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1、第5章回归分析 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望 实实际际问问题题中中，绝绝大大多多数数情情况况下下，变变量量之之间间的的关关系系不不那那么么简简单单。如如材材料料的的抗抗拉拉强强度度与与其其硬硬度度之之间间的的关关系系；材料的性能与其化学成份之间等等。材料的性能与其化学成份之间等等。这这些些变变量量之之间间既既存存在在着着密密切切的的关关系系，又又不不能能由由一一个个（或或几几个个）变变量量（自自变变量量）的的数数值值精精确确地地求求出出另另一一个
2、个变变量量（因因变变量量）的的数数值值，而而是是要要通通过过试试验验和和调调查查研研究究，才才能能确确定定它它们们之之间间的的关关系系，如如图图5.1所所示示，虽虽然然各各组组数数据据不不是是准准确确地地服服从从f(x)关关系系，但但y值值总总还还是是随随x的的增增加而增加。我们称这类变量之间的关系为加而增加。我们称这类变量之间的关系为相关关系。相关关系。5.1.2 相关关系相关关系 虽虽然然各各组组数数据据不不是是准准确确地地服服从从f(x)关关系系，但但y值值总总还是随还是随x的增加而变化。的增加而变化。5.1 概述概述回归分析的主要内容：回归分析的主要内容：应应用用数数学学的的方方法法，
3、对对大大量量的的测测量量数数据据进进行行处处理理，从从而而得得出出比比较较符符合合事事物物内内部部规规律律的的数数学学表表达达式式（数数学学模模型型）。（5-1）待定常数待定常数5.2 最小二乘法原理最小二乘法原理 假假设设 x 和和 y 是是具具有有某某种种相相关关关关系系的的物物理理量量，它它们们之间的关系可用下式给出：之间的关系可用下式给出：5.2 最小二乘法原理最小二乘法原理 同时测量同时测量 x，y 的数值，设有的数值，设有 m 对观测结果：对观测结果：利利用用观观测测值值，确确定定 。设设 x，y 关关系系的的最最佳形式为：佳形式为：（5-2）（5-3）最佳估计值最佳估计值如不存在
4、测量误差，则：如不存在测量误差，则：（5-4）由于存在测量误差，因而式（由于存在测量误差，因而式（5-3）与（）与（5-4）不相重合，即有：）不相重合，即有：（5-5）残差残差误差的实测值误差的实测值5.2 最小二乘法原理最小二乘法原理 式式（53）中中的的 x 变变化化时时，y 也也随随之之变变化化。如如果果 m 对对观观测测值值中中有有比比较较多多的的 y 值值落落到到曲曲线线（51）上上，则则所所得得曲曲线线就就能能较较为为满满意意地地反反映映被被测测物物理理量量之之间间的的关关系系，y 值值同同时时出出现现的的概概率率最最大大，则则曲曲线线（53）就就是是曲曲线线（51）的的最最佳佳形
5、形式式。如如图图5.1a所所示示。如如果误差服从正态分布，则概率果误差服从正态分布，则概率 P(e1,e2,em)为：为：（57）当当P最最大大时时，求求得得的的曲曲线线就就应应当当是是最最佳佳形形式式。从从图图5-1a中中可可以以看看出，显然，此时下式应最小：出，显然，此时下式应最小：（56）即残差平方和最小，这就是最小二乘法原理的由来。即残差平方和最小，这就是最小二乘法原理的由来。图图5.1a5.2 最小二乘法原理最小二乘法原理 这里假定这里假定 xi 无误差。式（无误差。式（57）可以写成：）可以写成：（58）S最小，就应有：最小，就应有：（59）即要求求解如即要求求解如下联立方程组：下
6、联立方程组：（510）正正正正 规规规规 方方方方程程程程，最最最最小小小小 二二二二 乘乘乘乘解。解。解。解。5.3 直线的回归直线的回归5.3.1 一元直线回归分析一元直线回归分析 对对一一元元线线性性回回归归而而言言，就就是是配配直直线线的的问问题题，下下面面通过例题加以分析说明。通过例题加以分析说明。例例5.1 研究腐蚀时间与腐蚀深度两个变量之间的研究腐蚀时间与腐蚀深度两个变量之间的关系，可把腐蚀时间作为自变量关系，可把腐蚀时间作为自变量 x，把腐蚀深度作为把腐蚀深度作为因变量因变量 y，将试验数据记录在将试验数据记录在表表5-1中。求出中。求出x，y之间之间的线性关系。的线性关系。解
