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1、第三章第三章时域分析法时域分析法v 建立起系统的数学模型之后，下一步就是对系统的控制 性能进行全面的分析和计算。v 常用的方法:时域分析法，根轨迹法，频率法时域分析法，根轨迹法，频率法。v 时域分析法是最基础、最常用的方法。第一节第一节典型控制过程及性能指标典型控制过程及性能指标 系统的响应C(t)取决于：参数结构,外作用,初始条件。为了描述系统的内部特征，分析和比较系统性能的优劣，通常对外作用和初始条件做一些典型化处理。处理的 原则是：接近实际，简单。第一节第一节典型控制过程及性能指标典型控制过程及性能指标一、典型初始状态零状态零状态。C(0)=(0)=0 系统的输出及其各阶导数在初始时刻均
2、为零。初始时刻可以设定，所以该约束并不苛刻。二、典型外作用二、典型外作用1单位阶跃单位阶跃 指令的突然转换,开关闭合,负荷突变。2单位斜坡单位斜坡主拖动系统发出的位置信号,数控机床加工斜面时的给进指令。3单位脉冲单位脉冲脉动电压、冲击力。4正弦正弦海浪、噪声、伺服震动台。所有外作用都可以近似成典型外作用或典型外作用的集合.三、典型时间响应三、典型时间响应初始状态为零的系统，在典型外作用下的输出。1单位阶跃响应单位阶跃响应 H(S)=G(S)/S h(t)=L-1H(S)2单位斜坡响应单位斜坡响应Ct(S)=G(S)/S2 Ct(t)=L-1Ct(S)3单位脉冲响应单位脉冲响应 K(S)=G(S
3、)k(t)=L-1K(S)4三种响应之间的关系 K(S)=SH(S)=S2Ct(S)第一节第一节典型控制过程及性能指标典型控制过程及性能指标四、阶跃响应的性能指标 跟踪和复现阶跃作用对系统来说是较为严格的工作条件，通常以阶跃响应来衡量系统控制性能的优劣和定义时域性能指标。阶跃响应的性能指标阶跃响应的性能指标1.上升时间上升时间t td d h(t)从0上升到稳态值所需的 时间。2峰值时间峰值时间t tp p h（t）超过稳态值而达到第 一个峰值所需的时间。阶跃响应的性能指标阶跃响应的性能指标 3超调量超调量%h（tp）-h（）%=100%h（）4调节时间调节时间(过渡过程时间过渡过程时间)t
4、tS S h(t)达到并不再超出误差带的最小时间。5稳态误差稳态误差e eSSSS eSS=1-h（）阶跃响应的性能指标阶跃响应的性能指标 上升时间td 和峰值时间tp 表征系统响应初始阶段的快慢,调节时间ts表征系统过渡过程持续的时间，总体上反映了系统的快速性。超调量%反映系统的平稳性。稳态误差eSS反映系统的最终控制精度。第二节第二节一阶系统分析一阶系统分析一阶系统的微分方程：T dC(t)/dt+C(t)=r(t)一阶系统的传递函数：1 G(S)=-(TS+1)T时间常数,表征系统的惯性，尽管物理意义不同，但总具有“秒”的量纲。一、一、一阶系统的单位阶跃响应一阶系统的单位阶跃响应H(S)
5、=G(S)R(S)=1/S(TS+1)h(t)=L-1H(S)=L-11/S(TS+1)=1-e-t/TT是表征响应特性的唯一参数。关于时间常数关于时间常数Th(t)=1-e-t/Tt=T，h(T)=0.632 t=2T，h(2T)=0.865 t=3T，h(3T)=0.950 t=4T，h(4T)=0.982 用实验方法鉴别和确定被测系统是否为一阶系统。时间常数的倒数=响应曲线的初始斜率。dh(t)/dtt=0=(1/T)e-t/Tt=0 =1/T一阶系统的性能指标一阶系统的性能指标调节时间:tS=3T（秒）（对应5%误差带）h(3T)=0.950 tS=4T（秒）（对应2%误差带）h(4T
6、)=0.982 T越小 tS越小 快速性越好。稳态误差:eSS=1-h（）=0 一阶系统在单位阶跃输入下的稳态误差为0。二、一阶系统的单位斜坡响应二、一阶系统的单位斜坡响应Ct(S)=G(S)R(S)=1/(TS+1)S2Ct(t)=L-1Ct(S)=t-T+e-t/T稳态误差:eSS=T 一阶系统在单位斜坡输入下的稳态误差为T。它只能通过减小时间常数T来减小，而不能最终消除。三、一阶系统的单位脉冲响应三、一阶系统的单位脉冲响应K（S）=G（S）R（S）=1/（TS+1）k（t）=L-1K（S）=e-t/T/TT越小 响应的持续时间越短 快速性越好。四、三种响应之间的关系四、三种响应之间的关系
