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1、第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波 本章内容本章内容 3.1 静电场分析静电场分析 3.2 导电媒质中的恒定电场分析导电媒质中的恒定电场分析 3.3 恒定磁场分析恒定磁场分析 3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理静态场的边值问题及解的惟一性定理 3.5 镜像法镜像法 3.6 分离变量法分离变量法 静态电磁场：静态电磁场：场量不随时间变化，包括：场量不随时间变化，包括：静电场、恒定电场和恒定磁场静电场、恒定电场和恒定磁场 时变情况下，电场和磁场相互关联
2、，构成统一的电磁场时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场 静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立 第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波3.1 静电场分析静电场分析 学习内容学习内容 3.1.1 静电场的基本方程和边界条件静电场的基本方程和边界条件 3.1.2 电位函数电位函数 3.1.3 导体系统的电容与部分电容导体系统的电容与部分电容 3.1.4 静电场的能量静电场的能量 3.1.5 静电力静电力第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁
3、场与电磁波2.边界条件边界条件微分形式：微分形式：本构关系：本构关系：1.基本方程基本方程积分形式：积分形式：或或若分界面上不存在面电荷，即若分界面上不存在面电荷，即S S0 0，则，则或或3.1.1 静电场的基本方程和边界条件静电场的基本方程和边界条件第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波介质介质2 2介质介质1 1 在静电平衡的情况下，导体内部的电场为在静电平衡的情况下，导体内部的电场为0，则导体表面的边，则导体表面的边界条件为界条件为 或或 场矢量的折射关系场矢量的折射关系 导体表面的边界条件导体表面的边界条件第3章 静态电磁场及其边值问
4、题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波由由即即静电场可以用一个标量函数的梯度来表示，静电场可以用一个标量函数的梯度来表示，标量函数标量函数 称为静称为静电场的标量电位或简称电位。电场的标量电位或简称电位。1.电位函数的定义电位函数的定义3.1.2 电位函数电位函数第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波2.电位的表达式电位的表达式对于连续的体分布电荷，由对于连续的体分布电荷，由面电荷的电位：面电荷的电位：故得故得点电荷的电位：点电荷的电位：线电荷的电位：线电荷的电位：第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的
5、解电磁场与电磁波电磁场与电磁波3.电位差电位差两端点乘两端点乘 ，则有，则有将将上式两边从点上式两边从点P到点到点Q沿任意路径进行积分，得沿任意路径进行积分，得关于电位差的说明关于电位差的说明 P、Q 两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从P点移至点移至Q 点点 所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处；所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处；电位差也称为电压，可用电位差也称为电压，可用U 表示；表示；电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。P、Q 两点间的电位差两点
6、间的电位差电场力做电场力做的功的功第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波 静电位不惟一，可以相差一个常数，即静电位不惟一，可以相差一个常数，即选参考点选参考点令参考点电位为零令参考点电位为零电位确定值电位确定值(电位差电位差)两点间电位差有定值两点间电位差有定值 选择电位参考点的原则选择电位参考点的原则 应使电位表达式有意义；应使电位表达式有意义；应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，通常取无应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，通常取无 限远作电位参考点；限远作电位参考点；同一个问题只能有一个参考点。同一个问题只能有一个参考点。4
