫做这个性质叫做频率的稳定性频率的稳定性.例例1检查某工厂一
4、批产品的质量检查某工厂一批产品的质量,从中分别抽取从中分别抽取10件、件、100件、件、20件、件、200件、件、150件、件、50件、件、300件检查件检查,检查结果及次品出现的频率列如下表检查结果及次品出现的频率列如下表.10205010015020030001357111600.0500.0600.0500.0470.0550.053由上表可以看出由上表可以看出,在抽出的在抽出的件产品中件产品中,次品数次品数随着随着的不同而取不同值的不同而取不同值,但次品频率但次品频率仅在仅在0.05 附近有微小变化附近有微小变化.这里这里 0.05 就是次品频率的就是次品频率的稳定值稳定值.抽取产品总
5、件数抽取产品总件数次品数次品数次品频率次品频率 频率在一定程度上反映了事件发生的频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大小可能性大小.因此，因此，概率是可以通过频率来概率是可以通过频率来“测量测量”的的,频率是概率的一个近似频率是概率的一个近似.概率的统计定义概率的统计定义定义定义在相同条件下进行在相同条件下进行n次重复试验次重复试验,若事件若事件A发生的频率发生的频率 随着试验次数随着试验次数n的增大而的增大而稳定地在某个常数稳定地在某个常数P附近摆动附近摆动,则称则称P为事件为事件A的的概率，概率，记为记为P(A).概率被视为频率的稳定值概率被视为频率的稳定值,从而应具有与频率相应的从而应
6、具有与频率相应的性质性质:1.2.3.设设是两两不相容的事件是两两不相容的事件,则则 例例如如，若若我我们们希希望望知知道道某某射射手手中中靶靶的的概概率率，应应对对这这个个射射手手在在同同样样条条件件下下大大量量射击情况进行观察记录射击情况进行观察记录.若他射击若他射击n发，中靶发，中靶m发，当发，当n很大时，可很大时，可用用频率频率m/n作为他中作为他中靶概率的估计靶概率的估计.例例从某鱼池中取从某鱼池中取 100 条鱼条鱼,做上记号后再放入做上记号后再放入该鱼池中该鱼池中.先从该池中任意捉来先从该池中任意捉来 40 条鱼条鱼,发现其发现其中两条有记号中两条有记号,问池内大约有多少条鱼问池
7、内大约有多少条鱼?解解 设池内有设池内有条鱼条鱼,则从池中捉到一条有记号鱼则从池中捉到一条有记号鱼的概率为的概率为它近似于捉到有记号鱼的频率它近似于捉到有记号鱼的频率即即故池内大约有故池内大约有2000条鱼条鱼.古典概型古典概型 我我们们首首先先引引入入的的计计算算概概率率的的数数学学模模型型，是是在在概概率率论论的的发发展展过过程程中中最最早早出出现现的的研研究究对象，通常称为对象，通常称为古典概型古典概型2 3479108615一个袋子中装有一个袋子中装有10个大小、个大小、形状完全相同的球形状完全相同的球.将球将球编号为编号为110.把球搅匀，把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球蒙上眼睛，从
8、中任取一球.因为抽取时这些球是因为抽取时这些球是完全平等的，我们没有理完全平等的，我们没有理由认为由认为10个球中的某一个个球中的某一个会比另一个更容易取得会比另一个更容易取得.也就是说，也就是说，10个球中的任个球中的任一个被取出的机会是相等一个被取出的机会是相等的，均为的，均为1/10.1324 5 6 7 8 9 1010个球中的任一个被取个球中的任一个被取出的机会都是出的机会都是1/102 3479108615 我们用我们用 i 表示取到表示取到 i号球，号球，i=1,2,10.称这样一类随机试验称这样一类随机试验为为古典概型古典概型.34791086152且每个样本点且每个样本点(或