7、(t)=d/dt u(t)=d2/dt2 r(t)k(t)=d/dt h(t)=d2/dt2 Ct(t)系统对输入信号导数的响应，等于系统对该输入信号响应的导数。第三节第三节二阶系统分析二阶系统分析微分方程微分方程：T2dC2(t)/dt2+2TdC(t)/dt+C(t)=r(t)传递函数传递函数：G(S)=1/(T2S2+2TS+1)=Wn2/(S2+2WnS+Wn2)其中:Wn=1/T自然频率,阻尼比。特征方程特征方程：S2+2WnS+Wn2=0第三节第三节二阶系统分析二阶系统分析特征根：S1,2=-Wn Wn(2-1)1/2 1,S1,2不等负实根（过阻尼）=1,S1,2重根（临界阻尼）
8、01（过阻尼）S1,2不等负实根,特征方程可写成:S2+2WnS+Wn2=(S+1/T1)(S+1/T2)=0 其中:T1=1/Wn-(2-1)1/2 T2=1/Wn+(2-1)1/2 且:Wn2=1/T1T2 1/T1T2 1 G(S)=-=-(S+1/T1)(S+1/T2)(T1S+1)(T2S+1)可看成是两个时间常数不等的惯性环节的串联.过阻尼过阻尼二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应 H(S)=G(S)R(S)1 =-(T1S+1)(T2S+1)S过阻尼二阶系统的单位阶跃响应 e-t/T1 e-t/T2h(t)=1+-+-T2/T1-1 T1/T2-1响应是非振荡的,又不同于
9、一阶系统(两个惯性环节串联).过阻尼过阻尼二阶系统的性能指标二阶系统的性能指标td,tp,%无意义,ess=0ts表达式太繁,近似式为:当T1=T2(=1)时,ts 4.75T1 当T1=4T2(=1.25)时,ts 3.3T1 当T14T2(1.25)时,ts 3T1 系统的一个负实根(1/T2)比另一个(1/T1)大4倍以上,等效为一个一阶系统.欠阻尼欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应201（欠阻尼）S1,2=-WnjWn(1-2)1/2H(S)=G(S)R(S)=Wn2/(S+S1)(S+S2)S e Wnt h(t)=1-sin（wdt+）（1-2)1/2 其中：Wd=
10、Wn(1-2)1/2 有阻尼的自然振荡频率=COS-1 欠阻尼欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应 eWnt h(t)=1-sin(wdt+)(1-2)1/2 衰减速度：e-Wnt.Wn越小，衰减速度越慢。振荡频率：Wd=Wn(1-2)1/2.Wn越大,越小,振荡频率越高.欠阻尼欠阻尼二阶系统的性能指标二阶系统的性能指标1上升时间tr 由定义,h(tr)=1,即:e-Wntr1-sin（wdtr+）=1(1-2)1/2 sin（wdtr+）=0wdtr+=n 第一次稳态 n=1tr=（-）/wd欠阻尼欠阻尼二阶系统的性能指标二阶系统的性能指标上升时间定性分析:tr=（-）/wd
11、wnwd=wn(1-2)1/2 tr =COS-1tr 上升时间越小,快速性越好.欠阻尼欠阻尼二阶系统的性能指标二阶系统的性能指标2.峰值时间tp 由定义,令:dh(t)/dtt=tp=0 解出t即为tp.(第一次峰值)欠阻尼欠阻尼二阶系统的性能指标二阶系统的性能指标eWnth(t)=1-sin（wdt+）（1-2)1/2对h(t)求导并令其得0:Wn(1-2)-1/2e-Wntpsin(wdtp+)-wd(1-2)-1/2eWntpcos(wdtp+)=0经整理得:tg(wdtp+)=(1-2)1/2/=tg即:wdtp=n欠阻尼欠阻尼二阶系统的性能指标二阶系统的性能指标第一次峰值:n=1所