7、.电位参考点电位参考点 为为使使空空间间各各点点电电位位具具有有确确定定值值，可可以以选选定定空空间间某某一一点点作作为为参参考考点点，且且令令参参考考点点的的电电位位为为零零，由由于于空空间间各各点点与与参参考考点点的的电电位位差差为为确确定值，所以该点的电位也就具有确定值，即定值，所以该点的电位也就具有确定值，即第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波 例例 3.1.1 求电偶极子的电位求电偶极子的电位.解解 在球坐标系中在球坐标系中用二项式展开，由于，得用二项式展开，由于，得代入上式，得代入上式，得 表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。表
8、示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。+q电偶极子电偶极子zodq第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波将将 和和 代入上式，代入上式，解得解得E线方程为线方程为 由球坐标系中的梯度公式，可得到电偶极子的远区电场强度由球坐标系中的梯度公式，可得到电偶极子的远区电场强度等位线等位线电场线电场线电偶极子的场图电偶极子的场图电场线微分方程电场线微分方程：等位线方程等位线方程：第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波 解解 选定均匀电场空间中的一点选定均匀电场空间中的一点o为坐标原点，而任意点为坐标原点，而
9、任意点P 的的位置矢量为位置矢量为 ，则，则若选择点若选择点o为电位参考点，即为电位参考点，即 ，则，则 在球坐标系中，取极轴与在球坐标系中，取极轴与 的方向一的方向一致，即致，即 ，则有，则有例例3.1.2 求均匀电场的电位分布。求均匀电场的电位分布。在圆柱面坐标系中，取在圆柱面坐标系中，取 与与x轴方向一致，即轴方向一致，即 ，而，而 ，故，故 第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波xyzL-L 解解 采用圆柱面坐标系，令线电荷与采用圆柱面坐标系，令线电荷与 z 轴相重合，中点位于轴相重合，中点位于坐标原点。由于轴对称性，电位与坐标原点。由
10、于轴对称性，电位与 无关。无关。在带电线上位于在带电线上位于 处的线元处的线元 ，它，它到点到点 的距离的距离 ，则则 例例3.1.3 求长度为求长度为2L、电荷线密度为、电荷线密度为 的均匀带电线的电位。的均匀带电线的电位。第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波 在上式中若令在上式中若令 ，则可得到无限长直线电荷的电位。当，则可得到无限长直线电荷的电位。当 时，上式可写为时，上式可写为 当当 时，上式变为无穷大，这是因为电荷不是分布在有限区域时，上式变为无穷大，这是因为电荷不是分布在有限区域内，而将电位参考点选在无穷远点之故。这时可在上式中加
11、上一内，而将电位参考点选在无穷远点之故。这时可在上式中加上一个任意常数，则有个任意常数，则有并选择有限远处为电位参考点。例如，选择并选择有限远处为电位参考点。例如，选择=a 的点为电位参的点为电位参考点，则有考点，则有第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波在均匀介质中，有在均匀介质中，有5.电位的微分方程电位的微分方程在无源区域，在无源区域，标量泊松方程标量泊松方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波6.静电位的边界条件静电位的边界条件 设设P1和和P2是是介介质质分分
12、界界面面两两侧侧紧紧贴贴界界面面的的相相邻邻两两点点，其其电电位位分分别为别为 1和和 2。当两点间距离当两点间距离l0时时 若介质分界面上无自由电荷，即若介质分界面上无自由电荷，即导体表面上电位的边界条件：导体表面上电位的边界条件：由由 和和媒质媒质2媒质媒质1常数，常数，第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波 例例3.1.4 两块无限大接地导体平板分别置于两块无限大接地导体平板分别置于x=0和和 x=a 处，处，在两板之间的在两板之间的 x=b 处有一面密度为处有一面密度为 的均匀电荷分布，如图所示。的均匀电荷分布，如图所示。求两导体平板之
