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1、第一章 常用逻辑用语【知识点梳理】1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.2、命题的构成“若，则”形式的命题中的称为命题的条件，称为命题的结论.3、四种命题原命题：“若，则” 逆命题： “若，则” 否命题：“若，则” 逆否命题：“若，则”4、四种命题的真假性之间的关系：（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系5、充分条件、必要条件和充要条件若，则是的充分条件，是的必要条件若，则是的充要条件（充分必要条件）（1）从逻辑推理关系上看：若，则是充分条件，是的必要条件；若，
2、但 ，则是充分而不必要条件;若 ，但，则是必要而不充分条件;若且，则是的充要条件；若 且 ，则是的既不充分也不必要条件.（2）从集合与集合之间的关系上看：已知满足条件，满足条件：若,则A是B充分条件；若,则A是B必要条件；若A B，则A是B充分而不必要条件;若B A，则A是B必要而不充分条件;若，则A是B的充要条件；若且，则A是B的既不充分也不必要条件.6、逻辑联结词与复合命题（1）逻辑连接词： 且(and) 或（or） 非（not）.（2）复合命题有三种形式：或（）；且（）；非（）.（3）复合命题的真假判断真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真“或”形式复合命题的真假判断方法：一真必真；“
3、且”形式复合命题的真假判断方法：一假必假；“非”形式复合命题的真假判断方法：真假相对.7、全称量词“所有的”、“任意一个”等，用“”表示； 全称命题p：； 全称命题p的否定p：。存在量词“存在一个”、“至少有一个”等，用“”表示； 特称命题p：； 特称命题p的否定p：；【典型例题】题型一：四种命题之间的关系【例1】判断下列命题的真假(1)若xAB，则xB的逆命题与逆否命题；(2)若0x5，则|x2|3的否命题与逆否命题；(3)设a、b为非零向量，如果ab，则ab0的逆命题和否命题【例2】判断下列命题的真假(1)对于任意x，若x30，则x30；(2)若x3或x5，则(x3)(x6)0.题型二：充
4、要条件的应用【例3】若p：2a0,0b1；q：关于x的方程x2axb0有两个小于1的正根，则p是q的什么条件？【例4】设p：实数x满足x24ax3a20，a0.且非p是非q的必要不充分条件，求实数a的取值范围题型三：逻辑连接词的应用【例5】设命题p：函数f(x)lg的定义域为R；命题q：函数在区间-,1上为减函数；如果命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，求实数a的取值范围题型四：全称命题与特称命题【例6】写出下列命题的否定，并判断其真假(1)32；(2)54；(3)对任意实数x，x0；(4)有些质数是奇数【例7】已知函数f(x)x22x5.(1)是否存在实数m，使不等式mf(x)0对于任意
5、xR恒成立，并说明理由(2)若存在一个实数x0，使不等式mf(x0)0成立，求实数m的取值范围【巩固练习】1. 命题的逆否命题是（ ）A. ； B. C. ； D. 2. 下列各小题中，p 是q的充要条件的是 （ ）. （1）有两个不同的零点。（2） （3）（4） A.(1) B.(2) C.(3) D.(4)3. 如果命题“p 且 q”与命题“p 或 q”都是假命题，那么 （ ） A.命题“非 p”与命题“非 q”的真值不同 B.命题 p与命题“非 q”的真值相同 C.命题 q 与命题“非 p”的真值相同 D.命题“非 p且非 q”是真命题 4. 若命题 p的逆命题是 q， 命题 p的否命题
6、是r，则 q 是 r的 （ ） A.逆命题 B.否命题 C.逆否命题 D.以上结论都不正确 5. 写出命题“若 x2 +7x -8= 0 ，则 x =-8 或 x = 1 ”的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假。6. 写出下列命题的否定： （1）所有的矩形都是平行四边形； （2）有些实数的绝对值是正数.7. 给出下列命题: p:q: （1）若pq为真命题，求a的取值范围。（2）若pq为真命题，求a的取值范围。8. 已知函数区间- 1,1 的所有的 x,都有 f(x ) 0 恒成立，求 p的取值范围.例题答案：例1 解(1)若xAB，则xB是假命题，故其逆否命题为假，逆命题为若xB，
7、则xAB，为真命题(2)0x5，2x23，0|x2|3.原命题为真，故其逆否命题为真否命题：若x0或x5，则|x2|3.例如当x，3.故否命题为假(3)原命题：a，b为非零向量，abab0为真命题逆命题：若a，b为非零向量，ab0ab为真命题否命题：设a，b为非零向量，a不垂直bab0也为真例2解(1)x30，有x30，命题为真；(2)当x5时，(x3)(x6)0，命题为假例3解若a1，b，则a24b0，关于x的方程x2axb0无实根，故pq.若关于x的方程x2axb0有两个小于1的正根，不妨设这两个根为x1、x2，且0x1x21，则x1x2a，x1x2b. 于是0a2,0b1， 即2a0,0
8、b1，故qp.所以，p是q的必要不充分条件例4解设Ax|px|x24ax3a20，a0x|3axa，a0x|x4或x2非p是非q的必要不充分条件， q是p的必要不充分条件AB，或，解得a0恒成立得，a2.q：函数的对称轴为且在区间-,1上为减函数，a1.p或q为真，p且q为假，p与q一真一假若p真q假，a2且a0可化为mf(x)，即mx22x5(x1)24.要使m(x1)24对于任意xR恒成立，只需m4即可故存在实数m，使不等式mf(x)0对于任意xR恒成立，此时，只需m4.(2)不等式mf(x0)0可化为mf(x0)，若存在一个实数x0，使不等式mf(x0)成立，只需mf(x)min.又f(x)(x1)24，f(x)min4，m4.所以，所求实数m的取值范围是(4，)7学科网（北京）股份有限公司