12、以:tp=/wd峰值时间定性分析 wnwd=wn(1-2)1/2 tp wd=wn(1-2)1/2 tp 峰值时间越小,快速性越好.欠阻尼欠阻尼二阶系统的性能指标二阶系统的性能指标3.超调量%h（tp）-h（）%=*100%h（）由h(t)求出h(tp)和h(),代入定义式即得.欠阻尼欠阻尼二阶系统的性能指标二阶系统的性能指标h(tp)=1-(1-2)-1/2eWntp sin(wdtp+)=1-(1-2)-1/2eWntp sin(+)=1+(1-2)-1/2eWntp sin =1+(1-2)-1/2eWntp wn(1-2)1/2/wn 21/2=1+e-/(1-)h()=121/2%=
13、e-/(1-)*100%欠阻尼欠阻尼二阶系统的性能指标二阶系统的性能指标超调量%的定性分析21/2%=e-/(1-)*100%由唯一确定。=0%=100%等幅振荡（无阻尼）0 1 欠阻尼（有超调）=0.707(最佳阻尼比)%=4.6%=1（临界阻尼）%=0(无超调)欠阻尼欠阻尼二阶系统的性能指标二阶系统的性能指标4调节时间tS tS 定义:h(t)-h()h（）；ttS 其中：=5%(或=2%)由此定义可推导出调节时间的计算公式.欠阻尼欠阻尼二阶系统的性能指标二阶系统的性能指标h(t)=1-（1-2)-1/2eWntsin(wdt+)h()=1(1-2)-1/2eWntsin(wdt+)；tt
14、S（1-2)-1/2e-Wnt是h(t)衰减振荡的包络(1-2)-1/2e-Wnt；ttSe-Wnt（1-2)1/2；ttS-Wntln（1-2)1/2；ttSWntln（1-2)1/2-1；ttStS=ln（1-2)1/2-1/Wn欠阻尼欠阻尼二阶系统的性能指标二阶系统的性能指标若：=2%则：tS=ln0.02（1-2)1/2-1/Wn4/Wn定性分析:,Wn越大,调节时间越小,快速性越好。若：=5%则：tS=ln0.05（1-2)1/2-1/Wn3/Wn欠阻尼欠阻尼二阶系统的性能指标二阶系统的性能指标5稳态误差eSSe（t）=r（t）-c（t）=(1-2)-1/2 eWntsin(wdt+
15、)eSS=lim e(t)=0 t 稳态误差与参数,Wn无关，等于0。二二.二阶系统的单位脉冲响应二阶系统的单位脉冲响应K(S)=G(S)R(S)=Wn2/(S2+2WnS+Wn2)欠阻尼：k(t)=Wn(1-2)-1/2 e-Wnt sin Wn(1-2)1/2 t 无阻尼：k(t)=Wn sin Wn t二二.二阶系统的单位脉冲响应二阶系统的单位脉冲响应临界阻尼：k(t)=Wn2 t e-Wnt 过阻尼：2 -1/2 2 -1/2 k(t)=Wn(1-2)-1/2e-(-1)Wnt-e-+(-1)Wnt 二二.二阶系统的单位脉冲响应二阶系统的单位脉冲响应主要讨论欠阻尼系统1.最大值时间t:
16、令:dk(t)/dt|t=t=0 tg-1(1-2)1/2/得:t=-wn(1-2)1/2 t二二.二阶系统的单位脉冲响应二阶系统的单位脉冲响应2.单位阶跃响应超调量:%=h(tp)-h()*100%/h()=h(tp)1%+1=h(tp)又单位阶跃响应是单位脉冲响应的积分 所以：由t=0 到 t=tp(t)间,单位脉冲响应曲线与横轴所包围的面积等于1+%.即:%=k(t)dt-1 三二阶系统的单位斜坡响应三二阶系统的单位斜坡响应只讨论欠阻尼情况 C(S)=Wn2/(S2+2WnS+Wn2)S2Ct(t)=t-2/Wn+eWnt(1-2)-1/2 sin(wdt+2)/Wn三二阶系统的单位斜坡
17、响应三二阶系统的单位斜坡响应稳态误差:e(t)=r(t)-c(t)=2/Wn-e-Wnt(1-2)-1/2sin(wdt+2)/Wn ess=2/Wn 只能减小,不能消除。eSS，但会使%，平稳性变差。eSS(稳态精度)与%(平稳性)矛盾。四、改善二阶系统响应特性的措施四、改善二阶系统响应特性的措施1 误差信号的比例-微分控制 （PD控制）G(S)=C(S)/R(S)Wn2(1+TdS)=S2+(2Wn+TdWn2)S+Wn2四、改善二阶系统响应特性的措施四、改善二阶系统响应特性的措施 Wn2(1+TdS)G(S)=S2+(2Wn+TdWn2)S+Wn2 特征方程S一次项系数：2Wn+TdWn
