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1、量子力学第二章第一页，本课件共有57页第二章第二章 波函数和薛定谔方程波函数和薛定谔方程(波函数的理解波函数的理解)平面波的频率和波矢都是不随时间或位置改变平面波的频率和波矢都是不随时间或位置改变与自由粒子的能量和动量都是不随时间或位置改变对应与自由粒子的能量和动量都是不随时间或位置改变对应自由粒子用平面波表示：自由粒子用平面波表示：它的能量和动量不再是常量，这时粒子就不能用平面它的能量和动量不再是常量，这时粒子就不能用平面波描写而必须用较复杂的波函数来描写。波描写而必须用较复杂的波函数来描写。波函数是一个复数波函数是一个复数 如粒子受到随时间或位置而变化的力场的作用如粒子受到随时间或位置而变
2、化的力场的作用?第二页，本课件共有57页第二章 波函数和薛定谔方程(波函数的理解波函数的理解)如何理解波函数的意义如何理解波函数的意义?不同看法不同看法 争论很大争论很大以电子为例以电子为例1 1波是由粒子组成的波是由粒子组成的 粒子是基本的波只是大量粒子分布密度的变化有点粒子是基本的波只是大量粒子分布密度的变化有点象纵波，密、疏、密、疏集体行为干涉衍射是由因密象纵波，密、疏、密、疏集体行为干涉衍射是由因密度波的叠加度波的叠加 实验实验 电子束强度减弱，弱到一个一个地发射长时间后电子束强度减弱，弱到一个一个地发射长时间后有干涉象有干涉象 单个粒子就有波动性单个粒子就有波动性 夸大了粒子性夸大了
3、粒子性第三页，本课件共有57页第二章第二章 波函数和薛定谔方程波函数和薛定谔方程(波函数的理解)粒子的实质是波粒子的实质是波2 2 认为粒子是由波所组成认为粒子是由波所组成 即粒子是即粒子是de-Brogliede-Broglie波在空间有限区域中的物质波包波在空间有限区域中的物质波包 波包真空色散特性决定包波必然扩散波包真空色散特性决定包波必然扩散 估算估算1010-8-8cm 1cm 1经过经过1010-6-6S S 会扩散到会扩散到10103 3cmcm 夸大了波动性夸大了波动性第四页，本课件共有57页第二章第二章 波函数和薛定谔方程波函数和薛定谔方程(波函数的理解)到底电子是什么？波函
4、数是什么？到底电子是什么？波函数是什么？人们所普通接受的观点为人们所普通接受的观点为 电子电子 即不是粒子也不是波即不是粒子也不是波-确切地说不是经典粒子，确切地说不是经典粒子，也不是经典的波也不是经典的波但人我们说，即是粒子，又是波，它是粒子和波动两但人我们说，即是粒子，又是波，它是粒子和波动两重性的矛盾统一，这个波不是经典概念下的波重性的矛盾统一，这个波不是经典概念下的波 第五页，本课件共有57页第二章第二章 波函数和薛定谔方程波函数和薛定谔方程(波函数的理解)怎么理解怎么理解？经典物理中粒子经典物理中粒子 有确定的质量有确定的质量 坐标坐标 轨道轨道 仔细分析粒子有确切的轨道是牛顿力学的
5、概念，从来没仔细分析粒子有确切的轨道是牛顿力学的概念，从来没有无限精确地为实验证实过有无限精确地为实验证实过分析分析所以很可能坐标和轨道地概念是宏观情况下的近视所以很可能坐标和轨道地概念是宏观情况下的近视同时电荷、质量、体现出的粒子性与确切坐标和轨道无必然联同时电荷、质量、体现出的粒子性与确切坐标和轨道无必然联系系 第六页，本课件共有57页第二章第二章 波函数和薛定谔方程波函数和薛定谔方程(波函数的理解)经典物理中的波经典物理中的波在经典物理中总是意味着某种实际的物理量在空间分布作在经典物理中总是意味着某种实际的物理量在空间分布作周期性的变化周期性的变化分析分析而更重要的是呈现出干涉与衍射现象
