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1、关于整式的乘法与因式分解复习第一页，本课件共有58页整整式式的的乘乘法法同底数幂的乘法同底数幂的乘法:am.an=am+n幂的乘方：幂的乘方：(am)n=amn积的乘方积的乘方:(ab)n=anbn预预备备知知识识1.单项式乘以单项式：单项式乘以单项式：把它们的系数、同底数的幂分别相乘，把它们的系数、同底数的幂分别相乘，对于只在一个单项式里出现的字母连对于只在一个单项式里出现的字母连同它的指数作为积的一个因式。同它的指数作为积的一个因式。如如4a2yx5.(-3ab2x)2.单项式乘以多项式：单项式乘以多项式：转化转化单项式乘以单项式单项式乘以单项式m(a+b+c)=ma+mb+mc再如（再如
2、（ab2-2ab).ab如（如（-4x2).(2x-y-1)3.多项式乘以多项式：多项式乘以多项式：转化转化单项式乘以多项式单项式乘以多项式 (a+b)(m+n)=a(m+n)+b(m+n)=am+an+bm+bn如如(x-y)(x2+xy+y2)相反变形相反变形难点难点am+n=am.anamn=(am)nan.bn=(ab)n第二页，本课件共有58页想想一一想想a2a3a5+=(1)a2aa2=(2)(x-y)2(y-x)5=(x-y)7(8)x2()3=x5(4)47(6)(-5)(-5)=511(-3)233=(-3)5(7)2(5)35a2a=10a6(3)a3a3=2a3第三页，本
3、课件共有58页练习一练习一1.计算计算(1)100.10m+1.10m-2 (2)an+2.an+1.an.a2(3)(102)3 (4)(xy3n)2+(xy6)n (5)-p.(-p)4(6)(b+2)2(b+2)5(b+2)(7)(a-2b)3(b-2a)4(8)(-a2.(-a4b3)2)3 (9)(x-2y)2(y-2x)3注意：通过以上练习可知，公式中的注意：通过以上练习可知，公式中的a既既可以是一个数也可以是一个字母，也可可以是一个数也可以是一个字母，也可以是一个代数式。以是一个代数式。第四页，本课件共有58页2.(1).-x2y2.xyz (2)(a2+ab-0.6b2).(-
4、a2b2)(3)(2x+y)(x-3y)(4)3y(y2+4y+4)-y(y-3)(3y+4)(5)(2m-3n)(3m-4n)(6)若若ab2=-1,则则-ab(a2b5-ab3-b)的值是多少？的值是多少？第五页，本课件共有58页比一比比一比算算计计(1)3x2()3-7x3 x3-x4x2+1()a2()-2b2a+2b()-2ab(a-b)(2)先化简，再求值先化简，再求值:其中其中a=1,b=21.第六页，本课件共有58页公公 式式 的的 逆逆 向向 使使 用用（3 3）已知）已知2m=3，2n=5，求求23m+2n+2的值的值.第七页，本课件共有58页1、若、若10 x=5,10y
5、=4,求求102x+3y+1 的值的值.2、计算：、计算：0.251000（-2）2001注意点：注意点：（1）指数：相加）指数：相加底数相乘底数相乘转化转化（2）指数：乘法）指数：乘法幂的乘方幂的乘方转化转化（3）底数：不同底数）底数：不同底数同底数同底数转化转化第八页，本课件共有58页 （3）（1）012516(8 8)17；（2）逆用公式逆用公式 即即 第九页，本课件共有58页公公 式式 的的 反反 向向 使使 用用 试用简便方法计算试用简便方法计算试用简便方法计算试用简便方法计算:(ab)n=anbn（mm,n n都是正整数都是正整数都是正整数都是正整数）反向使用反向使用:anbn=(
6、ab)n(1)(1)2 23 3 5 53 3 ;(2)(2)(-5)5)16 16 (-2)2)1515(3)2 24 4 4 44 4 (-0.125)0.125)4;第十页，本课件共有58页整整式式的的乘乘法法1.单项式乘以单项式单项式乘以单项式2.单项式乘以多项式单项式乘以多项式3.多项式乘以多项式多项式乘以多项式逆逆运运算算预备知识预备知识aman=am-n当当m=n时，规定：时，规定：a0=1(a0)整整式式的的除除法法1.单项式除以单项式单项式除以单项式2.多项式除以单项式多项式除以单项式3.多项式除以多项式多项式除以多项式单项式相除，把系数与同底数的幂分别相单项式相除，把系数与