18、2=2Wn(+TdWn/2)等效阻尼比：d=+TdWn/2 阻尼比变大，%下降，平稳性变好；稳态时微分项不起作用，eSS不受影响。解决了eSS（稳态精度）与%（平稳性）的矛盾。四、改善二阶系统响应特性的措施四、改善二阶系统响应特性的措施n比例微分控制可由RC网络或运算放大器来近似实现四、改善二阶系统响应特性的措施四、改善二阶系统响应特性的措施2输出量的速度反馈控制 G(S)=C(S)/R(S)Wn2 =S2+(2Wn+KtWn2)S+Wn2四、改善二阶系统响应特性的措施四、改善二阶系统响应特性的措施Wn2G(S)=S2+(2Wn+KtWn2)S+Wn2特征方程S一次项系数：2Wn+KtWn2
19、等效阻尼比：t=+KtWn/2 阻尼比变大，%下降，平稳性变好 KtS同样对稳态量eSS不起作用 解决了eSS（(稳态精度）与%（平稳性）的矛盾。第四节第四节高阶系统分析高阶系统分析一.三阶系统的单位阶跃响应 Wn2S0 G(S)=-(S+S0)(S2+2WnS+Wn2)S0-闭环负实数极点 当1时 h(t)=1Ae-s0t-Ae-Wnt BcosWn(1-2)-1/2t +CsinWn(1-2)-1/2t 三阶系统的单位阶跃响应三阶系统的单位阶跃响应其中:A=f(b),B=g(b),C=h(b)S0 实数极点 b=-=-Wn 共轭极点实部随着实数极点向虚轴方向移动(b值下降),超调量下降,上
20、升时间和调节时间加长.b1,三阶系统呈明显的过阻尼特性b b二高阶系统的单位阶跃响应二高阶系统的单位阶跃响应K(S Zi)Zi-闭环零点 GB(S)=-(S Si)i-闭环极点 K(S Zi)1 H(S)=-(S Si)(S2+2kWk+Wk2)S 实数极点 共轭复数极点h(t)=A0+Aje-sjt+Bke-kWktcos(Wk(1-k2)-1/2t+DKe-kWktsin(Wk(1-k2)-1/2t高阶系统的单位阶跃响应高阶系统的单位阶跃响应h(t)=A0+Aje-sjt+Bke-kWktcos(Wk(1-k2)-1/2t+DKe-kWktsin(Wk(1-k2)-1/2t由一阶系统和二阶
21、系统的时间响应函数项组成.如所有闭环极点(S0 和Wn)都具有负实部,则所有指数项和阻尼正弦(余弦)项均趋于0.闭环极点负实部的绝对值越大,对应的响应分量衰减越快,对动态过程的影响越小.h(t)不仅与闭环极点有关,也与闭环零点有关(系数A,B,D).三三.闭环主导极点闭环主导极点 离虚轴最近的,对系统性能起主要作用的闭环极点-闭环主导极点.实部与闭环主导极点相差6(3)倍以上的闭环极点-闭环非主导极点.高阶系统通过主导极点近似成二阶(或一阶)系统.应用主导极点的概念可以导出高阶系统单位阶跃响应的近似表达式.闭环主导极点闭环主导极点设:单位反馈高阶系统具有一对共轭复数闭环主导极点 S1,2=-j
22、Wd则可得高阶系统单位阶跃响应的近似表达式为:M(s1)M(s1)h(t)=1+2-e-tcoswdt+arg-s1(s1)s1(s1)其中:D(S)-特征方程(s1)=dD(s)/ds四四.高阶系统的动态性能估算高阶系统的动态性能估算1.峰值时间1mntp=-arg(s1zi)+arg(s1si)wdi=1i=3高阶系统的动态性能估算高阶系统的动态性能估算几点结论:.闭环零点的作用是减小峰值时间,越接近虚轴,作 用越明显.闭环非主导极点的作用是增大峰值时间.若闭环零点和极点彼此接近,则它们的影响相互抵消.若系统不存在闭环零点和闭环非主导极点,则 tp=/wd 高阶系统的动态性能估算高阶系统的
23、动态性能估算2.超调量%=P Q e-tp 100%其中:n n P=si/s1-si 闭环非主导极点影响修正系数 i=3 i=3 m m Q=s1-zi/zi 闭环零点影响修正系数 i=1 i=1高阶系统的动态性能估算高阶系统的动态性能估算几点结论：.闭环零点靠近虚轴,Q增大,%增大,减小阻尼.闭环非主导极点靠近虚轴,P减小,%减小,增大阻尼.不存在闭环零点和闭环非主导极点,则有:P=Q=1,%=e-tp*100%=Wn,tp=/wd 2 -1/2%=e-/(1-)*100%高阶系统的动态性能估算高阶系统的动态性能估算3.调节时间 12ts=-ln(-FQ)Wnnn其中:F=si/s1-si