7、：解：将将表表5-1中的中的(x,y)数据，在直角坐标系中对应地做数据，在直角坐标系中对应地做出一系列的点，可得出一系列的点，可得图图5.2，这种图称之为散点图。，这种图称之为散点图。与与 x 的关系大致呈直线关系，但并不是确定性的的关系大致呈直线关系，但并不是确定性的关系，而是一种相关关系：关系，而是一种相关关系：回归系数回归系数（511）最佳估计值应使其残差平方和最小，残差为：最佳估计值应使其残差平方和最小，残差为：（512）图图52、表、表51表表5-1 试验数据试验数据.5.3.1一元直线回归分析一元直线回归分析其平方和为：其平方和为：（513）平方和最小，即：平方和最小，即：（514
8、）得正规方程组：得正规方程组：（515）5.3.1一元直线回归分析一元直线回归分析令平均值为：令平均值为：（516）由由511得：得：（517）（518）由由式（式（515）得：得：5.3.1一元直线回归分析一元直线回归分析（519）式中式中（520）由由式式(5-18)和和式式(5-19)可可以以求求得得回回归归直直线线方方程程式式中中的的常常数数a及回归系数及回归系数b。令令5-21便可得到回归系数的另一种表达式：便可得到回归系数的另一种表达式：5-52的乘积和；上上述述回回归归直直线线的的具具体体计计算算，通通常常都都是是列列表表进进行行的的，本节的示例，具体计算见本节的示例，具体计算见
9、表表5-2。完成表完成表5-2的计算，就可得到回归直线方程：的计算，就可得到回归直线方程：5-231）先把数据在）先把数据在Excel中成列输入到电子表格中；中成列输入到电子表格中；2）全部选择所有数据；全部选择所有数据；3）点击）点击图表向导图表向导快捷按钮，按提示一步一步快捷按钮，按提示一步一步建立建立散点图；散点图；5.3.2 利利用用微微软软公公司司的的电电子子表表格格（Microsoft Excel）在在计算机中进行线性回归的方法计算机中进行线性回归的方法14）建建立立好好散散点点图图后后，用用鼠鼠标标点点到到图图上上散散点点的的位位置置，单单击击鼠鼠标标左左键键选选中中所所有有的的
10、散散点点，然然后后单单击击鼠鼠标标右右键键，出出现现一一个个对对话话框框，点点击击左左键键选选择择添添加加趋趋势势线线，出出现现另另一一个个对对话话框框，在在对对话话框框中中选选择择某某些些功功能能，回回归归直直线方程就会出现在图上的某一位置。线方程就会出现在图上的某一位置。2.3.2 方差分析方差分析 由由 x 预报预报 ，精确度如何？用，精确度如何？用方差分析方差分析方差分析方差分析 解决这一问题。解决这一问题。残差可表示如下：残差可表示如下：试验得到的数据试验得到的数据回归直线对应的数据回归直线对应的数据上式可改写成：上式可改写成：（524）移项得：移项得：两端平方求和得：两端平方求和得
11、：（525）可可以以证证明明此此项项为零，故得：为零，故得：上式中三项平方和的意义如下：上式中三项平方和的意义如下：代代表表在在试试验验范范围围内内，观观测测值值 yi 总总的波动情况，称此为的波动情况，称此为总平方和总平方和总平方和总平方和。代代表表 x 变变化化所所引引起起的的 y 值值变变化化大大小小的的量量，即即yi 波波动动中中，可可以以通通过过回回归归方方程程计计算算出出来的那一部分，称之为来的那一部分，称之为回归平方和回归平方和回归平方和回归平方和。上上述述三三个个平平方方和和之之间间的的关关系系，可可以以用用图图5.14表表示示出出来来。总总平平方方和可以分解成两部分，和可以分
12、解成两部分，回归平方和回归平方和与与残差平方和残差平方和。是是残残残残差差差差平平平平方方方方和和和和，表表示示了了回回归归方方程程的的拟拟合合误误差差，即即观观测测值值yi 偏偏离离回回归归值值 的的大大小小。这这一一部部分分不不能能通通过过回回归归方方程程计计算算出出来来，它是它是yi 波动中与波动中与 x 无关的部分。无关的部分。由由图图中中可可以以看看出出，如如果果残残差差平平方方和和很很小小，则则回回归归平平方方和和总总平平方方和和将将接接近近于于1。这时，所有的观测点都靠近或落在回归线上，这就表明回归直线的精度较高。这时，所有的观测点都靠近或落在回归线上，这就表明回归直线的精度较高
13、。残残差差平平方方和和是是排排除除了了 x 对对 y 的的线线性性影影响响后后的的剩剩余余部部分分，y 值随机波动程度的大小，用它来估计误差。值随机波动程度的大小，用它来估计误差。产产生生原原因因：包包括括随随机机误误差差、那那些些影影响响很很小小但但尚尚未未考考虑虑的因素。的因素。自由度：自由度：f总总=f回回+f残残 f总总=m-1 f回回=1f残残=f总总 f回回=m-2 方差：残差平方和除以它的自由度：方差：残差平方和除以它的自由度：标准偏差估算值：标准偏差估算值：（529）用用S衡量随机因素对衡量随机因素对 y 的影响。的影响。回归方程可作如下预报：回归方程可作如下预报：将例将例5.