7、同底数的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母连同它的指数作为商的一个因式。的字母连同它的指数作为商的一个因式。如如20 x4y2z(-x3y2)(-2a2b3c)2a3b2单单单单转化转化(a+b)m=am+bm如如(0.25a2b-0.5a3b2-a4b3)(-0.5a2b)初中阶段不学习初中阶段不学习am.an=am+n(am)n=amn(ab)n=anbn特例特例乘乘法法公公式式1.平方差公式平方差公式2.完全平方公式完全平方公式(a+b)(a-b)=a2-b2(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2相反变形相反变
8、形因式分解因式分解第十一页，本课件共有58页(1)(-a)(1)(-a)8 8(-a(-a2 2)(2)-5a(2)-5a5 5b b3 3c5ac5a4 4b b3 3(4)-3a(4)-3a2 2x x4 4y y3 3(-axy(-axy2 2)(5)(410(5)(4109 9)(-210)(-2103 3)=-a=-a6 6=-ac=-ac=3ax=3ax3 3y y=-210=-2106 6(3)6m(3)6m2 2n(-2mn)n(-2mn)=-3m=-3m第十二页，本课件共有58页(1)(-2a(1)(-2a4 4b b3 3c)c)3 3(-8a(-8a4 4b b5 5c)
9、c)(3(3 )(-3.610(-3.6101010)(-210)(-2102 2)2 2(310(3102 2)2 2=a=a8 8b b4 4c c2 2=1010(2)(6x(2)(6x2 2y y3 3)2 2(3xy(3xy2 2)2 2=4x=4x2 2y y2 2第十三页，本课件共有58页练习练习1.计算计算(1).x15 x6 (2).(-xy)x6 (2).(-xy)1010(-xy)8 (3)a(-xy)8 (3)a2m+42m+4 a am-2 m-2 (4).(x-2y)(4).(x-2y)4 4 (2y-x)(2y-x)3 3 (5).(-a)(5).(-a)5 5
10、a a3 32.计算计算(1).-3a7b4c 9a9a4 4b b2 2 (2)28x (2)28x4 4y y2 2 7x7x3 3y (3)4ay (3)4a3m+13m+1(-8a(-8a2m-12m-1)(4).8(m+n)(4).8(m+n)5 5(-(m+n)(-(m+n)3 3)(5).(8a)(5).(8a2 2+ab+a)+ab+a)a a(6).(6).已知一个多项式除以多项式已知一个多项式除以多项式已知一个多项式除以多项式已知一个多项式除以多项式a a2 2+4a-3+4a-3所得的商式是所得的商式是所得的商式是所得的商式是2a+1,2a+1,余式是余式是余式是余式是2
11、a+8,2a+8,求这个多项式。求这个多项式。求这个多项式。求这个多项式。第十四页，本课件共有58页 计算（一）：计算（一）：（1）（2x3）（）（2x3）（2）（x2）（）（x2）（3）（2xy）（）（2xy）（4）（yx）（）（xy）(5)19982002填空填空(1).(a+)2=a2+6a+。(2).(2x-)2=4x2-+25(3).a2+b2=(a-b)2+。(4).(x-y)2+=(x+y)2第十五页，本课件共有58页想一想想一想下列计算是否正确？如不正确，应下列计算是否正确？如不正确，应如何改正？如何改正？(-x+6)(-x-6)=-x2-6(1)2-x-1(-x-1)(x+1