6、而更重要的是呈现出干涉与衍射现象干涉衍射的本质在于波的相干叠加性并不一定要求与某干涉衍射的本质在于波的相干叠加性并不一定要求与某种实际的物理量在空间分布联系在一起。种实际的物理量在空间分布联系在一起。第七页，本课件共有57页第二章第二章 波函数和薛定谔方程波函数和薛定谔方程(波函数的理解波函数的理解)3 3 认为正确的理解认为正确的理解-几率波 是刻画粒子在空间的几率分布的几率波而已是刻画粒子在空间的几率分布的几率波而已 BornBorn（19261926年提出几率波的概念）基本原理年提出几率波的概念）基本原理不是经典物理波那样代表什么实在的物理量的波动不是经典物理波那样代表什么实在的物理量的
7、波动 为了阐明这个概念，分析一个比较简单的电子双为了阐明这个概念，分析一个比较简单的电子双缝衍射实验缝衍射实验 实验 第八页，本课件共有57页第二章 波函数和薛定谔方程(波函数的理解波函数的理解)实验结果和分析实验结果和分析结果结果:电子一个一个地通过电子一个一个地通过(大量同时通过略大量同时通过略)开始屏上出现一个一个的感光点，反映出粒子性开始屏上出现一个一个的感光点，反映出粒子性时间不长时，似平是毫无规律的分布时间不长时，似平是毫无规律的分布时间再长，点子数目增多，逐渐形成衍射图样，反映时间再长，点子数目增多，逐渐形成衍射图样，反映出波动性出波动性分析分析:图样反映出感光的强度图样反映出感
8、光的强度r r处强度处强度 正比正比r r感光点数目感光点数目 r r处出现电子的数目处出现电子的数目 r r处电子出处电子出现在现在r r处的几率处的几率 注意电子是一个一个发现的，注意电子是一个一个发现的，r r处的几乎处的几乎是每个电子出在的几率是每个电子出在的几率实验 第九页，本课件共有57页第二章第二章 波函数和薛定谔方程波函数和薛定谔方程(波函数的理解)一个被经常问的问题一个被经常问的问题 到底电子从那个孔穿过到底电子从那个孔穿过?外行外行 几率波的含义几率波的含义经典轨道概念量子力学的方法已不同经典轨道概念量子力学的方法已不同 无确定坐标无确定坐标,轨道轨道观测观测 确定从哪里过
9、确定从哪里过不观测不观测 几率幅几率幅-不确定不确定-更深的理解？更深的理解？可能到哲学层次可能到哲学层次第十页，本课件共有57页第二章第二章 波函数和薛定谔方程波函数和薛定谔方程(波函数的理解波函数的理解)如知道了粒子的波函数，由波函数可给出了粒子在空间任意一如知道了粒子的波函数，由波函数可给出了粒子在空间任意一点出现的几率点出现的几率 以坐标为自变量，空间测到的几率以坐标为自变量，空间测到的几率 更深的意义将不断学到更深的意义将不断学到 第十一页，本课件共有57页第二章第二章 波函数和薛定谔方程波函数和薛定谔方程(波函数的理解波函数的理解)讨论讨论 从经典粒子到量子力学的粒子的波动性几率波
10、，有从经典粒子到量子力学的粒子的波动性几率波，有何认识？何认识？到现在粒子出现问题上到现在粒子出现问题上 仍然保留了粒子的颗粒性仍然保留了粒子的颗粒性不能用坐标能量等经典中，能量等是坐标的函数，描述状态量不能用坐标能量等经典中，能量等是坐标的函数，描述状态量子力学已不一样。以后知道许多物理量不在同时确定子力学已不一样。以后知道许多物理量不在同时确定对粒子或电子到底是什么没有更深地发展对粒子或电子到底是什么没有更深地发展 对粒子或电子怎么样有更深的发展对粒子或电子怎么样有更深的发展。第十二页，本课件共有57页在在 空间，几率密度正比与空间，几率密度正比与 第二章第二章 波函数和薛定谔方程波函数和