24、i=2i=2mmQ=s1-zi/zii=1i=1高阶系统的动态性能估算高阶系统的动态性能估算几点结论：.闭环零点距靠近虚轴,Q增大,调节时间长.闭环非主导极点靠近虚轴,F减小,调节时间短.第五节第五节应用计算机求取系统的响应应用计算机求取系统的响应控制系统计算机输助设计:利用计算机帮助设计人员应用控制理论设计控制系统。用计算机进行数字仿真:控制系统计算机辅助设计的一种手段。数字仿真:根据性能相似原理构成系统的仿真模型，然后用计算机求取系统响应（解微分方程），检验设计结果是否满足给定的性能指标。连续系统数字仿真常用算法连续系统数字仿真常用算法1常微分方程的解析算法 虽精确，但程序繁琐，计算费时。
25、2常微分方程的数值积分算法 主要讨论。3离散相似法（又称状态转移矩阵法）适应于非线性系统。数值积分法解常微分方程的基本思路数值积分法解常微分方程的基本思路用一阶微分方程组（即状态方程）表示系统的高阶微分程，将时间离散化，使其成为一系列相等（也可以不相等）的时间间隔，在已知前一时刻的状态向量值的情况下，按照给定的步长，估算下一时刻的状态向量值。合理选择数值计算方法合理选择数值计算方法1所要求的准确度它依赖于积分每一步所引起的截断 误差和舍入误差及其以后的传播。2每一步估计误差的容易程度。3完成计算的速度。4编制程序的容易程度。欧拉法欧拉法Xn+1=xn+h f(xn,tn)其中:f(x,t)=d
26、x/dt h=t1-t0 (步长)特点:简单,粗糙,误差积累.截断误差:欧拉法公式就是精确解(泰勒公式)截去第三项及其以后各项而得到的近似公式。这样引起的误差称为截断误差。欧拉法的截断误差可以表示为O(h2)。当某一数值方法的截断误差等于(h p+1)时，即称其具有p阶精度。所以欧拉法为一阶精度。预报预报-校正法校正法 Xn+1=xn+h f(xn,tn)+f(x(1)n+1,tn+1)/2 其中:x(1)n+1=xn+h f(xn,tn)例：X2=x1+h*f(x1,t1)/2+h*f(x(1)2,t2)/2 改进了的欧拉法.提高了准确度.截断误差:O(h3)龙格龙格-库塔法库塔法 Xn+1
27、=xn+h(k1+2k2+2k3+k4/6 其中:k1=f(xn,tn)k2=f(xn+hk1/2,tn+h/2)k3=f(xn+k2/2,tn+h/2)k4=f(xn+k3,tn+h)第四节第四节稳定性与代数判据稳定性与代数判据一、稳定概念如系统受扰，偏离原来的平衡状态，而当扰动取消后，系统又能逐渐恢复到原来的状态，则称系统是稳定的，否则称系统是不稳定的。稳定性是系统的一种固有特性（去掉扰动后自身的一种恢复能力），只取决于系统的结构参数，与初始条件及外作用无关。二、稳定的数学条件及定义二、稳定的数学条件及定义系统的微方：a0dnC(t)/dtn+anC(t)=b0 dmr(t)/dtm+bm
28、r(t)拉氏变换后：(a0Sn+an)C(S)=(b0Sm+bm)R(S)+M0(S)其中：M0(S)与初始条件有关的多项式 D(S)=a0Sn+an D(S)=0 特征方程M(S)=b0Sm+bm二、稳定的数学条件及定义二、稳定的数学条件及定义C(S)=M(S)R(S)/D(S)+M0(S)/D(S)假定:D(S)=0 有n个互异的特征根Si,即:D(S)=a0(S-Si)假定:R(S)有L个互异的极点Srj（j=1，2，L）(如特征方程有重根，不影响结论)则：C(S)=Ai0/(S-Si)+Bj/(S-Srj)+Ci/(S-Si)结构参数 输入 初始条件二、稳定的数学条件及定义二、稳定的数
29、学条件及定义C(t)=Ai0eSit+BjeSrjt+CieSit其中：BjeSrjt取决于输入，是一稳态分量；Ai0eSit和CieSit取决特征根（由系统的结构参数 确定），是瞬态分量。瞬态分量衰减为0 系统稳定。（去掉扰动后自身的一种恢复能力）稳定性定义：lim(Ai0+Ci)eSit=0 ti=0二、稳定的数学条件及定义二、稳定的数学条件及定义 稳定性的充分必要条件为系统特征方程的所有根都具有负实部 判别系统是否稳定，可归结为判别特征根实部的符号:ReSi0，（Si在左半S平面）稳定；ReSi=0，(Si在虚轴上）临界稳定；ReSi0，（Si在右半S平面）不稳定。三、稳定判据（三、稳定