12、)=(2)(3)(-2xy-1)(2xy-1)=1-2xy2第十六页，本课件共有58页计算计算(1).(5a+3)(5b-3)(2).(3m-2)(3m-2)(3).(3m+4)(3m-4)(4).(-2x-1)(-2x+1)(5).(x+3y)2 (6).(2x-3y)2(7)(-x+y)2 (8).(-2x2-3y)2第十七页，本课件共有58页已知已知(a+b)2=11,(a-b)2=7,则则ab=()(1)（A）1（B）-1（C）0（D）1或或-1(C)(D)(2)如果如果4x+12xy+k是一个关于是一个关于x、y的完全的完全2平方式平方式，则则k=()(A)(B)3y29y2y36y
13、 2AB第十八页，本课件共有58页（3）如果如果a+a1=3,则则a2+a21=()(A)7(B)9(C)10(D)11所以所以=9a+a1()2所以所以a+a1=922+2A故故a a1=72+2因为因为a+a1=3解：解：第十九页，本课件共有58页(a-2b+3)(a+2b-3)的结果是的结果是（）（A）22a+4b+12b-9（C）22a+4b-12b-9（B）a2-4b2-12b-9（D）a2-4b2+12b-9D（4）计算计算=a-(2b-3)a+(2b-3)=a2-(2b-3)2=a2-(4b-12b+9)2 =a2-4b2+12b-9(a-2b+3)(a+2b-3)解：解：第二十
14、页，本课件共有58页是一个关于是一个关于x、y的完全平的完全平如果如果4x2+kxy+9y2方式，则方式，则k=()填空填空第二十一页，本课件共有58页第二十二页，本课件共有58页因式分解因式分解因式分解因式分解1.运用前两节所学的知识填空运用前两节所学的知识填空1).m(a+b+c)=.2).(a+b)(a-b)=.3).(a+b)2=.2.试一试试一试 填空填空:1).ma+mb+mc=m()2).a2-b2=()()3).a2+2ab+b2=()2ma+mb+mca2-b2a2+2ab+b2你能发现这你能发现这两组等式之两组等式之间的联系和间的联系和区别吗区别吗?a+b+ca+ba+ba
15、-b第二十三页，本课件共有58页 一般地，把一个多项式转化成几个整式的一般地，把一个多项式转化成几个整式的积积积积的形式，的形式，叫做叫做因式分解因式分解因式分解因式分解，有时我们也把这一过程叫做，有时我们也把这一过程叫做分解因式分解因式。定义定义第二十四页，本课件共有58页理解概念判断哪些是因式分解判断哪些是因式分解?(1)x2-4y2=(x+2y)(x-2y)(2)2x(x-3y)=2x2-6xy (3)(5a-1)2=25a2-10a+1 (4)x2+4x+4=(x+2)2 (5)(a-3)(a+3)=a2-9 因式分解因式分解整式乘法整式乘法整式乘法整式乘法因式分解因式分解整式乘法整式
16、乘法两者都不是两者都不是第二十五页，本课件共有58页像像(1)(1)这种因式分解的方法叫这种因式分解的方法叫提公因式法提公因式法像像(2),(3)(2),(3)利用乘法公式对多项式进行因式分解利用乘法公式对多项式进行因式分解的这种因式分解的方法就称为的这种因式分解的方法就称为公式法公式法.1)ma+mb+mc=m(a+b+c )2)a2-b2=(a+b)(a-b)3)a2+2ab+b2=(a+b)2第二十六页，本课件共有58页注意事项注意事项1)首选提公因式法（若各项间有公因式，要先将公因式提出来），另一首选提公因式法（若各项间有公因式，要先将公因式提出来），另一 个因式再考虑其他方法。个因式
17、再考虑其他方法。x3-4x2)一般情况下，两项考虑平方差公式，三项考虑完全平方公式。一般情况下，两项考虑平方差公式，三项考虑完全平方公式。x4-2x2y2+y43）因式分解要彻底。）因式分解要彻底。4）（可用整式的乘法检验）但不走回头路。）（可用整式的乘法检验）但不走回头路。m4-1=(m2+1)(m2-1)=(m2+1)(m+1)(m-1)=(m2+1)(m2-1)第二十七页，本课件共有58页找出下列各多项式中的公因式找出下列各多项式中的公因式找一找找一找公因式公因式系数系数字母字母35a6ab各项系数的各项系数的最最大大公约数公约数取每项中含有的取每项中含有的相同字母相同字母问问:多项式中