11、薛定谔方程(波函数的理解)波函数的几个特点及相关数学表示式：波函数的几个特点及相关数学表示式：1 1、几率密度、几率密度 总几率为总几率为1 1 在空间各处出现的几率只决于相对几率，在空间各处出现的几率只决于相对几率，在描写出现几率上函数的振幅改变不影响分布，所以可乘在描写出现几率上函数的振幅改变不影响分布，所以可乘以系数使总几率为以系数使总几率为1 1几率正比与几率正比与直接系坐标中直接系坐标中空间区域空间区域第十三页，本课件共有57页第二章 波函数和薛定谔方程(波函数的理解波函数的理解)对有限空间对有限空间 v v 几率几率 对整个空间对整个空间:总几率为总几率为 1,1,即即:所以所以
12、归一化波函数归一化波函数第十四页，本课件共有57页第二章 波函数和薛定谔方程(波函数的理解)绝对几率绝对几率几率密度几率密度不能归一的，相对几率率度有意义不能归一的，相对几率率度有意义 例如：例如：平面波平面波 第十五页，本课件共有57页第二章第二章 波函数和薛定谔方程波函数和薛定谔方程(波函数的理解波函数的理解)2 2、还可以乘一相位因子、还可以乘一相位因子 几率密度几率密度 波函数波函数 实数虚数单位3 3、以其它量为自标量、以其它量为自标量 （表象，力学量的求法）（表象，力学量的求法）第十六页，本课件共有57页第二章 波函数和薛定谔方程(波函数的理解波函数的理解)4 4、N N 粒子体系
13、，波函数粒子体系，波函数 以下表达式的意义以下表达式的意义？第i个粒子的坐标体系在体系在3 3 x n x n 维空间中的几率密度维空间中的几率密度 第第i i个粒子在空间个粒子在空间 中的几率中的几率 第第1 1个粒子在空间个粒子在空间 中的几率中的几率 第第n n个粒子在空间个粒子在空间 中的几率中的几率 第十七页，本课件共有57页2.2 态的叠加原理上节上节 用波函数来描述微观粒子的量子状态用波函数来描述微观粒子的量子状态,经典物理中坐标，动量等概念，叫法被沿用，经典物理中坐标，动量等概念，叫法被沿用，但性质或意义发生了变化但性质或意义发生了变化物理最有许多可能值，每个可能值各以一定的几
14、率出现物理最有许多可能值，每个可能值各以一定的几率出现 例一粒子，波函数为例一粒子，波函数为则在小体积元则在小体积元 点（点（x x、y y、z z）邻域体元邻域体元 内内 中的几率中的几率 测量该粒子的位置，会得到不同的值，这些值以一定的几测量该粒子的位置，会得到不同的值，这些值以一定的几率出现。率出现。第十八页，本课件共有57页2.2 2.2 态的叠加原理态的叠加原理波粒二象性还导致别一个基本原理，态叠加原理波粒二象性还导致别一个基本原理，态叠加原理或说二象性（波性）通过态叠加原理表现出来或说二象性（波性）通过态叠加原理表现出来 首先来看动量分布几率首先来看动量分布几率 给出在处给出在处
15、找到粒子的几率密度找到粒子的几率密度 哪么进一步词其他力学量如何分布？例如，动量哪么进一步词其他力学量如何分布？例如，动量 动量为确定值动量为确定值 的粒子波函数是平面波的粒子波函数是平面波完全自由粒子，动量确定，坐标不确定，无限大空间完全自由粒子，动量确定，坐标不确定，无限大空间第十九页，本课件共有57页2.2 态的叠加原理态的叠加原理一般来说，一般来说，是一个波色，由多种平面单色波叠加而成是一个波色，由多种平面单色波叠加而成,即即含有各种波长（频率或动量含有各种波长（频率或动量）的分波的分波即数学上任何波函数可写成如下形式即数学上任何波函数可写成如下形式 上两式为上两式为FourierFo
