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1、第二章 插值法 2.3 均差与牛顿插值公式均差与牛顿插值公式12/6/20221我们知道,拉格朗日插值多项式的插值基函数为形式上太复杂,计算量很大,并且重复计算也很多12/6/20222 拉格朗日插值公式可看作直线方程两点式的推广，若从直线方程点斜式出发，将它推广到具有n+1个插值点的情况，可把插值多项式表示为12/6/20223当当依次可得到。为写出系数的一般表达式，现引入差商（均差）定义。12/6/20224一、差商(均差)定义2.称12/6/2022512/6/20226二、均差具有如下性质：二、均差具有如下性质：12/6/20227例例12/6/20228这个性质也表明差商与节点的排列
2、顺序无关(差商的对称性)。即12/6/20229性质3：若f(x)在a,b上存在n阶导数，且节点则n阶均差与导数关系如下：12/6/202210三、均差三、均差的计算方法的计算方法(表格法表格法):规定函数值为零阶均差均差表12/6/202211例例1:已知下表，计算三阶差商已知下表，计算三阶差商 1 13 34 47 70 02 215151212解：列表计算解：列表计算一一阶阶差差商商二二阶阶差商差商三三阶阶差差商商1 10 03 32 21 14 4151513134 47 71212-1-1-3.5-3.5-1.25-1.2512/6/2022122.3.2 牛顿插值公式12/6/20
3、221312/6/202214我们称为牛顿(Newton)均差插值多项式。称为牛顿均差插值多项式的截断误差。12/6/20221512/6/20221612/6/20221712/6/202218显然：12/6/202219例2：依据如下函数值表建立不超过三次的Lagrange插值多项式及Newton插值多项式，并验证插值多项式的唯一性。x0 01 12 24 4 f(x)1 19 923233 312/6/202220解：(1)建立Lagrange插值多项式：基函数为Lagrange插值多项式为12/6/202221（2）Newton插值多项式：建立差商表为一一阶阶差商差商二二阶阶差商差商三
4、三阶阶差商差商0 01 11 19 98 82 2232314143 34 43 3-10-10-8-812/6/202222Newton插值多项式为（3）唯一性验证：将Newton插值多项式按x幂次排列，便得到12/6/202223v练习：已知由数据(0，0)，(0.5，y)，(1，3)，(2，2)构造出的三次插值多项式P3(x)的x3的系数是6，试确定数据y。12/6/202224四、拉格朗日插值与牛顿插值的比较12/6/20222512/6/202226一、差分定义3.2.3.4 差分及其性质差分及其性质12/6/202227依此类推12/6/202228差分表12/6/202229二、在等距节点的前提下,差商与差分有如下关系12/6/202230依此类推12/6/202231一、牛顿前插公式等距节点插值公式等距节点插值公式12/6/20223212/6/202233v牛顿插值法的优点是计算较简单,尤其是增加节点时,计算只要增加一项,这是拉格朗日插值无法比的.v但是牛顿插值仍然没有改变拉格朗日插值的插值曲线在节点处有尖点，不光滑，插值多项式在节点处不可导等缺点.二、牛顿插值公式与拉格朗日插值相比12/6/202234The End12/6/202235P48 1、8本章作业12/6/202236