18、的公因式是如何确定的？多项式中的公因式是如何确定的？指数指数相同字母的最相同字母的最低低次幂次幂第二十八页，本课件共有58页易易错错分分析析1、把下列各式分解因式：把下列各式分解因式：1）18-2b 2)x4 1第二十九页，本课件共有58页2.选择题：选择题：1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（下列各式能用平方差公式分解因式的是（）A.4X+y B.4 x-(-y)C.-4 X-y D.-X+y2)-4a+1分解因式的分解因式的结结果果应应是是 （）A.-(4a+1)(4a-1)B.-(2a 1)(2a 1)C.-(2a +1)(2a+1)D.-(2a+1)(2a-1)DD第三十页，本课件
19、共有58页拓展提高拓展提高1.把下列多项式因式分解把下列多项式因式分解1).6x(a+2b)2-3x(a+2b)2).(b-a)2-2a+2b3).a(a-b)2+(b-a)3提公因式法因式分解提公因式法因式分解第三十一页，本课件共有58页1)13.80.125+86.22)0.7332-0.32633)33+112+664)已知已知a+b=5,ab=3,求求a2b+ab2的值的值.巧计妙算巧计妙算18第三十二页，本课件共有58页3.解方程解方程:(5x+3)(5x+6)-(5x+3)(5x+7)=0(x-2004)2=(2004-x)(2005-x)提公因式法因式分解提公因式法因式分解第三十
20、三页，本课件共有58页()()x216练习：分解下列各式练习：分解下列各式:（1）x2-16 解：解：(1)（2）9m2-4n2 xx()()a2b2aabb()()x2 4242x2(2)9m2-4n2 3m3m()()a2aabb(3m)2 (2n)2(2n)2(3m)2b22n2n第三十四页，本课件共有58页平方差公式的应用题：平方差公式的应用题：1、利用分解因式简便计算、利用分解因式简便计算(1)652-642 (2)5.42-4.62(3)(4)解解:652-642=(65+64)(65-64)=1291=129 解解:5.42-4.62 =(5.4+4.6)(5.4-4.6)=10
21、0.8 =8答案答案:5答案答案:28第三十五页，本课件共有58页提高题：提高题：2、已知、已知 ,求（求（a+b）2-(a-b)2的值。的值。解解:(a+b)2-(a-b)2 =(a+b)+(a-b)(a+b)-(a-b)=2a2b =4ab当当 ，时，时，原式原式=4 =第三十六页，本课件共有58页3、求、求证证:当当n是整数是整数时时，两个，两个连续连续奇数的平方差奇数的平方差 (2n+1)2-(2n-1)2是是8的倍数。的倍数。第三十七页，本课件共有58页思考：思考：(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a
22、-b)2第三十八页，本课件共有58页完全平方公式完全平方公式a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2用他们可以把一个三项式分解因式的用他们可以把一个三项式分解因式的特点特点：两项是两个数两项是两个数(式）的式）的平方平方另一项是加上另一项是加上(或减去或减去)这两个数（式）这两个数（式）积的两倍积的两倍第三十九页，本课件共有58页完全平方例题讲解完全平方例题讲解完全平方例题讲解完全平方例题讲解(1)(1)(1)(1)x2-4x+4 =x2-22x+22 =(x-2)2a2+2a+1=a2+2a1+12=（a+1）2 a2+10a+25=a2+2a()+()2=(a+)2
23、555 X2+12ax+36a2=X2+2x6a+(6a)2=(x+6a)2第四十页，本课件共有58页小练习小练习(2)(2)4a2+25b2-20ab=(2a)2-22a5b+(5b)2=(2a-5b)2 -8x2y-2x3-8xy2 =-2x(x2+4xy+4y2)=-2x(x+2y)2第四十一页，本课件共有58页动手做动手做已知已知x=a+2b,y=a-2b，求求:x+xy+y 2 2第四十二页，本课件共有58页 1、已知、已知a+b=5，ab=-2，求（求（1）a2+b2 （2）a-ba2+b2=(a+b)2-2ab(a-b)2=(a+b)2-4ab2、已知、已知a2-3a+1=0，求