16、urier变换变换 和和 相互完全确定相互完全确定不连续时是不连续时是什么形式？什么形式？第二十页，本课件共有57页 和 相互完全确定2.2 2.2 态的叠加原理态的叠加原理如何理解？如何理解？（1 1）一个东西两种描述）一个东西两种描述 两种表象两种表象 由以上知表示的量子态由以上知表示的量子态 动量不确定按一定几乎分布动量不确定按一定几乎分布 现在就有一个问题：一个粒了的状态已用现在就有一个问题：一个粒了的状态已用 完全确定完全确定下来，测到粒子动量时，动量又有一定的几率分布，如何下来，测到粒子动量时，动量又有一定的几率分布，如何理解有时出现理解有时出现 有时出现有时出现？以坐标为函数给出
17、空间几率分布以坐标为函数给出空间几率分布 坐标表象坐标表象以动量为函数给出动量几率分布以动量为函数给出动量几率分布 动量表象动量表象表示力显为的几率密度表示力显为的几率密度第二十一页，本课件共有57页 体系处于体系处于 描述的状态下，测量某力学量描述的状态下，测量某力学量A,A,得得假设体系处于假设体系处于 描述的状态下，测量某力学量描述的状态下，测量某力学量A,A,得得2.2 2.2 态的叠加原理态的叠加原理应理解为应理解为 态的叠加态的叠加 则则 也是体系的可能状态也是体系的可能状态 （c 为任意复数）为任意复数）在该态上测量力学量在该态上测量力学量A A 有时出现有时出现 有时出现有时出
18、现 出现的几率分别为出现的几率分别为 称称 是是 和和 的叠加态的叠加态 和和 是力学量是力学量A A的本正态的本正态 （有确定值）（有确定值）非本征态叠加原理依然成立非本征态叠加原理依然成立 第二十二页，本课件共有57页2.2 态的叠加原理态的叠加原理的几率密度的几率密度干涉，衍射的实质在于波的叠加干涉，衍射的实质在于波的叠加波的叠加出现出现干涉，衍射图样的根源波的叠加出现出现干涉，衍射图样的根源在于叠加中的交叉相的出现在于叠加中的交叉相的出现第二十三页，本课件共有57页2.2 态的叠加原理态的叠加原理进一步理解叠加原理（与经典光学对比）进一步理解叠加原理（与经典光学对比）量子力学中电磁场不
19、能被无限分割，是由光量子组成任何测量子力学中电磁场不能被无限分割，是由光量子组成任何测量光强的装置，只能一个一个地测到整光子，我们可以认为一量光强的装置，只能一个一个地测到整光子，我们可以认为一个偏振光束中，每一个光了处于一定的偏振态个偏振光束中，每一个光了处于一定的偏振态经典物理中经典物理中 相互垂直的线性偏振光相互垂直的线性偏振光叠加后在空间中叠加后在空间中 强度相等时强度相等时 c1=c2c1=c2c1=c2 量子力学中态的叠加数形式上与经典波叠加相同，但物理量子力学中态的叠加数形式上与经典波叠加相同，但物理意上有根本的差异意上有根本的差异 各种力学量几率的大小各种力学量几率的大小第二十
20、四页，本课件共有57页2.2 2.2 态的叠加原理态的叠加原理进一步理解叠加原理（与经典光学对比）进一步理解叠加原理（与经典光学对比）量子力学中态的叠加数形式上与经典波叠加相同，但物理意量子力学中态的叠加数形式上与经典波叠加相同，但物理意上有根本的差异上有根本的差异 经典物理经典物理 光强或振幅的平方光强或振幅的平方量子力学量子力学 各种力学量的几率各种力学量的几率量子力学量子力学 光子的两个态的叠加，干涉是自己与自己干涉，光子的两个态的叠加，干涉是自己与自己干涉，自己可能态的干涉决不是两个光子的互相干涉自己可能态的干涉决不是两个光子的互相干涉 经典物理经典物理 光分成两束光分成两束 两束之间