13、间的电位和电场。求两导体平板之间的电位和电场。解解 在两块无限大接地导体平板之间，除在两块无限大接地导体平板之间，除 x=b 处有均匀面电处有均匀面电荷分布外，其余空间均无电荷分布，故电位函数满足一维拉普拉荷分布外，其余空间均无电荷分布，故电位函数满足一维拉普拉斯方程斯方程方程的解为方程的解为obaxy两两块块无限大平行板无限大平行板第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波利用边界条件，有利用边界条件，有 处，处，最后得最后得 处，处，处，处，所以所以由此解得由此解得第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场
14、与电磁波电容器广泛应用于电子设备的电路中：电容器广泛应用于电子设备的电路中：在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁 路、选频等作用；路、选频等作用；通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂 电路；电路；在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以 减少电能的损失和提高电气设备的利用率；减少电能的损失和提高电气设备的利用率；3.1.3 导体系统的电容与部分电容导体系统的电容与部分电容第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态
15、电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波 电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统储存电荷能电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统储存电荷能力的物理量。力的物理量。孤立导体的电容定义为所带电量孤立导体的电容定义为所带电量q与其电位与其电位 的比值，即的比值，即1.电容电容 孤立导体的电容孤立导体的电容 两个带等量异号电荷（两个带等量异号电荷（q）的导的导 体组成的电容器，其电容为体组成的电容器，其电容为 电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质 的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。的特性参数有关，而与导
16、体的带电量和电位无关。第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波(1)假定两导体上分别带电荷假定两导体上分别带电荷+q 和和-q；(2)计算两导体间的电场强度计算两导体间的电场强度E；计算电容的步骤：计算电容的步骤：(4)求比值求比值 ，即得出所求电容。，即得出所求电容。(3)由由 ，求出两导体间的电位差；，求出两导体间的电位差；第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波 解解：设内导体的电荷为设内导体的电荷为q q，则由高斯定理可求得内外导体间，则由高斯定理可求得内外导体间的电场的电场同心导体间的电压
17、同心导体间的电压球形电容器的电容球形电容器的电容当当 时，时，例例3.1.5 同心球形电容器的内导体半径为同心球形电容器的内导体半径为a、外导体半径为、外导体半径为b，其间填充介电常数为其间填充介电常数为的均匀介质。的均匀介质。求此球形电容器的电容。求此球形电容器的电容。孤立导体球的电容孤立导体球的电容第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波 例例 3.1.6 如图所示的平行双线传输线，导线半径为如图所示的平行双线传输线，导线半径为a，两导线，两导线的轴线距离为的轴线距离为D，且，且D a，求传输线单位长度的电容。，求传输线单位长度的电容。解解
18、设两导线单位长度带电量分别为设两导线单位长度带电量分别为 和和 。由于。由于 ，故，故可近似地认为电荷分别均匀分布在两可近似地认为电荷分别均匀分布在两导线的表面上。应用高斯定理和叠加原导线的表面上。应用高斯定理和叠加原理，可得到两导线之间的平面上任一点理，可得到两导线之间的平面上任一点P 的电场强度为的电场强度为两导线间的电位差两导线间的电位差故单位长度的电容为故单位长度的电容为第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波 例例3.1.7(自己看）自己看）同轴线内导体半径为同轴线内导体半径为a，外导体半径为为，外导体半径为为b，内外，内外导体间填充的