24、（，求（1）（2）3、已知、已知 求求x2-2x-3的值的值第四十三页，本课件共有58页4.若若(x-m)2=x2+8x+n,求求mn的值的值5.若若9x2-mx+4是一个完全平方式，求是一个完全平方式，求m的值的值6.若若(m+n)2=11,(m-n)2=7.求求5mn的值的值第四十四页，本课件共有58页7.在整式在整式4x2+1中加上一个单项式使之成为完全中加上一个单项式使之成为完全平方式，则应添平方式，则应添 。8.在式在式 子子 中加上一个单项式使之成为完全平方的中加上一个单项式使之成为完全平方的形式，则应添形式，则应添 。第四十五页，本课件共有58页9.若若(2m-3n)2=(2m+
25、3n)2+A成立，成立，A应为应为 。10.若若x2+2mx+36是完全平方式，是完全平方式，求求m的值的值第四十六页，本课件共有58页11.已知：已知：a+b=5,ab=3,求求a2+b2的值的值12.已知：已知：a-b=3,a2+b2=17，求，求(a+b)2的值的值13.已知：已知：ab=12,a2+b2=25,求求(a-b)2的值的值第四十七页，本课件共有58页14.已知：已知：m2+n2+4m-6n+13=0,求求mn的值。的值。第四十八页，本课件共有58页考查知识点：（当考查知识点：（当m,n是正整数时）是正整数时）1、同底数幂的乘法：、同底数幂的乘法：am an=am+n 2、幂
26、的乘方、幂的乘方:(am)n=amn 3、积的乘方、积的乘方:(ab)n=an bn 4、合并同类项、合并同类项:计算：计算：x3(-x)5-(-x4)2-(-2x3)4-(-x10)(-x)2解此类题应注意明确法则及各自运算的特点，避免混淆解此类题应注意明确法则及各自运算的特点，避免混淆.第四十九页，本课件共有58页计算：计算：(1)(-2a 2+3a+1)(-2a)3(2)5x(x2+2x+1)-3(2x+3)(x-5)(3)(2m2 1)(m 4)-2(m2+3)(2m 5)注意点：注意点：1、计算时应注意运算法则及运算顺序、计算时应注意运算法则及运算顺序2、在进行多项式乘法运算时，注意
27、不要漏、在进行多项式乘法运算时，注意不要漏 乘，以及各项符号是否正确。乘，以及各项符号是否正确。第五十页，本课件共有58页计算：计算：(1)(1-x)(1+x)(1+x2)-(1-x2)2(2)(x2+32)2-(x+3)2(x-3)2第五十一页，本课件共有58页 (2x-1)2-(3x+1)(3x-1)+2(x-1)2 (x+4y-6z)(x-4y+6z)(x-2y+3z)2第五十二页，本课件共有58页例例1、已知：、已知：x2+y2+6x-8y+25=0,求求x,y的值；的值；第五十三页，本课件共有58页1、已知、已知x2-2mx+16 是完全平方式，则是完全平方式，则m=_4、如果、如果
28、(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63,那么那么a+b=_2、已知、已知x2-8x+m是完全平方式，则是完全平方式，则m=_3、已知、已知x2-8x+m2是完全平方式，则是完全平方式，则m=_41644-mx85.若若 则则m=()A.3 B.-10 C.-3 D.-5A第五十四页，本课件共有58页观察观察:请你用正整数请你用正整数n的等式表示你发现的规律的等式表示你发现的规律 _.正整数正整数n第五十五页，本课件共有58页观察下列各组数观察下列各组数,请用字母表示它们的规律请用字母表示它们的规律n是正整数是正整数第五十六页，本课件共有58页观察下列各组数观察下列各组数,请用字母表示它们的规律请用字母表示它们的规律n是正整数是正整数第五十七页，本课件共有58页感谢大家观看第五十八页，本课件共有58页