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1、第四节连续型随机第四节连续型随机变量及其概率密度变量及其概率密度函数函数第一页，本课件共有61页 证证:让“交”往 方向“挤”证法证法1第二页，本课件共有61页证法证法2当当时，时，两边取极限：两边取极限：第三页，本课件共有61页这个结论的意义这个结论的意义:2.2.由此可知连续型随机量由此可知连续型随机量X X在某区间上取值的概率只与区在某区间上取值的概率只与区间长度有关间长度有关,而与区间是闭而与区间是闭,开开,半开半闭无关半开半闭无关,即有即有:(不可能的事件的概率为不可能的事件的概率为0),0),但概率但概率为零的事不一定是不可能事件为零的事不一定是不可能事件.1.从积分的几何意义上说
2、，当底边缩从积分的几何意义上说，当底边缩为一点时为一点时,曲边梯形面积退化为零曲边梯形面积退化为零.第四页，本课件共有61页2.2.概率密度函数的性质概率密度函数的性质这两条性质是判定一个函数 f(x)是否为某随机变量X 的概率密度函数的充要条件.f(x)xo面积为面积为1性质性质1性质性质2第五页，本课件共有61页 几何几何 意义意义:性质性质3第六页，本课件共有61页 物理物理 意义意义:性质性质4若若在点在点处连续，则有：处连续，则有：故故 X 的密度的密度 f(x)在在 x 这一点的值，恰好是这一点的值，恰好是X落在区间落在区间 上的概率与区间长度上的概率与区间长度 之比的极限之比的极
3、限.这里，如果把概率理解为这里，如果把概率理解为质量质量，f(x)相当于线密度，故称相当于线密度，故称 f(x)为为概率密度函数概率密度函数。第七页，本课件共有61页不计高阶不计高阶无穷小无穷小(相当于积分中值定理相当于积分中值定理 )注：注：这表示落在区间这表示落在区间 上的概率近似等于上的概率近似等于 ，称，称 为为概率微分概率微分。的值的大小直接影响关系到概率的大小，所以的值的大小直接影响关系到概率的大小，所以 的确描述了连续型随机变量的概率分布的确描述了连续型随机变量的概率分布的情况。的情况。第八页，本课件共有61页 但要但要注意注意的是：密度函数的是：密度函数 f(x)在某点处在某点
4、处 a 的高度，的高度，并不反映并不反映X 取值的概率取值的概率.但是，这个高度越大，但是，这个高度越大，则则 X 取取 a 附近的值的概附近的值的概 率就越大率就越大.也可以说，也可以说，在某点密度曲线的高度在某点密度曲线的高度 反映了概率集中在该点反映了概率集中在该点 附近的程度附近的程度.f(x)xo 在连续型在连续型随机型变量理论中所随机型变量理论中所的作用与的作用与 在离散型随机变量理在离散型随机变量理论中所起的作用相类论中所起的作用相类似似第九页，本课件共有61页证明：函数证明：函数是一个连续型随机变量的概率密度函数是一个连续型随机变量的概率密度函数.一般只需验一般只需验证证f(x
5、)性质中性质中的这两条即的这两条即可可.例例1.证明：证明：(1).显然显然,(2).第十页，本课件共有61页某电子计算机在毁坏前运行的总时间某电子计算机在毁坏前运行的总时间(单位单位:小小时时)是一个连续型随机变量是一个连续型随机变量,其密度函数为其密度函数为:(2).(2).这台计算机在毁坏前能运行这台计算机在毁坏前能运行 50 50 到到 150 150 小小 时的概率时的概率.(3).(3).运行时间少于运行时间少于100100小时的概率小时的概率.例例2.求求:(1).第十一页，本课件共有61页解解:(1)(2)50 到到 150 小时小时少于少于100100小时小时(3)(1)(2
6、)第十二页，本课件共有61页一般称一般称:则则 称称 X 为服从参数为服从参数 的的 指数分布指数分布.(3)若若 X 具有概率密度具有概率密度:第十三页，本课件共有61页f(x)确定了分布函数F(x)，f(x)是F(x)的 导函数，F(x)是f(x)的一个原函数 定义定义:二二.连续型随机变量的分布函数连续型随机变量的分布函数若定义在若定义在上的可积函数上的可积函数满足：满足：则称则称为连续型随机变量的为连续型随机变量的分布函数分布函数注注:可以验证可以验证 F(x)具备了分布函数的性质具备了分布函数的性质:F(x)是不减的函数；是不减的函数；F(x)，F(x)是是 右连续的。右连续的。第十
7、四页，本课件共有61页设有函数设有函数 F(x)F(x)能否成为某个连续随机变量能否成为某个连续随机变量 的分布函数的分布函数.函数函数 F(x)在在 上下降，即上下降，即不满足性质不满足性质(1).或者或者:故故:F(x)不能是某个连续随机变量的分布函数不能是某个连续随机变量的分布函数.例例3问问:即不满足性质即不满足性质(2).解：解：注意到注意到:第十五页，本课件共有61页解：解：它是一个变上限的广义分(2)(1)X的分布函数的分布函数例例4.(1)求求:第十六页，本课件共有61页综合上述得综合上述得:(2).第十七页，本课件共有61页解解:求求:F(x)设连续型随机变量设连续型随机变量
