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1、关于函数的连续与间断关于函数的连续与间断第一页，本课件共有58页一、函数的连续性一、函数的连续性1.函数的增量函数的增量第二页，本课件共有58页2.连续的定义连续的定义第三页，本课件共有58页第四页，本课件共有58页例例1 1证证由定义由定义2知知第五页，本课件共有58页3.单侧连续单侧连续定理定理第六页，本课件共有58页例例2 2解解右连续但不左连续右连续但不左连续,第七页，本课件共有58页4.连续函数与连续区间连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的叫做在该区间上的连连续函数续函数,或者说函数在该区间上连续或者说函数在该区间上连续.连续函数的
2、图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如例如,第八页，本课件共有58页例例3 3证证第九页，本课件共有58页二、函数的间断点及其分类二、函数的间断点及其分类第十页，本课件共有58页1.跳跃间断点跳跃间断点例例4 4解解第十一页，本课件共有58页2.可去间断点可去间断点例例5 5第十二页，本课件共有58页解解注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义定义,则可使其变为连续点则可使其变为连续点.第十三页，本课件共有58页如例如例5中中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特
3、点特点第十四页，本课件共有58页3.第二类间断点第二类间断点例例6 6解解第十五页，本课件共有58页例例7 7解解注意注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点不要以为函数的间断点只是个别的几个点.第十六页，本课件共有58页狄利克雷函数狄利克雷函数在定义域在定义域R内每一点处都间断内每一点处都间断,且都是第二类间断且都是第二类间断点点.仅在仅在x=0处连续处连续,其余各点处处间断其余各点处处间断.第十七页，本课件共有58页在定义域在定义域 R内每一点处都间断内每一点处都间断,但其绝对值处处连但其绝对值处处连续续.判断下列间断点类型判断下列间断点类型:第十八页，本课件共有58页例例8 8解解第十
4、九页，本课件共有58页三、连续函数的运算三、连续函数的运算定理定理1 1例如例如,第二十页，本课件共有58页定理定理2 2 严格单调的连续函数必有严格单调的连严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数续反函数.例如例如,反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续.第二十一页，本课件共有58页定理定理3 3证证第二十二页，本课件共有58页将上两步合起来将上两步合起来:第二十三页，本课件共有58页意义意义1.极限符号可以与函数符号互换极限符号可以与函数符号互换;例例9 9解解第二十四页，本课件共有58页例例1010解解同理可得同理可得第二十五页，本课件共有58页定理定理4 4注意注意
5、定理定理4是定理是定理3的特殊情况的特殊情况.例如例如,第二十六页，本课件共有58页四、初等函数的连续性四、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的连续的.第二十七页，本课件共有58页定理定理5 5 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的.(均在其定义域内连续均在其定义域内连续)定理定理6 6 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连续内都是连续的的.定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间.第二十八页，本课件共有58页1.初等函数仅在其定义区间内连续初等函数仅在其定义区间内
6、连续,在其在其定义域内不一定连续定义域内不一定连续;例如例如,这些孤立点的邻域内没有定义这些孤立点的邻域内没有定义.在在0点的邻域内没有定义点的邻域内没有定义.注意注意注意注意2.初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法代入法代入法.第二十九页，本课件共有58页例例1111例例1212解解解解第三十页，本课件共有58页五、闭区间上连续函数的性质五、闭区间上连续函数的性质定义定义:例如例如,第三十一页，本课件共有58页定定理理1(1(最最大大值值和和最最小小值值定定理理)在在闭闭区区间间上上连连续续的的函函数一定有最大值和最小值数一定有最大值和最小值.注意注意:1.若区间是开区间若区间是开区间,
7、定理不一定成立定理不一定成立;2.若区间内有间断点若区间内有间断点,定理不一定成立定理不一定成立.第三十二页，本课件共有58页定定理理2(2(有有界界性性定定理理)在在闭闭区区间间上上连连续续的的函函数数一一定定在在该该区间上有界区间上有界.证证第三十三页，本课件共有58页定义定义:第三十四页，本课件共有58页几何解释几何解释:第三十五页，本课件共有58页几何解释几何解释:MBCAmab证证由零点定理由零点定理,第三十六页，本课件共有58页推论推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 与最小值与最小值 之间的任何值之间的任何值.例例1313证证由零点定理由
8、零点定理,第三十七页，本课件共有58页例例1414证证由零点定理由零点定理,第三十八页，本课件共有58页六、小结六、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数区间上的连续函数;第一类间断点第一类间断点:可去型可去型,跳跃型跳跃型.第二类间断点第二类间断点:无穷型无穷型,振荡型振荡型.间断点间断点(见下图见下图)第三十九页，本课件共有58页可去型可去型第第一一类类间间断断点点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第第二二类类间间断断点点oyxoyxoyx第四十页，本课件共有58页4.连续函数的和差积
9、商的连续性连续函数的和差积商的连续性.6.复合函数的连续性复合函数的连续性.7.初等函数的连续性初等函数的连续性.定义区间与定义域的区别定义区间与定义域的区别;求极限的又一种方法求极限的又一种方法.两个定理两个定理;两点意义两点意义.5.反函数的连续性反函数的连续性.第四十一页，本课件共有58页8.有界性定理有界性定理;最值定理最值定理;介值定理介值定理;根的存在性定根的存在性定理理.注意注意1闭区间；闭区间；2连续函数连续函数这两点不满足上述定理不一定成立这两点不满足上述定理不一定成立解题思路解题思路直接法直接法:先利用最值定理先利用最值定理,再利用介值定理再利用介值定理;辅助函数法辅助函数
10、法:先作辅助函数先作辅助函数F(x),再利用零点定理再利用零点定理;第四十二页，本课件共有58页思考题思考题1第四十三页，本课件共有58页思考题思考题1解答解答且且第四十四页，本课件共有58页但反之不成立但反之不成立.例例但但第四十五页，本课件共有58页思考题思考题2第四十六页，本课件共有58页思考题思考题2解答解答是它的可去间断点是它的可去间断点第四十七页，本课件共有58页思考题思考题3下述命题是否正确？下述命题是否正确？第四十八页，本课件共有58页思考题思考题3解答解答不正确不正确.例函数例函数第四十九页，本课件共有58页练练 习习 题题 1第五十页，本课件共有58页第五十一页，本课件共有58页练习题练习题1答案答案第五十二页，本课件共有58页第五十三页，本课件共有58页练练 习习 题题 2第五十四页，本课件共有58页第五十五页，本课件共有58页第五十六页，本课件共有58页练习题练习题2答案答案第五十七页，本课件共有58页感感谢谢大大家家观观看看08.12.2022第五十八页，本课件共有58页