14、1一元直线回归的方差分析可归纳在表一元直线回归的方差分析可归纳在表5-3中。中。回归方程可改写为：回归方程可改写为：5.3.4 相关性检验相关性检验 用用一一个个数数量量性性的的指指标标，来来衡衡量量两两个个变变量量之之间间线线性性相相关关关关系的密切程度系的密切程度相关系数相关系数 r。回归平方和回归平方和总平方和总平方和（5-32）r 1 时，说明标准误差很小（试验点与回归点几乎吻时，说明标准误差很小（试验点与回归点几乎吻合），回归方程才有意义。合），回归方程才有意义。通常通常 0r1。r 取值不同时的散点分布情况示于图取值不同时的散点分布情况示于图5.15中，具体分析如下：中，具体分析如
15、下：（1）r=0 时时。此此时时 b=0，即即按按最最小小二二乘乘法法确确定定的的回回归归直直线线平平行行于于 x 轴轴，这这说说明明 y 的的变变化化与与 x 无无关关。故故 x 与与 y 之之间间没没有有线线性性关关系。通常，散点的分布是完全不规则的，如系。通常，散点的分布是完全不规则的，如图图5.15（a）所示。所示。（2）0r1。这这时时，x 与与 y 之之间间存存在在着着一一定定的的线线性性关关系系。当当 r 0 时时 b0，散散点点分分布布有有随随 x 增增加加 y 增增加加的的趋趋势势，此此时时称称 x 与与 y 是是正正相相关关，如如图图5.15（b）所所示示。当当 r 0 时
16、时 b0，散散点点图图呈呈 y 随随 x 增增加加而而减减小小的的趋趋势势，此此时时称称 x 与与 y 为为负负相相关关，如如图图5.15（c）所所示示。当当 r 的的绝绝对对值值比比较较大大时时，散散点点远远离离回回归归直直线线较较为为分散；当分散；当 r 的绝对值较大时，散点分布就靠近直线。的绝对值较大时，散点分布就靠近直线。（3）r=1。所所有有的的点点都都在在一一条条直直线线上上，即即散散点点都都落落在在回回归归直直线线上上。此此时时，称称 x 与与 y 完完全全性性相相关关。实实际际上上，此此时时 x 与与 y 之之间间有确定性的线性关系。如有确定性的线性关系。如图图5.15（d）所
17、示。所示。图图5.15(a)x 图图5.15(b)x 图图5.15(c)x 图图5.15(d)x 图图5.15(e)x 从从上上述述讨讨论论可可以以看看出出，相相关关系系数数 r 表表示示两两个个随随机机变变量量 x 与与 y 之之间间线线性性相相关关的的密密切切程程度度。r越越大大，愈愈接接近近于于1，x 与与 y 之之间间的的线线性性相相关关也也就就愈愈密密切切。但但必必须须指指出出，相相关关系系数数 r 只只表表示示线线性性相相关关的的密密切切程程度度，当当 r 很很小小，甚甚至至等等于于零零时时，并并不不一一定定说说明明 x 与与 y 之之间间就就不不存存在在其其它它关关系系。如如图图
18、515(e)所所示示，虽虽然然 r=0，但但从从散散点点分分布布看看，x 与与 y 之之间间存存在在着着明明显显的的曲曲线线关关系系，只只不不过过这这种种关关系系不不是线性关系罢了。是线性关系罢了。相相关关系系数数的的绝绝对对值值究究竟竟多多大大才才能能认认为为两两个个变变量量是是相相关关的的呢呢？或回归方程才有意义呢？或回归方程才有意义呢？F检验：检验：假设：假设：H0：b=0，F为：为：（534）可可见见 r 检检验验与与 F 检检验验的的作作用是一致的，只用一种即可。用是一致的，只用一种即可。可查表得出可查表得出 Fa a=（1 1，m2），），当：当：F F0.01 0.01 特别显著