8、 X 的密度函数为的密度函数为 f(x)例例5.当当时时,当当第十八页，本课件共有61页即得所求的分布函数为即得所求的分布函数为:当当时时,第十九页，本课件共有61页 设随机变量设随机变量X的分布函数为的分布函数为(1)求求X取值在区间取值在区间 (0.3,0.7)的概率；的概率；(2)求求X的概率密度的概率密度.(1)P(0.3X0，则则 称称 X 服从参数为服从参数为 和和 的正态分布的正态分布.其中其中:第三十三页，本课件共有61页 (2).正态分布正态分布 的图形特点的图形特点正态分布的密度曲线是一条关于正态分布的密度曲线是一条关于 对称的钟形对称的钟形曲线，曲线，特点特点是是“两头小
9、，中间大，左右对称两头小，中间大，左右对称”第三十四页，本课件共有61页 决定了图形的中心位置，决定了图形的中心位置，决定了图形决定了图形 中峰的陡峭程度中峰的陡峭程度.正态分布正态分布 的图形特点的图形特点第三十五页，本课件共有61页由密度函数的表达式，由密度函数的表达式，分析分析正态分布的正态分布的图形特点图形特点即整个概率密度曲线都在即整个概率密度曲线都在 x 轴的上方轴的上方.(3)(3)显然显然:以以为对称轴，并在为对称轴，并在 处达到最处达到最大值大值:第三十六页，本课件共有61页令令:x=+c,x=-c (c0)f(+c)=f(-c)且且 f(+c)f(),f(-c)f()证明证
10、明:分别代入分别代入 可得可得:以以为对称轴，并在为对称轴，并在 处处达到最大值达到最大值故得故得:这说明：这说明：曲线曲线 f(x)向左右伸展时，越来越贴近向左右伸展时，越来越贴近 x 轴。即轴。即 f(x)以以 x 轴为渐近线。轴为渐近线。因为当因为当 x 时，时，f(x)0f(x)以以 x 轴为渐近线轴为渐近线第三十七页，本课件共有61页(对对 f(x)求导即可求得求导即可求得)为为 f(x)的两个拐点的横坐标的两个拐点的横坐标x=(4).(4).正态分布的分布函数正态分布的分布函数由分布函数定义得出正态分布，若由分布函数定义得出正态分布，若则则 分布函数是分布函数是其图形为其图形为:第
11、三十八页，本课件共有61页第三十九页，本课件共有61页正态分布由它的两个参数正态分布由它的两个参数和和唯一确定，唯一确定，当当和和不同时，对应的是不同的正态分布。不同时，对应的是不同的正态分布。标准正态分布标准正态分布下面介绍一种最重要的正态分布下面介绍一种最重要的正态分布(5).(5).标准正态分布标准正态分布其密度函数和分布函数常用其密度函数和分布函数常用 和和 表示：表示：的正态分布为的正态分布为标准正态分布标准正态分布.称称其图形为其图形为:第四十页，本课件共有61页密度函数密度函数分布函数分布函数第四十一页，本课件共有61页(一般正态分布与标准正态分布的关系一般正态分布与标准正态分布
12、的关系)引理引理:证明证明:作一个线性变换标准正态分布的标准正态分布的重要性重要性任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换 转化为标准正态分布转化为标准正态分布.第四十二页，本课件共有61页 由此可得由此可得:若若即证得：即证得：则其分布函数则其分布函数注：注：根据引理，只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一根据引理，只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题。而现已编制了般正态分布的概率计算问题。而现已编制了 的表，可供查用。的表，可供查用。请见教材请见教材P439P439附表附表2 2第四十三页，本课件共有61
13、页教材教材P439P439附表附表2 2为标准正态分布函数数值表，借助于附表为标准正态分布函数数值表，借助于附表2 2，可以查表计算一般正态分布的概率问题。，可以查表计算一般正态分布的概率问题。关于正态分布表关于正态分布表表中给出的是表中给出的是 时时,(x)的值的值.当当 时有：时有：第四十四页，本课件共有61页 N(0,1)注：注：若若 XN(0,1),则有：则有：若若则有：则有：对对任意区间任意区间则有：则有：第四十五页，本课件共有61页由标准正态分布的查表计算可以求得，由标准正态分布的查表计算可以求得，这说明：这说明：X 的取值几乎全部集中在的取值几乎全部集中在 -3,3 区间区间 内
14、，超出这个范围的可能性仅占不到内，超出这个范围的可能性仅占不到 0.3%当当XN(0,1)(0,1)时，时，P(|X|1)=2 (1)-)-1=0.6826 P(|X|2)=2 (2)-)-1=0.9544P(|X|3)=2 (3)-)-1=0.9974(6)(6)3 3原则原则第四十六页，本课件共有61页将上述结论将上述结论推广到推广到一般的正态分布一般的正态分布,有：有：时时，可以认为：可以认为：Y Y 的取值几乎全部集中在的取值几乎全部集中在区间内。这在统计学上称作区间内。这在统计学上称作“3 3 准则准则”（三倍标准差原则）（三倍标准差原则）第四十七页，本课件共有61页下图是用某大学男