9、者说或者说基本事件基本事件)出现的可能出现的可能性相同性相同.S=1,2,10,则该试验的样本空间则该试验的样本空间如如i=2 称这种试验模型为称这种试验模型为等可能概型等可能概型 或或古典概型古典概型.定义定义 若随机试验满足下述两个条件：若随机试验满足下述两个条件：(1)它的样本空间只有有限多个样本点；它的样本空间只有有限多个样本点；(2)每个样本点出现的可能性相同每个样本点出现的可能性相同.则事件则事件A发生的概率发生的概率称此概率为称此概率为古典概率古典概率,这种确定概率的方法称为这种确定概率的方法称为古典方法古典方法.这就把求古典概率的问题转化为对基这就把求古典概率的问题转化为对基本
10、事件的计数问题本事件的计数问题.二、古典概型中事件概率的计算二、古典概型中事件概率的计算若记若记 A=摸到摸到2号球号球 P(A)=?P(A)=1/10记记 B=摸到红球摸到红球 P(B)=?P(B)=6/10 22 34791086151324 5 6基本计数原理基本计数原理1.加法原理加法原理设完成一件事有设完成一件事有m种方式，种方式，第一种方式有第一种方式有n1种方法，种方法，第二种方式有第二种方式有n2种方法种方法,；第第m种方式有种方式有nm种方法种方法,无论通过哪种方法都可以无论通过哪种方法都可以完成这件事，完成这件事，则完成这件事总共则完成这件事总共有有n1+n2+nm 种方法
11、种方法.例如，某人要从甲地到乙地去例如，某人要从甲地到乙地去,甲地甲地乙地乙地可以乘火车可以乘火车,也可以乘轮船也可以乘轮船.火车有两班火车有两班轮船有三班轮船有三班乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法?3+2 种方法种方法回答是回答是基本计数原理基本计数原理则完成这件事共有则完成这件事共有种不同的方法种不同的方法.2.乘法原理乘法原理设完成一件事有设完成一件事有m个步骤，个步骤，第一个步骤有第一个步骤有n1种方法，种方法，第二个步骤有第二个步骤有n2种方法种方法,；第第m个步骤有个步骤有nm种方法种方法,必须通过每一步骤必须通过每一步骤,才算完成这件事
12、，才算完成这件事，例如，若一个人有三顶帽子和两件背例如，若一个人有三顶帽子和两件背心，问他可以有多少种打扮？心，问他可以有多少种打扮？可以有可以有 种打扮种打扮 加法原理和乘法原理是两个很重要加法原理和乘法原理是两个很重要计数原理，它们不但可以直接解决不少计数原理，它们不但可以直接解决不少具体问题，同时也是推导下面常用排列具体问题，同时也是推导下面常用排列组合公式的基础组合公式的基础.k=n时称全排列时称全排列排列、组合的几个简单公式排列、组合的几个简单公式1、排列、排列:从从n个不同元素取个不同元素取 k个个（1 k n)的不同排列总数为：的不同排列总数为：2、组合、组合:从从n个不同元素取
13、个不同元素取 k个个（1 k n)的不同组合总数为：的不同组合总数为：有时记作有时记作,称为称为组合系数组合系数.排列和组合的区别排列和组合的区别:顺序不同的排列视为不同的排列顺序不同的排列视为不同的排列,而组合与顺而组合与顺序无关序无关.例如例如,从从5个球中任取个球中任取3个的取法共有多少种个的取法共有多少种?答答:共有共有种取法种取法.又如又如,1至至5五个数字可组成多少个没有重复数字的五个数字可组成多少个没有重复数字的位数位数?答答:总共可以组成总共可以组成个没有重复数字的三个没有重复数字的三位数位数.例例掷一颗匀称骰子掷一颗匀称骰子,或五点或五点”,设设表示所掷结果为表示所掷结果为“
14、四点四点表示所掷结果为表示所掷结果为“偶数点偶数点”,求求和和解解得得例例一个袋子中装有一个袋子中装有 10 个大小相同的球个大小相同的球,其中其中 3个黑球个黑球,7 个白球个白球,求求:(1)从袋子中任取一球从袋子中任取一球,这个球是黑球的概率这个球是黑球的概率;(2)从袋子中任取两球从袋子中任取两球,刚好一个白球一个黑球的刚好一个白球一个黑球的概率概率(1)解解10 个球中任取一个个球中任取一个,共有共有种种.从从而根据古典概率计算而根据古典概率计算,事件事件“取到的球为黑球取到的球为黑球”的概率为的概率为以及两个球全是黑球的概率以及两个球全是黑球的概率.例例2一个袋子中装有一个袋子中装