19、介电常数为导体间填充的介电常数为 的均匀介质，的均匀介质，求同轴线单位长度的电容。求同轴线单位长度的电容。内外导体间的电位差内外导体间的电位差 解解 设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为 和和 ，应，应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为故得同轴线单位长度的电容为故得同轴线单位长度的电容为同同轴线轴线第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波u 静电独立系统静电独立系统D线从这个系统中的带电体发出，并终止于该系统中线从这个系统中的带电体发出，并终止于该系
20、统中 的其余带电体，与外界无任何联系，即的其余带电体，与外界无任何联系，即2 2 多导体系统、部分电容多导体系统、部分电容1)1)电位系数电位系数u 线性、多导体线性、多导体(三个以上导体三个以上导体)组成的系统；组成的系统；u 部分电容概念部分电容概念 多导体系统中，一个导体在其余导体影响下与另一个多导体系统中，一个导体在其余导体影响下与另一个导体构成的电容。导体构成的电容。以接地导体为电位参考点以接地导体为电位参考点,导体的电位与各导体上的电荷的关系为导体的电位与各导体上的电荷的关系为三导体静电独立系统三导体静电独立系统第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电
21、磁波电磁场与电磁波 以此类推以此类推（n+1)n+1)个多导体系统只有个多导体系统只有n n个电位线性独立方程个电位线性独立方程，即，即电位系数，电位系数，表明各导体电荷对电位的贡献；表明各导体电荷对电位的贡献；自有电位系数，自有电位系数，表明导体表明导体 上带上带1C正电荷，其它导体不带电时，导体正电荷，其它导体不带电时，导体 上上的电位。的电位。写成矩阵形式为写成矩阵形式为（非独立方程）注：注：的值可以通过给定各导体电荷的值可以通过给定各导体电荷 ,计算各导体的电位计算各导体的电位 而得。而得。互有电位系数，互有电位系数，表明导体表明导体 上带上带1C正电荷，而其它导体均不带电时，导体正电
22、荷，而其它导体均不带电时，导体 上的电位；上的电位；第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波2)2)电容系数电容系数电容系数，电容系数，表示导体电位对导体电荷的贡献；表示导体电位对导体电荷的贡献；自有电容系数，自有电容系数，表示导体表示导体 电位为电位为1V，其它导体接地时，导体，其它导体接地时，导体 上的感应电荷；上的感应电荷；互有电容系数，互有电容系数，表示导体表示导体 电位为电位为1V，其它导体接地时，导体，其它导体接地时，导体 上的感应电荷；上的感应电荷；通常，通常，的值可以通过给定各导体的电位的值可以通过给定各导体的电位 ，测量各导体的
23、电荷，测量各导体的电荷 而得。而得。第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波3)3)部分电容部分电容（矩阵形式）（矩阵形式）式中：式中：C部分电容，它表明各导体间电压对各导体电荷的贡献；部分电容，它表明各导体间电压对各导体电荷的贡献；（互有部分电容）；（互有部分电容）；（自有部分电容）。（自有部分电容）。部分电容性质部分电容性质:互有部分电容互有部分电容 ，即即为对称阵；为对称阵；(n+1)(n+1)个导体静电独立系统中，共应有个导体静电独立系统中，共应有 个部分电容；个部分电容；部分电容是否为零部分电容是否为零,取决于两导体之间有否电力线相连。
24、？取决于两导体之间有否电力线相连。？所有部分电容都是正值，且仅与导体的形状、尺寸、相互位置及介质的所有部分电容都是正值，且仅与导体的形状、尺寸、相互位置及介质的 值有关；值有关；第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波解：解：1 1）先求电位系数先求电位系数，设导体球带电量为，设导体球带电量为1C，球壳带电量为，球壳带电量为0，取无限远处，取无限远处为电势为电势0点，由高斯定理，当点，由高斯定理，当ra时，时，例例3.1.8：同心球形电容器的内导体半径为：同心球形电容器的内导体半径为a、外导体半径为、外导体半径为b。求。求此系统的电位系数、电容系
