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1、第四节连续型随机变量及其第四节连续型随机变量及其概率密度概率密度本讲稿第一页，共四十五页xf(x)xF(x)分布函数与密度函数 几何意义本讲稿第二页，共四十五页p.d.f.f(x)的性质的性质q q 常利用这两个性质检验一个函数能q 在 f(x)的连续点处，f(x)描述了X 在 x 附近单位长度的区间内取值的概率区间内取值的概率.否作为连续性 r.v.的 d.f.本讲稿第三页，共四十五页积分不是Cauchy 积分，而是Lesbesgue 意义下线段质量长度密度的积分，所得的变上限的函数是绝对连续的，因此几乎处处可导本讲稿第四页，共四十五页注意:对于连续型r.v.X,P(X=a)=0其中 a 是
2、随机变量 X 的一个可能的取值命题命题 连续r.v.取任一常数的概率为零强调强调 概率为概率为0(1)的事件未必不发生的事件未必不发生(发生发生)事实上本讲稿第五页，共四十五页对于连续型 r.v.Xbxf(x)a本讲稿第六页，共四十五页xf(x)a本讲稿第七页，共四十五页例例1 1 已知某型号电子管的使用寿命 X 为连续r.v.,其 d.f.为(1)求常数 c (3)已知一设备装有3个这样的电子管,每个电子管能否正常工作相互独立,求在使用的最初1500小时只有一个损坏的概率.(2)计算本讲稿第八页，共四十五页解解(1)令c=1000(2)本讲稿第九页，共四十五页(3)设在使用的最初1500小时
3、三个电子管中损坏的个数为 Y设A 表示一个电子管的寿命小于1500小时本讲稿第十页，共四十五页求：（求：（1）常数）常数a；（；（2）（3）X的分布函数的分布函数F（x）（1）由概率密度的性质可知）由概率密度的性质可知所以所以 a1/2 例例2：设随机变量：设随机变量X具有概率密度具有概率密度 解：解：本讲稿第十一页，共四十五页本讲稿第十二页，共四十五页(1)均匀分布均匀分布常见的连续性随机变量的分布常见的连续性随机变量的分布若 X 的 d.f.为则称 X 服从区间(a,b)上的均匀分布均匀分布或称 X 服从参数为 a,b的均匀分布均匀分布.记作本讲稿第十三页，共四十五页X 的分布函数为本讲稿
4、第十四页，共四十五页xf(x)abxF(x)ba本讲稿第十五页，共四十五页即 X 落在(a,b)内任何长为 d c 的小区间的概率与小区间的位置无关,只与其长度成正比.这正是几何概型的情形.进行大量数值计算时,若在小数点后第k 位进行四舍五入,则产生的误差可以看作服从 的 r.v.随机变量应用场合应用场合本讲稿第十六页，共四十五页例例3 3 秒表最小刻度值为0.01秒.若计时精度是取最近的刻度值,求使用该表计时产生的随机误差X 的 d.f.并计算误差的绝对值不超过0.004秒的概率.解解 X 等可能地取得区间所以上的任一值，则本讲稿第十七页，共四十五页(2)指数分布指数分布若 X 的d.f.为
5、则称 X 服从 参数为 的指数分布记作X 的分布函数为 0 为常数本讲稿第十八页，共四十五页1xF(x)0 xf(x)0本讲稿第十九页，共四十五页对于任意的 0 a b,应用场合应用场合用指数分布描述的实例有：随机服务系统中的服务时间电话问题中的通话时间无线电元件的寿命动物的寿命 指数分布常作为各种“寿命”分布的近似本讲稿第二十页，共四十五页若 X(),则故又把指数分布称为故又把指数分布称为“永远年轻永远年轻”的分布的分布指数分布的“无记忆性无记忆性”事实上命题本讲稿第二十一页，共四十五页解解(1)例例4 4 假定一大型设备在任何长为 t 的时间内发生故障的次数 N(t)(t),求(1)相继两