30、判据（RouthRouth判据）判据）系统稳定的充分必要条件是Routh表中第一列系数全部大于零；否则系统不稳定，且该列中数值符号改变的次数等于系统特征方程正实根的数目。系统的特征方程：a0Sn+a1Sn-1+an-1S+an=0三、稳定判据（三、稳定判据（RouthRouth判据）判据）Routh表：Sn a0 a2 a4 Sn-1 a1 a3 a5 Sn-2 c13=(a1a2-a0a3)/a1 c23=(a1a4-a0a5)/a1 Sn-3 c14=(a3c13-a1c23)/c13 c24=(a5c13-a1c33)/c13 S1 c1nS0 c1(n+1)=an 三、稳定判据（三、稳
31、定判据（RouthRouth判据）判据）例：单位负反馈系统的开环传递函数为：GK(S)=K/S(0.1S+1)(0.25S+1)1试求增益K的稳定域。2欲使特征根全部位于垂线 S=-1 之左侧（稳定度 a=1），问K的允许调整范围是多少？三、稳定判据（三、稳定判据（RouthRouth判据）判据）解：1.GB(S)=GK(S)/1+GK(S)=K/S(0.1S+1)(0.25S+1)+K 特征方程：S(0.1S+1)(0.25S+1)+K=0 0.025S3+0.35S2+S+K=0 Routh表：S3 0.025 1 S2 0.35 KS1 (0.35-0.025K)/0.35 0S0 K
32、系统稳定的条件：K0 0.35-0.025K0 即 K14 K的稳定域为：0K14。三、稳定判据（三、稳定判据（RouthRouth判据）判据）2.取S=S1-1代入特征方程 0.025(S1-1)3-0.35(S1-1)2+(S1-1)+K=0 S13+11S12+15S1+(40K-27)=0 Routh表:S3 1 15 S2 11 40K-27S1 11*15-(40K-27)/11 0S0 40K-27 系统稳定的条件：11*15-(40K-27)0 即K4.8 40K-270 即K0.675 当特征根全部位于垂线S=-1之左侧（稳定度a=1）时，K的允许调整范围是0.675K4.8
33、。对对RouthRouth表中出现的特殊情况的处理表中出现的特殊情况的处理1 Routh表的任意一行，第一个元素为0，其余元素不为0或部分为0时用一个很小的正数代替这个0。对对RouthRouth表中出现的特殊情况的处理表中出现的特殊情况的处理例：S4+3S3+S2+3S+1=0 S4 1 1 1S3 3 3 0S2 1 0S1 (3-3)/0 0 S0 1 很小，3-（3/）0,系统不稳定。且有两个特征根在右半S平面（Routh表第一列系数数值符号改变二次）。对对RouthRouth表中出现的特殊情况的处理表中出现的特殊情况的处理2.Routh表中出现全0行时 用全0行上一行的元素构成一辅助
34、方程，再对其求导得到新方程，用新方程的系数代替全0行。对对RouthRouth表中出现的特殊情况的处理表中出现的特殊情况的处理例：S6+S5-2S4-3S3-7S2-4S 4=0 S6 1 -2 -7 -4 S5 1 -3 -4 S4 1 -3 -4 辅助方程：S4-3S2 4=0S3 0(4)0(-6)0(0)求导：4S3-6S=0S2 -3/2 -4 0S1 -16.7 0 S0 -4 系统不稳定。且具有一个正实部根。四、结构不稳定及其改进措施仅调整参数仍无法稳定的系统称为结构不稳定系统。例：液位控制系统 KpKmKlKa Gk(s)=S2(TmS+1)传递函数：G(S)=H(S)/HO(
35、S)=K/(TmS3+S2+K)四、结构不稳定及其改进措施四、结构不稳定及其改进措施特征方程：TmS3+S2+K=0 S3 Tm 0 S2 1 K S1 -TmK 0 S0 K无论怎样改变参数，只要Tm0，K0，系统就不稳定。即为结构不稳定系统。欲使系统稳定，必须改变结构。造成结构不稳定的原因:特征方程缺项前向通路有两个积分环节.消除结构不稳定的措施消除结构不稳定的措施改变积分性质或引入比例微分控制。1改变积分性质A用KH包围积分环节 X2(S)/X1(S)=Ka/(S+KaKH)包围受控对象(积分环节)，使之变成惯性环节。液位控制系统的特征方程变为：TmS3+（1+TmKaKH）S2+KaK