19、；特别显著；F0.01 0.01 F F0.05 0.05 时，显著；时，显著；F0.05 0.05 F F0.10 0.10 时，较显著；时，较显著；F F0.10 0.10 时，不显著。时，不显著。（1）先把数据在）先把数据在Excel中成列输入到电子表格中；中成列输入到电子表格中；（2）点击下拉菜单的）点击下拉菜单的“工具工具”按钮，鼠标箭头移动到按钮，鼠标箭头移动到“数据分析数据分析”项下，点击左键，出现数据分析对话框，项下，点击左键，出现数据分析对话框，在对话框中选择在对话框中选择“回归回归”，点击，点击“确定确定”按钮，出现回按钮，出现回归对话框，按对话框中的提示，选择对话框中的某
20、些功归对话框，按对话框中的提示，选择对话框中的某些功能，即可得出与直线回归有关的很多参数。能，即可得出与直线回归有关的很多参数。（3）利用计算出的参数，即可写出回归方程。）利用计算出的参数，即可写出回归方程。5.3.5 利用利用Excel在计算机中进行线性回归的方法在计算机中进行线性回归的方法25.4 曲线回归曲线回归 在在实实际际问问题题中中，变变量量之之间间常常常常不不是是直直线线关关系系。这这时时，通通常常是是选选配配一一条条比比较较接接近近的的曲曲线线，通通过过变变量量变变换换把把非非线线性性方方程程加加以以线性化，然后对线性化的方程应用最小乘法求解回归方程。线性化，然后对线性化的方程
21、应用最小乘法求解回归方程。最最小小二二乘乘法法的的一一个个前前提提条条件件是是函函数数 y=f（x）的的具具体体形形式式为为已已知知，即即要要求求首首先先确确定定 x 与与 y 之之间间内内在在关关系系的的函函数数类类型型。函函数数的的形形式式可可能能是是各各种种各各样样的的，具具体体形形式式的的确确定定或或假假设设，一一般般有有下下述述两两个个途途径径：一一是是根根据据有有关关的的物物理理知知识识，确确定定两两个个变变量量之之间间的的函函数数类类型型；二二是是把把观观测测数数据据划划在在坐坐标标纸纸上上，将将散散点点图图与与已已知知函函数曲线对比，选取最接近散点分布的曲线公式进行试算数曲线对
22、比，选取最接近散点分布的曲线公式进行试算。常见的一些非线性函数及其线性化方法如下。常见的一些非线性函数及其线性化方法如下。5.4.1 曲线回归曲线回归（1）双曲线，）双曲线，型，见型，见图图5.23。（2）指数曲线，）指数曲线，见，见图图5.24。（3）指数曲线，）指数曲线，见，见图图5.25。（4）幂函数曲线，）幂函数曲线，见，见图图5.26。图图5.23(a)双曲线双曲线图图5.23(b)双曲线双曲线图图5.24(a)指数曲线指数曲线图图5.24(b)指数曲线指数曲线图图5.25(a)指数曲线指数曲线图图5.25(b)指数曲线指数曲线图图5.26(a)幂函数曲线幂函数曲线0 b 1b=1图
23、图5.26(b)幂函数曲线幂函数曲线b 1b=11 b 0,c 0图图5.29(b)对数抛物线对数抛物线b b 0,c 0 如如上上所所述述，许许多多曲曲线线都都可可以以通通过过变变换换化化为为直直线线，可可以以按按直直线线拟拟合的办法来处理。合的办法来处理。必必须须注注意意！所所配配曲曲线线的的回回归归中中，r、S、F 等等的的计计算算稍稍有有不不同同。u、v 等等仅仅仅仅是是为为了了变变量量变变换换，使使曲曲线线方方程程变变为为直直线线方方程程，然然而而要要求求的的是是所所配配曲曲线线与与观观测测数数据据拟拟合合较较好好，所所以以计计算算r、S、F 等等时时，应应首先根据已建立的回归方程，
24、用首先根据已建立的回归方程，用 xi 依次代入，得到依次代入，得到 yi 后再计算后再计算残差平方和残差平方和 及总平方和及总平方和 ，于是：，于是：（536）（537）（538）下面举例说明曲线回归的一般计算方法。下面举例说明曲线回归的一般计算方法。例例5.2 炼炼钢钢厂厂出出钢钢用用钢钢包包在在使使用用过过程程中中，由由于于钢钢液液及及炉炉渣渣对对耐耐火火材材料料的的浸浸蚀蚀，其其容容积积不不断断增增大大。钢钢包包的的容容积积（用用盛盛满满钢钢水水的的重重量量 kg 表表示示）与与相相应应的的使使用用次次数数列于列于表表5-4中。求：中。求：x、y之间的关系式：之间的关系式：表表5-4 试