6、次故障的时间间隔 T 的概率分布;(2)设备已正常运行小时的情况下,再正常 运行 10 小时的概率.本讲稿第二十二页，共四十五页即(2)由指数分布的“无记忆性”本讲稿第二十三页，共四十五页(3)正态分布正态分布若X 的 d.f.为则称 X 服从参数为 ,2 的正态分布记作 X N(,2)为常数，亦称高斯(Gauss)分布本讲稿第二十四页，共四十五页N(-3,1.2)本讲稿第二十五页，共四十五页f(x)的性质的性质：q 图形关于直线 x=对称,即在 x=时,f(x)取得最大值在 x=时,曲线 y=f(x)在对应的点处有拐点曲线 y=f(x)以 x 轴为渐近线曲线 y=f(x)的图形呈单峰状f(+
7、x)=f(-x)本讲稿第二十六页，共四十五页本讲稿第二十七页，共四十五页q f(x)的两个参数：的两个参数：位置参数即固定 ,对于不同的 ,对应的 f(x)的形状不变化，只是位置不同 形状参数固定 ，对于不同的，f(x)的形状不同.若 1 2 则比x=2 所对应的拐点更靠近直线 x=附近值的概率更大.x=1 所对应的拐点前者取 本讲稿第二十八页，共四十五页Showfn1,fn3大小几何意义 大小与曲线陡峭程度成反比数据意义 大小与数据分散程度成正比本讲稿第二十九页，共四十五页正态变量的条件若 r.v.X 受众多相互独立的随机因素影响 每一因素的影响都是微小的 且这些正、负影响可以叠加则称 X
8、为正态 r.v.本讲稿第三十页，共四十五页可用正态变量描述的实例极多：各种测量的误差；人体的生理特征；工厂产品的尺寸；农作物的收获量；海洋波浪的高度；金属线抗拉强度；热噪声电流强度；学生的考试成绩；本讲稿第三十一页，共四十五页一种重要的正态分布一种重要的正态分布是偶函数，分布函数记为其值有专门的表供查.标准正态分布N(0,1)密度函数本讲稿第三十二页，共四十五页本讲稿第三十三页，共四十五页-xx本讲稿第三十四页，共四十五页对一般的正态分布：X N(,2)其分布函数作变量代换本讲稿第三十五页，共四十五页例例5 5 设 X N(1,4),求 P(0 X 1.6)解解本讲稿第三十六页，共四十五页例例
9、6 6 已知且 P(2 X 4)=0.3,求 P(X 0).解一解一本讲稿第三十七页，共四十五页解二解二 图解法0.2由图0.3本讲稿第三十八页，共四十五页例例 7 7 3 原理设 X N(,2),求解解一次试验中,X 落入区间(-3,+3)的概率为 0.9974,而超出此区间可能性很小由3 原理知，当本讲稿第三十九页，共四十五页标准正态分布的上 分位数 z设 X N(0,1),0 3故至少要进行 4 次独立测量才能满足要求.本讲稿第四十二页，共四十五页例例9：某仪器需安装一个电子元件，要求电子元件的使某仪器需安装一个电子元件，要求电子元件的使用寿命不低于用寿命不低于1000小时即可。现有甲乙
10、两厂的电子元件小时即可。现有甲乙两厂的电子元件可供选择，甲厂生产的电子元件的寿命服从正态分布可供选择，甲厂生产的电子元件的寿命服从正态分布N(1100,502),乙厂生产的电子元件的寿命分布服从正态分布乙厂生产的电子元件的寿命分布服从正态分布N(1150,802)。问应选择哪个厂生产的产品呢？若要求元件的。问应选择哪个厂生产的产品呢？若要求元件的寿命不低于寿命不低于1050小时，又如何？小时，又如何？解解：设甲、乙两厂的电子元件的寿命分别为：设甲、乙两厂的电子元件的寿命分别为X和和Y，则，则X N(1100,502)，Y N(1150,802),依题意要比较概率依题意要比较概率 的大小。的大小。两个概率如下：两个概率如下：本讲稿第四十三页，共四十五页比较两个概率的大小就知应选甲厂的产品。比较两个概率的大小就知应选甲厂的产品。依题意此时只要比较概率依题意此时只要比较概率 的大小。的大小。两个概率如下：两个概率如下：比较两个概率的大小就知应选乙厂的产品。比较两个概率的大小就知应选乙厂的产品。本讲稿第四十四页，共四十五页本讲稿第四十五页，共四十五页