36、HS+K=0 没有缺项消除结构不稳定的措施消除结构不稳定的措施B用反馈KH包围电动机的 传递函数 X2(S)/X1(S)=Km/(TmS+1)+KmKH破坏了原电动机传递函数中的积分性质。积分性质的破坏，改善了系统的稳定性，但会使系统的稳态精度下降。消除结构不稳定的措施消除结构不稳定的措施2 引入比例微分控制 G(S)=H(S)/HO(S)=K(S+1)/S2(TmS+1)+K(S+1)液位控制系统的特征方程变为：TmS3+S2+KS+K=0 消灭了缺项.只要适当匹配参数,即可使系统稳定.第五节第五节稳态误差分析稳态误差分析 控制系统的稳态误差是系统控制精度的一种度量。系统的稳态误差与系统本身
37、的结构参数以及外作用的形式密切相关。一、误差及稳态误差的定义一、误差及稳态误差的定义误差=期望值-实际值 两种定义：1e(t)=r(t)-c(t)2e(t)=r(t)-b(t)对单位负反馈系统 H(S)=1，两种定义是统一的。稳态误差：误差的终值。ess=lim e(t)t二、稳态误差的计算二、稳态误差的计算二、稳态误差的计算ess=lim S E(S)(拉氏变换的终值定理)s0例：系统结构如图 当输入r(t)=I(t)，干扰n(t)=I(t)时，求系统总的稳态误差。稳态误差的计算举例稳态误差的计算举例解：1判别稳定性 特征方程：两个传递函数，两个特征方程都是:S+K1K2=0特征根：S1=-
38、K1K20 系统稳定。稳态误差的计算举例稳态误差的计算举例2求r(t)作用下的ER(S)n(t)=0 ER(S)=R(S)-C(S)=R(S)GR(S)R(S)=R(S)1-K1K2/S/(1+K1K2/S)R(S)=1/S=1/(S+K1K2)3求n(t)作用下的En(S)r(t)=0 En(S)=R(S)C(S)=0 GN(S)N(S)=-K2/S/(1+K1K2/S)N(S)=-K2/S(S+K1K2)稳态误差的计算举例稳态误差的计算举例4求E(S)由叠加原理 E(S)=Er(S)+En(S)=1/(S+K1K2)-K2/S(S+K1K2)5求ess ess=lim S E(S)s0=l
39、im S1/(S+K1K2)-K2/S(S+K1K2)s0=-1/K1三、输入信号三、输入信号r(tr(t)作用下稳态误差与系统结构的关系作用下稳态误差与系统结构的关系系统的开环传递函数可写成典型环节串联的形式：K(1S+1)(22S2+22S+1）GK(S)=SV(T1S+1)(T22S2+2T2S+1)式中：K开环增益,V积分环节数 E(S)=GER(S)R(S)=R(S)/1+GK(S)1 SV+1 ess=lim S E(S)=lim S R(S)=lim R(S)S0 S0 1+K/SV S0 SV+K 系统的稳态误差ess除与外作用R(S)有关外，还与系统的开环增益K K 和积分环
40、节数V V有关。输入信号输入信号r(tr(t)作用下稳态误差与系统结构的关系作用下稳态误差与系统结构的关系1阶跃输入 r(t)=R*I(t)SV+1 R RSV ess=lim =lim-S0 SV+K S S0 SV+K V=0 ess=R/(1+K)V1 ess=0 在阶跃输入下，系统消除稳态误差的条件是V1，即在开环传递函数中至少要有一个积分环节。输入信号输入信号r(tr(t)作用下稳态误差与系统结构的关系作用下稳态误差与系统结构的关系2斜坡输入 r(t)=R*t SV+1 R RSV-1 ess=lim =lim S0 SV+K S2 S0 SV+K V=0 ess=V=1 ess=R
41、/K V2 ess=0 在斜坡输入下，系统消除稳态误差的条件是V2。即在开环传递函数中至少要有二个积分环节。输入信号输入信号r(tr(t)作用下稳态误差与系统结构的关系作用下稳态误差与系统结构的关系3等加速度输入 r(t)=R*t2/2 SV+1 R RSV-2ess=lim =lim S0 SV+K S3 S0 SV+K V1 ess=V=2 ess=R/K V3 ess=0 在等加速度输入下，系统消除稳态误差的条件是V3。即在开环传递函数中至少要有三个积分环节。输入信号输入信号r(tr(t)作用下稳态误差与系统结构的关系作用下稳态误差与系统结构的关系 提高系统的稳态精度（减小ess）要求增
