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1、 函数的连续与间断函数的连续与间断一一.函数的连续性函数的连续性二二.左连续与右连续左连续与右连续三三.连续函数与连续区间连续函数与连续区间四四.函数的间断点函数的间断点一一.函数的连续性函数的连续性预备知识：函数的增量预备知识：函数的增量对自变量的增量对自变量的增量有有函数的增量函数的增量定义定义2 2设设在在 内有定义内有定义,如果如果连续连续则称则称 在点在点或对自变量的增量有函数的增量左连续右连续函数在点连续有下列等价命题:机动 目录 上页 下页 返回 结束 可见,函数在点定义定义3:在的某邻域内有定义,则称函数(1)在点即(2)极限(3)设函数连续必须具备下列条件:存在;且有定义,存
2、在;机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1 1证证由定义由定义3知，知，二二.左连续与右连续左连续与右连续定理定理1例例2 2解解右连续但不左连续右连续但不左连续,三三.连续函数与连续区间连续函数与连续区间 在在(a,b)区间上每一点都连续的函数区间上每一点都连续的函数,叫做在该叫做在该区间上的区间上的连续函数连续函数,并称区间并称区间(a,b)为连续区间为连续区间.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例例3.证明函数在内连续.证证:即这说明在内连续.同样可证:函数在内连续.机动 目录 上页 下页 返回 结束 四四.函数的间断点函数的间断点定义定义
3、4在在(1)函数(2)函数不存在;(3)函数存在,但 不连续:设在点的某去心邻域内有定义,则下列情形这样的点之一函数 f(x)在点虽有定义,但虽有定义,且称为间断点间断点.在无定义;间断点分类间断点分类:第一类间断点第一类间断点:及均存在,若称若称第二类间断点第二类间断点:及中至少一个不存在,称若其中有一个为振荡,称若其中有一个为为可去间断点.为跳跃间断点.为无穷间断点无穷间断点.为振荡间断点振荡间断点.机动 目录 上页 下页 返回 结束 为其无穷间断点.为其振荡间断点.为可去间断点.例如例如:机动 目录 上页 下页 返回 结束 显然为其可去间断点.(4)(5)为其跳跃间断点.机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结左连续右连续第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在 第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型在点连续的等价形式机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1.讨论函数x=2 是第二类无穷间断点.间断点的类型.2.设时提示提示:为连续函数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 答案答案:x=1 是第一类可去间断点,作业作业 P64 2(1);4(1)(2)