25、数和部分电容。此系统的电位系数、电容系数和部分电容。第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波设导体球带电量为设导体球带电量为0，球壳带电量为，球壳带电量为1C ，由高斯定理，当，由高斯定理，当bra时，电场为时，电场为0，rb时，时，2）电容系数）电容系数 电容系数矩阵为电位系数矩阵的逆矩阵电容系数矩阵为电位系数矩阵的逆矩阵3）部分电容）部分电容第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波 在多导体系统中，把其中任意两个在多导体系统中，把其中任意两个导体作为电容器的两个电极，设在这导体作为电容器的两个电
26、极，设在这两个电极间加上电压两个电极间加上电压U，极板上所带，极板上所带电荷分别为电荷分别为 ，则比值，则比值 称为这两个导体间的等效电容。称为这两个导体间的等效电容。（4 4）等效电容）等效电容如图所示，有三个部分电容如图所示，有三个部分电容导线导线 1 和和 2 间的等效电容为间的等效电容为导线导线 1 和大地间的等效电容为和大地间的等效电容为导线导线 2 和大地间的等效电容为和大地间的等效电容为1 12 2大地大地大地上空的平行双导线大地上空的平行双导线第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波 如果充电过程进行得足够缓慢，就不会有能量辐射，
27、充电过如果充电过程进行得足够缓慢，就不会有能量辐射，充电过程中外加电源所作的总功将全部转换成电场能量，或者说电场能程中外加电源所作的总功将全部转换成电场能量，或者说电场能量就等于外加电源在此电场建立过程中所作的总功。量就等于外加电源在此电场建立过程中所作的总功。静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量静电场最基本的特征是对电荷有作用力，这表明静电场具有静电场最基本的特征是对电荷有作用力，这表明静电场具有 能量。能量。任何形式的带电系统，都要经过从没有电荷分布到某个最终任何形式的带电系统，都要经过从没有电荷分布到某个最终电荷分布的建立电
28、荷分布的建立(或充电或充电)过程。在此过程中，外加电源必须克服过程。在此过程中，外加电源必须克服电荷之间的相互作用力而作功。电荷之间的相互作用力而作功。3.1.4 静电场的能量静电场的能量 第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波静电能量是在电场的建立过程中，由外力作功转化而来的。静电能量是在电场的建立过程中，由外力作功转化而来的。1)带电体群系统的静电能量带电体群系统的静电能量1 1 带电系统中的静电能量带电系统中的静电能量 设设每每个个带带电电体体的的最最终终电电位位为为 ，最最终终电电荷荷为为 。假假设设在在建建立系统过程中的任一时刻，各个
29、带电体的电量均是各自终值的立系统过程中的任一时刻，各个带电体的电量均是各自终值的 倍倍，即即带带电电量量为为 ，电电位位为为 ，经经过过一一段段时时间间，带带电电体体i的的电电量量增增量量为为 ，外源对它所作的功为外源对它所作的功为 。外源对。外源对n个带电体作功为个带电体作功为 因而，电场能量的增量为因而，电场能量的增量为 第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波在整个过程中，电场的储能为在整个过程中，电场的储能为 2)电荷连续分布带电体系统的静电能量电荷连续分布带电体系统的静电能量对于电荷连续分布带电体，将其分割成一系列体积元对于电荷连续分布
30、带电体，将其分割成一系列体积元 ，假定某一时刻带，假定某一时刻带电体的电势为电体的电势为 ，此时外力将无限远处一电荷增量，此时外力将无限远处一电荷增量 移动到该处，则移动到该处，则外力做总功外力做总功（系统静电能量）（系统静电能量）为：为：同理，对于面电荷和线电荷分布系统的电场能量分别为：同理，对于面电荷和线电荷分布系统的电场能量分别为：第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波式（式（1）对于静电独立系统也同样适用：）对于静电独立系统也同样适用：如，电容器极板带电如，电容器极板带电q，电压，电压U，则电容器储能为：，则电容器储能为：第3章 静态电
31、磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波2 2 静电场能量密度静电场能量密度 利用关系式利用关系式和和能量密度函数能量密度函数两者都可两者都可作为静电作为静电场能量计场能量计算公式但算公式但意义不同意义不同能否作为能能否作为能量密度函数量密度函数由矢量恒等式由矢量恒等式上式第一项上式第一项静电场能量既可以通过电荷的分布计算，也可以通过电场计算，但能量密度函静电场能量既可以通过电荷的分布计算，也可以通过电场计算，但能量密度函数只能表示为电场的函数。数只能表示为电场的函数。凡是静电场不为零的空凡是静电场不为零的空间中都储存着静电能。静电间中都储存着静电能。静电能是