21、的干涉两束之间的干涉误解误解 光子分成数目各一半的两束，然后一束中的光子与光子分成数目各一半的两束，然后一束中的光子与另一束中的光子干涉另一束中的光子干涉第二十五页，本课件共有57页2.3 薛定谔方程薛定谔方程 一个微观粒子的量子态用波函数一个微观粒子的量子态用波函数 描述，波函数描述，波函数确定后，粒子的任何一个力学量的平均值以及它取各种确定后，粒子的任何一个力学量的平均值以及它取各种可能测值的几率完全确定。可能测值的几率完全确定。下一步，核心的问题要解决量子态下一步，核心的问题要解决量子态 怎样随时间怎样随时间变化，及在各种具体情况下如何求出波函数变化，及在各种具体情况下如何求出波函数 薛
22、定谔在薛定谔在1926年提出的波动方程成功地年提出的波动方程成功地 1923 德布罗意德布罗意 抽出物质波抽出物质波 1926年初年初 薛定谔提出方程薛定谔提出方程 1926年后期年后期 M.Born提出波函数的几率解释提出波函数的几率解释 第二十六页，本课件共有57页2.3 2.3 薛定谔方程薛定谔方程 经典物理中经典物理中 质点在某一时刻质点在某一时刻 t t0 0 状态已知后，由质点的运动学方程就可状态已知后，由质点的运动学方程就可以求出任一时刻质点的状态。牛顿运动方程以求出任一时刻质点的状态。牛顿运动方程 思路相同思路相同 量子力学中量子力学中 t t0 0 时状态已知，以后时刻粒子的
23、时状态已知，以后时刻粒子的状态也要由一个方程来决定。状态也要由一个方程来决定。薛方程薛方程 薛方程是一个基本公设，不是由其他公设导出，更不是由经薛方程是一个基本公设，不是由其他公设导出，更不是由经典理论导出。典理论导出。它的正确性由它导出的结论和实验是否符合来检验它的正确性由它导出的结论和实验是否符合来检验 回想经典物理很多理论的产生也一样如此回想经典物理很多理论的产生也一样如此用的多了，用的多了，成功的次数多了，就承认了，就是成功的次数多了，就承认了，就是“真理真理”了了 第二十七页，本课件共有57页2.3 2.3 薛定谔方程薛定谔方程 建立方程，必满三个条件建立方程，必满三个条件必须是含有
24、时间微商的微分方程必须是含有时间微商的微分方程方程是线性的方程是线性的 态迭加原理要求态迭加原理要求 ，是方程的解（可能状态）是方程的解（可能状态）也应是其解（可能状态）也应是其解（可能状态）方程的系数不包含状态参量如动量、能量等方程的系数不包含状态参量如动量、能量等 系数如含状态参量，则方程只能为某些状态（如具有确系数如含状态参量，则方程只能为某些状态（如具有确定能量、动量的状态）所满足，而不能为各种可能态所满定能量、动量的状态）所满足，而不能为各种可能态所满足，即不是普遍方程。足，即不是普遍方程。第二十八页，本课件共有57页2.3 2.3 薛定谔方程薛定谔方程 现来建立现来建立(寻找寻找)
25、满足上述条件的方程。满足上述条件的方程。先对波函数已知的自由粒子得出方程先对波函数已知的自由粒子得出方程,再推广到一般情况。再推广到一般情况。自由粒子波函数平面波，是所要建立方程的解自由粒子波函数平面波，是所要建立方程的解对上式对时间求偏微商对上式对时间求偏微商系数含能量系数含能量E E 第二十九页，本课件共有57页2.3 2.3 薛定谔方程 对对对坐标求二次偏微商对坐标求二次偏微商同样同样第三十页，本课件共有57页2.3 2.3 薛定谔方程薛定谔方程 以上三式相加以上三式相加 自有粒子的能量，动量关系式自有粒子的能量，动量关系式比较比较，式式 得得 这就是自由粒子这就是自由粒子的薛方程的薛方
26、程 线性线性？第三十一页，本课件共有57页2.3 2.3 薛定谔方程薛定谔方程 形式上分析一下形式上分析一下、式可写成式可写成形式上有形式上有对经典理论对经典理论的继承和发的继承和发展展又有又有a a a a第三十二页，本课件共有57页2.3 2.3 薛定谔方程薛定谔方程 利用以上对应关系利用以上对应关系,得到一般情况下薛方程得到一般情况下薛方程 坐标不变坐标不变（1 1）上式两边上式两边乘乘以以 哈密顿量哈密顿量（2 2）将式中各量做替换）将式中各量做替换 势能做法：做法：第三十三页，本课件共有57页2.3 2.3 薛定谔方程薛定谔方程 多粒子体系薛方程多粒子体系薛方程 第三十四页，本课件共