15、有 10 个大小相同的球个大小相同的球,其中其中 3个黑球个黑球,7 个白球个白球,求求:(2)从袋子中任取两球从袋子中任取两球,刚好一个白球一个黑球的刚好一个白球一个黑球的概率概率解解以及两个球全是黑球的概率以及两个球全是黑球的概率.(2)10 个球中任取两球的取法有个球中任取两球的取法有种种,其中其中刚好一个白球刚好一个白球,一个黑球的取法有一个黑球的取法有种取法种取法,两个球均是黑球的取法有两个球均是黑球的取法有种种,记记为为好取到一个白球一个黑球好取到一个白球一个黑球”,为为为黑球为黑球”,则则事件事件“刚刚事件事件“两个球均两个球均解解(2)10 个球中任取两球的取法有个球中任取两球
16、的取法有种种,其中其中刚好一个白球刚好一个白球,一个黑球的取法有一个黑球的取法有种取法种取法,两个球均是黑球的取法有两个球均是黑球的取法有种种,记记为事件为事件好取到一个白球一个黑球好取到一个白球一个黑球”,为事件为事件为黑球为黑球”,则则“刚刚“两个球均两个球均例例求下列各事件的概率求下列各事件的概率:将标号为将标号为1,2,3,4 的四个球的四个球随意地排成一行随意地排成一行,(1)(3)(2)各球自左至右或自右至左各球自左至右或自右至左顺序顺序;第第1号球排在最右边或最左边号球排在最右边或最左边;第第1号球与第号球与第2号球相邻号球相邻;1,2,3,4 的的恰好排成恰好排成解解 将将4个
17、球随意地排成一行有个球随意地排成一行有4!=24种排法种排法,基本事件总数为基本事件总数为 24.记记(1),(2),(3),(4)的事件的事件别为别为即即分分(2)(1)中有两种排法中有两种排法,故有故有中有中有种排法种排法,故有故有(3)先将第先将第1,2号球排在任意相邻两个位置号球排在任意相邻两个位置,共有共有种排法种排法,其余两个球可在其余两个位置任意排其余两个球可在其余两个位置任意排放放,共有共有2!种排法种排法,因而因而有有种排法种排法,故故例例4将将 3 个球随即放入个球随即放入 4 个杯子中个杯子中,问杯子中问杯子中的个数最多为的个数最多为1,2,3的概率各是多少的概率各是多少
18、?解解设设分别表示分别表示1,2,3的事件的事件.我们认为球是可以区分的我们认为球是可以区分的,于是于是,球过程的所有可能结果数为球过程的所有可能结果数为(1)所含的基本事件数所含的基本事件数:即是从即是从 4 个杯子中任选个杯子中任选3个杯子个杯子,每个杯子放入一个球每个杯子放入一个球,杯子的选法有杯子的选法有种种,球的放法有球的放法有 3!种种,故故放放球球杯子中的最多球数分别为杯子中的最多球数分别为解解(2)所含的基本事件数所含的基本事件数:由于杯子中的最由于杯子中的最多球数是多球数是 3,即即 3 个球放在同一个杯子中个球放在同一个杯子中故故种放法种放法,共有共有 4(3)由于三个球放
19、在由于三个球放在 4 个杯子中个杯子中为为显然显然且且互不相容互不相容,故故的各种可能放法的各种可能放法事件事件概率的性质概率的性质性质性质1性质性质2(有限可加性有限可加性)设设是两两不相是两两不相容的事件，容的事件，则有则有性质性质3性质性质4特别地，特别地，若若则则(1)(2)性质性质5对任一事件对任一事件A，性质性质6注注：性质性质6可推广到任意有限个事件的并的情形可推广到任意有限个事件的并的情形.例如例如,例例已知已知求求(1)(2)(3)(4)解解(1)因为因为且且与与是不是不相容的相容的,故有故有于是于是(2)例例已知已知求求(3)(4)解解(3)(4)完完例例 6 某城市中发行某城市中发行 2 种报纸种报纸经调查经调查,在这在这2 种报纸的订户中种报纸的订户中,订阅订阅报的有报的有45%,订阅订阅报的有报的有35%,同时订阅同时订阅 2 种报纸种报纸的有的有 10%,求只订一种报纸的概率求只订一种报纸的概率解解记事件记事件则则只订一种报只订一种报又这两件事是互不相容的又这两件事是互不相容的,由概率加法公式及性由概率加法公式及性质质 4,有有