42、加积分环节数，但这与系统的稳定性将产生矛盾。四、系统的型别和静态误差系数四、系统的型别和静态误差系数1 系统的型别 K(1S+1)(22S2+22S+1）GK(S)=-SV(T1S+1)(T22S2+2T2S+1)式中：K开环增益,V积分环节数 V=0 0型系统.对阶跃输入的ess为常值,对斜坡和等加速度输入的ess为。系统的型别和静态误差系数系统的型别和静态误差系数V=1 I型系统.对阶跃输入的ess为0,对斜坡输入的ess为常值,对等加速度输入的ess为。V=2 型系统 对阶跃和斜坡输入的ess为0,对等加速度输入的ess为常数.依次类推。系统的型别越高，跟踪典型输入信号的无差能力越强。系
43、统的型别和静态误差系数系统的型别和静态误差系数2 静态误差系数A 静态位置误差系数KP表示系统在阶跃输入下的稳态精度。Kp=lim Gk(S)=lim(K/SV)S0 S0 0型系统（V=0）:KP=K I型及以上系统（V1）:KP=RSV ess=lim-S0 SV+K KP反映了系统跟踪阶跃信号的能力。KP越大，ess越小。系统的型别和静态误差系数系统的型别和静态误差系数B静态速度误差系数KV表示系统在斜坡输入下的稳态精度。KV=lim SGK(S)=lim(K/SV-1)S0 S0 0型系统（V=0）KV=0 I型系统（V=1）KV=K 型及以上系统（V2）KV=RSV-1 ess=li
44、m S0 SV+K KV反映了系统跟踪斜坡信号的能力。KV越大，ess越小。KV虽然称为速度误差系数，但得出的ess并不是速度的误差，而是系统在跟踪等速信号时出现的位置上的误差。系统的型别和静态误差系数系统的型别和静态误差系数C静态加速度误差系数Ka表示系统在等加速度输入下的稳态精度.Ka=lim S2GK(S)=lim(K/SV-2)S0 S0 0型，I型系统（V1）Ka=0 型系统（V=2）Ka=K 型及以上系统（V3）Ka=Ka反映了系统跟踪等加速度输入信号的能力。Ka越大，ess越小。Ka虽然称为加速度误差系数，但得出的ess并不是加速度的误差，而是系统在跟踪等加速信号时出现的位置上的
45、误差。系统的型别和静态误差系数系统的型别和静态误差系数 误差系数KP,KV,Ka与系统的型别一样，均是从系统本身的结构特征上体现了系统消除稳态误差的能力，反映了系统跟踪典型输入信号的能力。不同输入信号作用下系统类型不同输入信号作用下系统类型,态误差系数和稳态误差态误差系数和稳态误差系统类型系统类型 静态误差系数静态误差系数 e essss(阶跃输入阶跃输入)e essss(斜坡输入斜坡输入)e essss(加速度输入加速度输入)V KP KV Ka R/(1+KP)R/KV R/Ka 0 K 0 0 R/(1+K)K 0 0 R/K K 0 0 R/K 0 0 0 五、五、改善系统稳态精度的方
46、法改善系统稳态精度的方法1.增大开环增益 增大扰动作用点以前的前向通道的增益,以保证对参考输入的跟随能力,降低扰动引起的稳态误差.增大开环增益 误差系数增大 稳态误差降低.增大开环增益 稳定困难.五、五、改善系统稳态精度的方法改善系统稳态精度的方法2.增加前向通道中积分环节数 使系统型别提高,以消除不同输入信号时的稳态误差.增加积分环节 提高控制精度.增加积分环节 对稳定性不利.改善系统稳态精度的方法改善系统稳态精度的方法3.采用复合控制(1)按干扰补偿 确定GN(S)，使干扰n(t)对输出C(t)无影响。或称C(t)对n(t)具有不变性.GCN(S)=CN(S)/N(S)=1/G1(S)+G
47、N(S)G1(S)G2(S)/1+G1(S)G2(S)=G2(S)+G1(S)G2(S)GN(S)/1+G1(S)G2(S)令：GCN(S)=0 则：GN(S)=-1/G1(S)是对干扰全补偿的条件。改善系统稳态精度的方法改善系统稳态精度的方法(2)按输入补偿 确定GR(S)，使系统在输入作用下的误差得到全补偿。C(S)=1+GR(S)G2(S)/1+G2(S)R(S)E(S)=R(S)-C(S)=1-G2(S)+GR(S)G2(S)/1+G2(S)R(S)=1-GR(S)G2(S)R(S)/1+G2(S)令：E(S)=0 则：GR(S)=1/G2(S)是对输入全补偿的条件。本章小结本章小结1.一阶系统,二阶系统的性能指标 定义,计算,改进措施.2.稳定性分析 定义,计算,改进措施.3.稳态误差 定义,计算,改进措施.