27、有57页2.3 2.3 薛定谔方程薛定谔方程 注意注意:(1)(1)不是推导出，基本假设之一不是推导出，基本假设之一(2)(2)非相对论方程非相对论方程,相对论中相对论中Klein-GordonKlein-Gordon方程方程(3)(3)波函数必定是复函数波函数必定是复函数左边有系数左边有系数i i右边如是实函数不含右边如是实函数不含i i则不含理则不含理i i第三十五页，本课件共有57页2.4 2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律粒子流密度和粒子数守恒定律粒子流密度和粒子数守恒定律粒子流密度和粒子数守恒定律薛方程薛方程-波函数波函数-状态随时间变化规律状态随时间变化规律进一步讨论粒子在一定空间
28、区域内出现的几率怎样随时间变化进一步讨论粒子在一定空间区域内出现的几率怎样随时间变化 设描写粒子状态的函数是设描写粒子状态的函数是 几率密度几率密度 几率密度随时间变化率是几率密度随时间变化率是 问题：想得出，右边的具体形式，明显的物理意义问题：想得出，右边的具体形式，明显的物理意义 获左边意义清楚，右边不清晰获左边意义清楚，右边不清晰第三十六页，本课件共有57页2.4 2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律粒子流密度和粒子数守恒定律粒子流密度和粒子数守恒定律粒子流密度和粒子数守恒定律由薛方程由薛方程取共轭取共轭 代入代入 第三十七页，本课件共有57页左边表示单位时间内体系左边表示单位时间内体系V
29、 V中，粒子出现几率的变化（增加）中，粒子出现几率的变化（增加）右边右边 对对 的面积分，流入的几率的面积分，流入的几率几率守恒，粒子数守恒几率守恒，粒子数守恒 几率流密度矢量几率流密度矢量2.4 2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律粒子流密度和粒子数守恒定律令令所以所以 具有连续性方程形式具有连续性方程形式 将上式对空间任意体积将上式对空间任意体积V V积分积分 第三十八页，本课件共有57页对平方可积波函数对平方可积波函数 ，2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律粒子流密度和粒子数守恒定律当当V V趋于无限大，积分区域扩展到整个空间趋于无限大，积分区域扩展到整个空间当当 时，则时，则 整个空间找到
30、粒子的几率不随时间改变整个空间找到粒子的几率不随时间改变第三十九页，本课件共有57页2.4 2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律粒子流密度和粒子数守恒定律粒子流密度和粒子数守恒定律粒子流密度和粒子数守恒定律以粒子质量以粒子质量 乘乘 和和 则则 以粒子质量以粒子质量 e e 乘乘 和和 则则 第四十页，本课件共有57页2.4 2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律粒子流密度和粒子数守恒定律粒子流密度和粒子数守恒定律粒子流密度和粒子数守恒定律有何意义？一个粒子，大量粒子有何意义？一个粒子，大量粒子质量密度？质量密度？质量流密度？质量流密度？电荷密度？电荷密度？电流密度？电流密度？电流的概念是什么？电流