25、验试验数据数据 解：解：首先按实测数据做散点图，如首先按实测数据做散点图，如图图5.30所示。所示。由由图图可可见见，最最初初容容积积增增加加很很快快，以以后后减减慢慢并并趋趋于于稳定。根据这个特点，选用稳定。根据这个特点，选用双曲线双曲线：(539）表示容积表示容积 y 与使用次数与使用次数 x 的关系。的关系。（5-40）对对新新变变量量 u、v 而而言言，式式（5-40）是是一一个个直直线线方方程程，因因而而可可用用最最小小二二乘乘法法进进行行拟拟合合计计算算，求求出出回回归归系系数数 b 和常数项和常数项 a。计算步骤如下：计算步骤如下：（1）根根据据表表5-4中中的的数数据据，计计算
26、算出出 v、v2、u、u2、uv和回归系数和回归系数b及常数项及常数项a列于列于表表5-5中。中。(2)得出变换后的回归直线方程式为：得出变换后的回归直线方程式为：变换回原始曲线方程为：变换回原始曲线方程为：将将原原始始数数据据带带入入回回归归方方程程式式(5-42)中中，计计算算标标准准偏偏差差S和相关系数和相关系数R，计算结果见，计算结果见表表5-6所示。所示。由表由表5-6得出的参数可写出最后的回归曲线方程式为：得出的参数可写出最后的回归曲线方程式为：本本例例应应用用最最小小二二乘乘法法，虽虽然然使使用用双双曲曲线线拟拟合合，在在计计算算过过程程中中使使残残差差平平方方和和达达到到了了最
27、最小小，但但这这并并不不足足以以说说明明，所所配配双双曲曲线线是是对对表表5-4中中数数据据的的最最佳佳拟拟合合曲曲线线。因因而而在在配配曲曲线线时时，最最好好用用不不同同的的函函数数类类型型计计算算后后再再进进行行比比较较，选选取取其其中中最最优优者者，即即选选取取相相关关系系数数R为为最最大大的的曲曲线线。此此外外，在在曲曲线线拟拟合合时时也也可可采采用用分分段段拟拟合合的的方方法法，即即在在不不同同的的自自变变量量区区间间内内配配以以不不同同的的曲曲线线来来进进行行拟拟合合。下下面面我我们们采采用用计计算算机机处处理理方方法法，用用其其它它类类型型的的函函数数进进行回归拟合试一试，看会得
28、出什么样的结果？行回归拟合试一试，看会得出什么样的结果？利用利用 Excel 对对 x、y 的数据作散点图，直接作出回归曲线。的数据作散点图，直接作出回归曲线。第一步第一步:在在Excel电子表格中，按列（行）输入电子表格中，按列（行）输入 x 与与 y 的的试验数据。试验数据。第二步：对第二步：对 x 与与 y 的试验数据作出散点图。的试验数据作出散点图。第三步：在图中选定散点的数据，做多项式的趋势线，第三步：在图中选定散点的数据，做多项式的趋势线，即得到相应的回归曲线。即得到相应的回归曲线。5.4.2 用用Excel电子表格软件进行曲线回归的方法电子表格软件进行曲线回归的方法5.4.2.1
29、 方法方法15.4.2.2 方法方法2 利利用用 Excel 对对 x、y 的的数数据据求求出出所所有有的的回回归归系系数数及及方方差差分分析数据。析数据。第第一一步步:在在Excel电电子子表表格格中中，按按列列（行行）输输入入 x 与与 y 的的试验数据。试验数据。第二步：对第二步：对 x 数据进行格式化复制数据进行格式化复制x2x8。第第三三步步：在在表表中中选选定定所所有有xx8数数据据，选选择择“工工具具”下下拉拉菜菜单单“数数据据分分析析”，按按提提示示进进行行操操作作，即即可可得得出出全全部部计计算算分析数据。分析数据。5.5 多元回归多元回归5.5.1基本概念基本概念 上上面面