15、大学生的身高的数据画出的频下图是用某大学男大学生的身高的数据画出的频率直方图率直方图:红线红线是拟是拟合的合的正态正态密度密度曲线曲线可见，某大学男大学生的身高应服从正态分布。可见，某大学男大学生的身高应服从正态分布。第四十八页，本课件共有61页人人的的身身高高高高低低不不等等，但但中中等等身身材材的的占占大大多多数数，特特高高和和特特矮矮的的只只是是少少数数，而而且且较较高高和和较较矮矮的的人人数数大大致致相相近近，这这从从一一个个方方面面反反映映了了服服从从正正态态分分布布的的随随机机变变量量的特点。的特点。第四十九页，本课件共有61页除了前面介绍的身高外除了前面介绍的身高外,在正常条件下
16、年降雨量；在正常条件下年降雨量；各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度和张力；农作物的产量，如小麦的穗长、株高；测和张力；农作物的产量，如小麦的穗长、株高；测量误差，如射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声量误差，如射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布等等，都服从或近似服从正态分布.第五十页，本课件共有61页已知自动车床生产的零件的长度已知自动车床生产的零件的长度X(毫米毫米)服从正服从正态分布态分布,如果规定零件的长度在如果规定零件的长度在毫米之间为合格品毫米之间为合格品.求求:生产零件是合格品的概率生产零件是合格品的
17、概率解解:例例1 1.所求的概率为：所求的概率为：查附表2第五十一页，本课件共有61页例例2.从旅馆到飞机场沿从旅馆到飞机场沿 A 路走路走(路程断，交通拥挤路程断，交通拥挤)所需时间所需时间(分钟分钟)沿沿 B 路走（路程路走（路程长，阻塞少长，阻塞少)所需时间所需时间(分钟分钟)若现在只有若现在只有 30分钟分钟.问：问：分别选择哪一条路为好分别选择哪一条路为好?解解:依题意，选择所需时间超过规定时间的概率较依题意，选择所需时间超过规定时间的概率较小的路线为好小的路线为好.当只有当只有30分钟可用时分钟可用时:A 路路:第五十二页，本课件共有61页B 路路:结论：此时应选择结论：此时应选择
18、A A路路液体的温度液体的温度X(以以计计)是一个随机变量，且是一个随机变量，且将一温度调节器放置在贮存着某种液体的将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内，调节器调整在容器内，调节器调整在例例3.(1)若若,求求 X 小于小于89的概率的概率.(2)若要求保持液体的温度至少为若要求保持液体的温度至少为80的概率的概率 不低于不低于0.99，问问 d d 至少为多少至少为多少?第五十三页，本课件共有61页解解:(2)按题意需求按题意需求d满足满足:第五十四页，本课件共有61页反查正态分布表，由于表中无反查正态分布表，由于表中无0.01的的的值的值故采用如下方法处理故采用如下方法处理:查表可知
19、查表可知:由此可得由此可得:故得：故得：现现第五十五页，本课件共有61页公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在碰头机会在0.01以下来设计的以下来设计的.设男子身高设男子身高XN(170,62)设车门高度为设车门高度为 h cm P(X h)0.01或或 P(X h)0.99，的最小的的最小的 h 例例4.4.问：问：应如何确定车门高度应如何确定车门高度解解:按设计要求即求按设计要求即求满足满足：第五十六页，本课件共有61页因为因为:XN(170,62),),故故:查表得查表得:所以所以:即即:h=170+13.98 184结论:设计车门高度为 18
20、4 厘米时，可使男子与车门碰头机会不超过0.01.P(X h)0.99求满足求满足的最小的的最小的 h.所以所以:第五十七页，本课件共有61页1.定义定义 则则 称称点点 为标准正态分布的为标准正态分布的上上分位点分位点.2.图形图形:面 积 为四四.关于关于 分位点的概念分位点的概念0以以 点右侧面积总点右侧面积总和和 它就是所它就是所有比有比 大的概率大的概率.单侧 分位点第五十八页，本课件共有61页注注:比如比如:反过来可以验证反过来可以验证:用整块面积减去点用整块面积减去点 以后的那块面积以后的那块面积 附表附表2上可查的从上可查的从 到到 的那块面积的那块面积从正态分布表上从正态分布表上如何求如何求 的值的值:对于给定对于给定的的则则:点点概率概率所对应的所对应的值值又比如又比如:第五十九页，本课件共有61页(同样可以验证同样可以验证:则称则称 为标准正态分布的为标准正态分布的双侧双侧 分位点分位点.图形图形:两小面积相加之和=又比如又比如:3.双侧双侧 分位点的定义分位点的定义若若0第六十页，本课件共有61页 比如比如:注意注意:在后续的统计学中还将介绍在后续的统计学中还将介绍分布分布,分布分布,分布分布的上的上 分位点的概念分位点的概念第六十一页，本课件共有61页