31、的概念是什么？经典一个电子电流如何理解？经典一个电子电流如何理解？出现几率，还是电子弥散物质分布？出现几率，还是电子弥散物质分布？第四十一页，本课件共有57页几率流几率流 连续连续 =波函数波函数 连续连续 波函数的微商连续波函数的微商连续2.4 2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律粒子流密度和粒子数守恒定律粒子流密度和粒子数守恒定律粒子流密度和粒子数守恒定律几率几率 单值单值 有限有限=单值单值 有限有限波函数应满足哪些条件？波函数应满足哪些条件？注意注意：在有限问题上，波函数和其微商在保持积分：在有限问题上，波函数和其微商在保持积分为可积的条件下可以趋于无限大为可积的条件下可以趋于无限大 有
32、限性真实含义有限性真实含义电波函数的意义决定电波函数的意义决定 （有限、连续、单值）（有限、连续、单值）第四十二页，本课件共有57页2.5 2.5 定态薛定谔方程 其中势能部分：其中势能部分：是时间和坐标的函数是时间和坐标的函数 势场变势场变一般情况下，薛定谔方程为一般情况下，薛定谔方程为 如果如果 不含时间（写为不含时间（写为 ），薛方程的解可用分离，薛方程的解可用分离变量法进行简化，即有以下形式的特解。变量法进行简化，即有以下形式的特解。目前我们先讨论目前我们先讨论 与时间无关的情况与时间无关的情况 因左边含时间因左边含时间右边不含时间右边不含时间 方程的通解可表示为许多以上形式的特解的迭
33、加方程的通解可表示为许多以上形式的特解的迭加将上特解代入薛定谔方程，并两边用将上特解代入薛定谔方程，并两边用 除得：除得：第四十三页，本课件共有57页2.5 2.5 定态薛定谔方程 左边只和时间有关，右边只和坐标有关，左边只和时间有关，右边只和坐标有关，时间和坐标是相互独立的变量时间和坐标是相互独立的变量只有当两边都等于同一常量时，等式才解成立只有当两边都等于同一常量时，等式才解成立 设此常量为设此常量为 E E的意义现在不知的意义现在不知 左边含时间左边含时间右边不含时间右边不含时间方程化为方程化为一直成立一直成立相互独立的相互独立的两个方程两个方程（1）（2）方程（方程（1）的通解）的通解
34、分离变量法解分离变量法解第四十四页，本课件共有57页2.5 2.5 定态薛定谔方程定态薛定谔方程 分析以上形式解，与时间的关系是正弦式的分析以上形式解，与时间的关系是正弦式的它的解频率它的解频率方程（方程（2）的解因的解因 而定而定常德布罗意关系常德布罗意关系 方程中的常数德布罗意关系中的能量可见常数可见常数 E E 就是能量就是能量C归到 第四十五页，本课件共有57页2.5 2.5 定态薛定谔方程定态薛定谔方程 所描述的量子状态能量有确定值，该状态称为定态所描述的量子状态能量有确定值，该状态称为定态上波函数称定态波函数上波函数称定态波函数 （1）的解由的解由 及连界边件而定及连界边件而定 可
35、见可见方程方程 定态薛定谔方程定态薛定谔方程 注意：注意：（2）与时间无关的定态问题，关键是与时间无关的定态问题，关键是解相应的定态方程解相应的定态方程第四十六页，本课件共有57页2.5 定态薛定谔方程定态薛定谔方程 能量算符能量算符什么是算符？什么是算符？有何作用？有何作用？广义上，作用在波函数上，使得波函数成为另一个波函广义上，作用在波函数上，使得波函数成为另一个波函数。数。是一种操作。是一种操作。表示力学量的算符，可得到对应的力学量的测量值或平表示力学量的算符，可得到对应的力学量的测量值或平均值均值第四十七页，本课件共有57页2.5 2.5 定态薛定谔方程定态薛定谔方程 由由 哈密顿算符