30、讨讨论论的的是是只只有有两两个个变变量量的的回回归归问问题题，其其中中一一个个是是自自变变量量，另另一一个个是是因因变变量量。但但在在大大多多数数情情况况下下，自自变变量量不不是是一一个个而而是是多多个个，称这类问题为多元回归问题。称这类问题为多元回归问题。多多元元回回归归中中最最简简单单且且最最基基本本的的是是多多元元线线性性回回归归。如如自自变变量量 xi(i=1,2,G)，进进行行m次次试试验验，所所得得的的数数据据可可以以写写成成两两个个数数组组，即两个矩阵：即两个矩阵：显然，多元线性统计模型是：显然，多元线性统计模型是：（5-45）多多元元线线性性回回归归分分析析原原理理，与与一一元
31、元线线性性回回归归分分析析原原理理完完全全相相同同只只是是计计算算上上复复杂杂得得多多。但但是是用用计计算算机机来来进进行行计计算算工工作作量量与与一一元元线线性回归相比，复杂程度并不大。根据最小二乘法，应使残差：性回归相比，复杂程度并不大。根据最小二乘法，应使残差：试验值试验值回归值回归值最小最小下面我们通过例题来说明如何进行多元线性回归。下面我们通过例题来说明如何进行多元线性回归。例例5.3 某种水泥在凝固时放出的热量某种水泥在凝固时放出的热量 y(J/g)与水泥中下列四种化与水泥中下列四种化学成分的含量有关：学成分的含量有关：x1 3CaO Si2O3 的含量，的含量，%x2 2CaO
32、SiO2 的含量，的含量，%x3 3CaO Al2O3 的含量，的含量，%x4 4CaO Al2O3 Fe2O3的含量，的含量，%原始试验数据如表原始试验数据如表5-7所示：所示：求解步骤如下：求解步骤如下：用用Excel电子表格电子表格点击下拉菜单点击下拉菜单“工具工具”栏栏点击点击“数据分析数据分析”项项选择选择“回归回归”项项 按按回回归归对对话话框框中中的的提提示示，进进行行选选择择操操作作，即即可可得得出出全全部部的的回回归归系系数、相关系数、标准偏差等数据。数、相关系数、标准偏差等数据。根根据据计计算算出出的的回回归归系系数数写写出出回回归方程。归方程。完完5.5.3 多元曲线回归
33、多元曲线回归 多元线性回归还可以扩展到更为普遍的情况。假定有：多元线性回归还可以扩展到更为普遍的情况。假定有：（5-54）式中，式中，是是x的已知函数，不含有未知的已知函数，不含有未知参数参数c，则显然对待定参数则显然对待定参数c 而言，该式仍为线性函数。而言，该式仍为线性函数。如下面函数式的格式就是此类函数的一例：如下面函数式的格式就是此类函数的一例：(5-55)一般，常用的统计数学模型为一般，常用的统计数学模型为G1阶多项式：阶多项式：（5-56）任任何何函函数数至至少少在在一一个个比比较较小小的的范范围围内内可可以以用用多多项项式式任任意意逼逼近近。因因此此，在在比比较较复复杂杂的的实实
34、际际问问题题中中，往往往往不不管管 y 与与各各因因素素的的关关系系如如何何，而而采采用用多多项项式式进进行行回回归归。可可见见，多项式回归在回归问题中占有特殊的地位。多项式回归在回归问题中占有特殊的地位。方法步骤如下：方法步骤如下：将将 数数 据据 成成 列列 输输 入入 到到Excel电子表格中电子表格中根根据据x列列的的数数据据分分别别计计算算x2、lnx、1/x、(lnx)2。按按顺序排列于顺序排列于x列的右则。列的右则。点击下拉菜单的点击下拉菜单的“工具工具”项，点击项，点击“数据分析数据分析”。在在数数据据分分析析对对话话框框中中，选选取取“回回归归”项项，点点击确定，出现回归对话框。击确定，出现回归对话框。按按对对话话框框中中的的提提示示进进行行操操作作，即即可可得得出出多多项项式式回回归归曲曲线线中中各各项项中中的的系系数数。然然后后按按 x,x2、lnx、1/x、(lnx)2的的对对应应关关系系代代入入方方程程中中即即得出回归曲线的多项式方程。得出回归曲线的多项式方程。