32、以电场的形式存在于空能是以电场的形式存在于空间，而不是以电荷或电位的间，而不是以电荷或电位的形式存在于空间中的形式存在于空间中的。第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波 例例3.1.9 半径为半径为a 的球形空间内均匀分布有电荷体密度为的球形空间内均匀分布有电荷体密度为的电的电荷，试求静电场能量。荷，试求静电场能量。解解：方法一方法一，利用利用 计算计算 根据高斯定理求得电场强度根据高斯定理求得电场强度 故故第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波 方法二方法二：利用利用 计算计算 先求出电位分布
33、先求出电位分布 故故第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波 已已知知带带电电体体的的电电荷荷分分布布，原原则则上上，根根据据库库仑仑定定律律可可以以计计算算带带电电体体电电荷荷之之间间的的电电场场力力。但但对对于于电电荷荷分分布布复复杂杂的的带带电电系系统统，根根据据库库仑仑定定律律计计算算电电场场力力往往往往是是非非常常困困难难的的，因因此此通通常常采采用用虚虚位位移移法法来来计算静电力。计算静电力。虚位移法虚位移法：假设第假设第i个带电个带电导体在电场力导体在电场力Fi的作用下发生位移的作用下发生位移dgi，则电场力做功，则电场力做功dAF
34、idgi，系统的静电能量改变为，系统的静电能量改变为dWe。根据根据能量守恒定律，该系统的功能关系为能量守恒定律，该系统的功能关系为其中其中dWS是与各带电体相连接的外电源所提供的能量。是与各带电体相连接的外电源所提供的能量。具体计算中，可假定各带电导体的电位不变，或假定各带电具体计算中，可假定各带电导体的电位不变，或假定各带电导体的电荷不变。导体的电荷不变。3.1.5 静电力静电力第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波1.各带电导体的电位不变各带电导体的电位不变此时，各带电导体应分别与外电压源连接，外电压源向系统提供的能量此时，各带电导体应分
35、别与外电压源连接，外电压源向系统提供的能量系统所改变的静电能量系统所改变的静电能量即即此时，所有带电体都不和外电源相连接，则此时，所有带电体都不和外电源相连接，则 dWS0，因此，因此2.各带电导体的电荷不变各带电导体的电荷不变式中的式中的“”号表示电场力做功是靠减少系统的静电能量来实现的。号表示电场力做功是靠减少系统的静电能量来实现的。不变不变q不变不变第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波3.2 导电媒质中的恒定电场分析导电媒质中的恒定电场分析 由由J J E E 可知，导体中若存在恒定电流，则必有维持该电流可知，导体中若存在恒定电流，则必
36、有维持该电流的电场，虽然导体中产生电场的电荷作定向运动，但导体中的电的电场，虽然导体中产生电场的电荷作定向运动，但导体中的电荷分布是一种不随时间变化的恒定分布，这种恒定分布电荷产生荷分布是一种不随时间变化的恒定分布，这种恒定分布电荷产生的电场称为恒定电场。的电场称为恒定电场。恒定电场与静电场重要区别：恒定电场与静电场重要区别：（1 1）恒定电场可以存在导体内部。）恒定电场可以存在导体内部。（2 2）恒定电场中有电场能量的损耗）恒定电场中有电场能量的损耗,要维持导体中的恒定电要维持导体中的恒定电流，就必须有外加电源来不断补充被损耗的电场能量。流，就必须有外加电源来不断补充被损耗的电场能量。第3章
37、 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波3.2.1 恒定电场的基本方程和边界条件恒定电场的基本方程和边界条件1.1.基本方程基本方程 恒定电场的基本方程（电源外）为恒定电场的基本方程（电源外）为微分形式：微分形式：积分形式：积分形式：恒定电场的基本场矢量是电流密度恒定电场的基本场矢量是电流密度 和电场强度和电场强度 线性各向同性导电媒质的本构关系线性各向同性导电媒质的本构关系 恒定电场（电源外）的电位函数恒定电场（电源外）的电位函数由由若媒质是线性均匀的，则若媒质是线性均匀的，则 第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁
38、波电磁场与电磁波2.恒定电场的边界条件恒定电场的边界条件媒质媒质2 2媒质媒质1 1 场矢量的边界条件场矢量的边界条件即即即即 导电媒质分界面上的电荷面密度导电媒质分界面上的电荷面密度场矢量的折射关系场矢量的折射关系第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波 电位的边界条件电位的边界条件 恒定电场同时存在于导体内部和外部，在导体表面上的电场恒定电场同时存在于导体内部和外部，在导体表面上的电场 既既有有法法向向分分量量又又有有切切向向分分量量，电电场场并并不不垂垂直直于于导导体体表表面面，因因 而导体表面不是等位面；而导体表面不是等位面；说明：说明：
39、第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波媒质媒质2 2媒质媒质1 1媒质媒质2 2媒质媒质1 1 如如 21、且、且 290，则则 10，即电场线近似垂直于与良导体表面。即电场线近似垂直于与良导体表面。此时，良导体表面可近似地看作为此时，良导体表面可近似地看作为 等位面；等位面；若媒质若媒质1为理想介质为理想介质，即即 10，则则 J1=0，故故J2n=0 且且 E2n=0，即即导导体体中中 的电流和电场与分界面平行的电流和电场与分界面平行。第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波3.2.2 恒定电
40、场与静电场的比拟恒定电场与静电场的比拟 如果两种场，在一定条件下，场方程有相同的形式，边界如果两种场，在一定条件下，场方程有相同的形式，边界形状相同，边界条件等效，则其解也必有相同的形式，求解这形状相同，边界条件等效，则其解也必有相同的形式，求解这两种场分布必然是同一个数学问题。只需求出一种场的解，就两种场分布必然是同一个数学问题。只需求出一种场的解，就可以用对应的物理量作替换而得到另一种场的解。这种求解场可以用对应的物理量作替换而得到另一种场的解。这种求解场的方法称为比拟法。的方法称为比拟法。第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波恒定电场与静
41、电场的比拟恒定电场与静电场的比拟基本方程基本方程静电场（静电场（区域）区域）本构关系本构关系位函数位函数边界条件边界条件恒定电场（电源外）恒定电场（电源外）对应物理量对应物理量静电场静电场恒定电场恒定电场第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波 工程上常在电容器两极板之间，同轴电缆的芯线与外壳之间，工程上常在电容器两极板之间，同轴电缆的芯线与外壳之间，填充不导电的材料作电绝缘。这些绝缘材料的电导率远远小于金填充不导电的材料作电绝缘。这些绝缘材料的电导率远远小于金属材料的电导率，但毕竟不为零，因而当在电极间加上电压属材料的电导率，但毕竟不为零，因而
42、当在电极间加上电压U 时，时，必定会有微小的漏电流必定会有微小的漏电流 J 存在。存在。漏电流与电压之比为漏电导，即漏电流与电压之比为漏电导，即其倒数称为绝缘电阻，即其倒数称为绝缘电阻，即3.2.3 漏电导漏电导第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波(1)假定两电极间的电流为假定两电极间的电流为I；(2)计算两电极间的电流密度计算两电极间的电流密度(3)矢量矢量J；(3)由由J=E 得到得到 E;(4)由由 ，求出两导，求出两导(5)体间的电位差；体间的电位差；(5)求比值求比值 ，即得出，即得出 所求电导。所求电导。计算电导的方法一计算电导的
43、方法一：计算电导的方法二计算电导的方法二：(1)假定两电极间的电位差为假定两电极间的电位差为U；(2)计算两电极间的电位分布计算两电极间的电位分布 ；(3)由由 得到得到E;(4)由由 J=E 得到得到J;(5)由由 ，求出两导体间，求出两导体间 电流；电流；(6)求比值求比值 ，即得出所，即得出所 求电导。求电导。计算电导的方法三计算电导的方法三：静电比拟法：静电比拟法：第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波 例例3.2.1 求同轴电缆的绝缘电阻。设内外的半径分别为求同轴电缆的绝缘电阻。设内外的半径分别为a、b，长度为长度为l，其间媒质的电导
44、率为，其间媒质的电导率为、介电常数为、介电常数为。解解：一：一 直接用恒定电场的计算方法直接用恒定电场的计算方法电导电导绝缘电阻绝缘电阻则则设由内导体流向外导体的电流为设由内导体流向外导体的电流为I。第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波二二 静电比拟法静电比拟法-求同轴电缆的电求同轴电缆的电容容则则电容电容静电比拟静电比拟第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波3.3.1 恒定磁场的基本方程和边界条件恒定磁场的基本方程和边界条件3.3.2 恒定磁场的矢量磁位和标量磁位恒定磁场的矢量磁位和标量磁位