36、哈密顿算符 定态薛定谔方程可写为定态薛定谔方程可写为知知 和和 等价，能量算符等价，能量算符 注意上方程的特点？注意上方程的特点？左边是算符作用到波函数左边是算符作用到波函数右边是一个实数乘以该波函数右边是一个实数乘以该波函数本征方程本征方程本征值本征值波函数力学量算符第四十八页，本课件共有57页2.5 定态薛定谔方程定态薛定谔方程 定态问题，就是求解体系定态方程，定态问题，就是求解体系定态方程，一般情况下，一般情况下，E 有多个可能值有多个可能值 同时对应多个本征函数同时对应多个本征函数 一般解一般解得到可能的状态对应的定态波函数，本征值。得到可能的状态对应的定态波函数，本征值。第四十九页，
37、本课件共有57页2.6 2.6 一维无限深势阱一维无限深势阱一维无限深势阱一维无限深势阱 一维空间中运动的粒子一维空间中运动的粒子满足的薛方程定态满足的薛方程定态 而此区域外无限大而此区域外无限大势能在一定区域内势能在一定区域内 为零为零 复习，体会用薛复习，体会用薛方程解定态问题方程解定态问题第五十页，本课件共有57页2.6 2.6 一维无限深势阱一维无限深势阱一维无限深势阱一维无限深势阱 以上所讲边界条件以上所讲边界条件 意思是说粒子即使具有波动性，也意思是说粒子即使具有波动性，也难以渗透进非常高的势垒区里。难以渗透进非常高的势垒区里。同时注意边界条件同时注意边界条件 问题归结为求在阱内定
38、态薛方程问题归结为求在阱内定态薛方程 问题：以上方程的解可以是实函数，不一定是复函数？问题：以上方程的解可以是实函数，不一定是复函数？与时间微分对应的初条件在哪里？与时间微分对应的初条件在哪里？第五十一页，本课件共有57页2.6 2.6 一维无限深势阱一维无限深势阱 由边界条件（连续性条件）由边界条件（连续性条件）求解阱内定态薛方程求解阱内定态薛方程 问题：任意常数怎么确定？问题：任意常数怎么确定？是否满足物理意义？是否满足物理意义？以上方程的通解以上方程的通解 第五十二页，本课件共有57页（1）无意义，舍去无意义，舍去 2.6 一维无限深势阱一维无限深势阱一维无限深势阱一维无限深势阱（2）从
39、以上两式得：从以上两式得：三种情况：三种情况：（3）n=0 则则 波函数为零，波函数为零，无意义，舍去无意义，舍去 第五十三页，本课件共有57页2.6 2.6 一维无限深势阱一维无限深势阱一维无限深势阱一维无限深势阱 （2）,（3）两种情况都有意义，所以）两种情况都有意义，所以奇数对应奇数对应（2），偶数对应（），偶数对应（3）从而得到能量的允许值从而得到能量的允许值对应于量子数对应于量子数 n 的全部可能值，有无限多个能量可能值的全部可能值，有无限多个能量可能值 组成体系的分立能级组成体系的分立能级能量能量第五十四页，本课件共有57页2.6 2.6 一维无限深势阱一维无限深势阱一维无限深势阱
40、一维无限深势阱 波函数波函数常数常数 A 如何确定？如何确定？合并写成：合并写成：归一化条件归一化条件波函数是实函数？时间呢？波函数是实函数？时间呢？第五十五页，本课件共有57页2.6 2.6 一维无限深势阱一维无限深势阱一维无限深势阱一维无限深势阱 讨论讨论（1）因为）因为向右传播向左传播第五十六页，本课件共有57页 无限远处为零的波函数所描写的状态无限远处为零的波函数所描写的状态2.6 2.6 一维无限深势阱一维无限深势阱一维无限深势阱一维无限深势阱（2）时时 粒子波束傅在势阱内，束缚态粒子波束傅在势阱内，束缚态一般情况下，束缚态的能级是分立的，一般情况下，束缚态的能级是分立的，体系能量最低的态称为基态体系能量最低的态称为基态 （不为零）（不为零）本征波函数，本征能量本征波函数，本征能量第五十七页，本课件共有57页