45、3.3.3 电感电感3.3.4 恒定磁场的能量恒定磁场的能量3.3.5 磁场力磁场力 3.3 恒定磁场分析恒定磁场分析第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波微分形式微分形式:1.基本方程基本方程2.边界条件边界条件本构关系：本构关系：或或若分界面上不存在面电流，即若分界面上不存在面电流，即J JS S0 0，则，则积分形式积分形式:或或3.3.1 恒定磁场的基本方程和边界条件恒定磁场的基本方程和边界条件第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波 矢量磁位的定义矢量磁位的定义 磁矢位的任意性磁矢位的任
46、意性 与与电电位位一一样样，磁磁矢矢位位也也不不是是惟惟一一确确定定的的，它它加加上上任任意意一一个个标标量量 的梯度以后，仍然表示同一个磁场，即的梯度以后，仍然表示同一个磁场，即由由即恒定磁场可以用一个矢量函数的旋度来表示。即恒定磁场可以用一个矢量函数的旋度来表示。磁磁矢矢位位的的任任意意性性是是因因为为只只规规定定了了它它的的旋旋度度，没没有有规规定定其其散散度度造造成成的的。为为了了得得到到确确定定的的A，可可以以对对A的的散散度度加加以以限限制制，在在恒恒定定磁磁场中通常规定，并称为场中通常规定，并称为库仑规范库仑规范。1.恒定磁场的矢量磁位恒定磁场的矢量磁位矢量磁位或称磁矢位矢量磁位
47、或称磁矢位 3.3.2 恒定磁场的矢量磁位和标量磁位恒定磁场的矢量磁位和标量磁位第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波 磁矢位的微分方程磁矢位的微分方程在无源区：在无源区：矢量泊松方程矢量泊松方程矢量拉普拉斯方程矢量拉普拉斯方程矢量合成后，得矢量合成后，得在直角坐标系下，在直角坐标系下，可以展开为可以展开为令无限远处令无限远处 的量值为零（参考磁矢位），类比电位函数微分方程和解的的量值为零（参考磁矢位），类比电位函数微分方程和解的形式可得形式可得第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波 磁矢位的表
48、达式（由磁场表达式）磁矢位的表达式（由磁场表达式）由此可得出由此可得出（可以证明满足（可以证明满足 ）第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波 磁矢位的边界条件磁矢位的边界条件对于面电流和细导线电流回路，磁矢位对于面电流和细导线电流回路，磁矢位分别为分别为面电流面电流：细线电流细线电流：利用磁矢位计算磁通量：利用磁矢位计算磁通量：第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波 解解：先求长度为：先求长度为2L的直线电流的磁矢位。电流元的直线电流的磁矢位。电流元 到点到点 的距离的距离 。则。则 例例 3.
49、3.1 求无限长线电流求无限长线电流 I 的磁矢位，设电流沿的磁矢位，设电流沿+z方向流动。方向流动。与与计计算算无无限限长长线线电电荷荷的的电电位位一一样样，令令 可可得得到到无无限限长长线线电电流流的的磁矢位磁矢位 xyzL-L第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波2.恒定磁场的标量磁位恒定磁场的标量磁位 一一般般情情况况下下，恒恒定定磁磁场场只只能能引引入入磁磁矢矢位位来来描描述述，但但在在无无传传导导电电流（流（J0）的空间中，则有）的空间中，则有即即在在无无传传导导电电流流（J0）的的空空间间中中，可可以以引引入入一一个个标标量量位位
50、函函数数来来描述磁场。描述磁场。标量磁位的引入标量磁位的引入标量磁位或磁标位标量磁位或磁标位 磁标位的微分方程磁标位的微分方程将将 代入代入在线性、各向同性的均匀媒质中在线性、各向同性的均匀媒质中 标标量量磁磁位位的的边边界界条条件件（无源区）（无源区）和和第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波1.磁通与磁链磁通与磁链 3.3.3 电感（自学）电感（自学）单匝线圈形成的回路的磁链定单匝线圈形成的回路的磁链定 义为穿过该回路的磁通量义为穿过该回路的磁通量 多匝线圈形成的导线回路的磁多匝线圈形成的导线回路的磁 链链定定义义为为所所有有线线圈圈的的磁