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1、 -向量空间的基 定义定义5.1.1 非空集合 称为域 上的向量空间向量空间(vector space)或线性空间线性空间(linear space),如果 关于 加法（记作“+”）运算构成一个交换群，并且对每个 ,在 中可惟一地确定一个元素 (称为 与 的标量乘法标量乘法)，使得对所有的 ，,以 下四个条件都满足：(M1);(M2);(M3);(M4).向量空间中的元素称为向量向量(vector).域中的元素称为标量标量或者纯量纯量(scalar).注注在高等代数课程中,我们涉及到的向量空 间（或线性空间）的基域都是数域,是无限域,且是 特征为零的域,但我们这里的基域可以是一般的域,它可以是
2、有限域,且域的特征也可以是素数.例例1 集合 是域 上的 向量空间,其加法运算和标量乘法运算分别为 例例2设 是素数,则 是一个域.系数在 上的一元多项式环 是 上的向量空间.例例3复数域 是实数域 上的向量空间,运算 是通常的复数的加法和乘法运算.例例4域 上的所有 矩阵的集合 关于 如下矩阵的加法和标量乘法运算构成 上的向量空 间 例例5（这个例子是例3的推广.虽然它看上去 很平常,但却是域论中最重要的例子之一）设 是域，是 的子域,那么 是 上的向量空间.向量空间 的运算就是域 中的运算.因此,根据第三章定理 3.6.5,每个域都可看成是某个素域上的向量空间.定义定义5.1.2 设 是域
3、 上的向量空间，是 的 非空子集.如果 关于 的运算也构成 上的向量空 间,则称 为 的子空间子空间 例例6集合 是 上 的由所有系数在域 上的多项式组成的向量空间 的子空间.例例7设 是域 上的向量空间，是 中的向量(它们不必互不相同),那么子集 称为 的由由 张成的子空间张成的子空间.形如 的元素称为 的线性组 合 如果 ，那么我们称 张成张成 一般地,设 是 的任一非空子集.如果 中任一 元素都是 中有限多个元素的线性组合,则称 张成 定义定义5.1.3 向量组 称为在 上线性线性 相关相关(linearly dependent),如果存在不全为零的元 ,使得 .如果 向量组在 上不是线
4、性相关的,则称为在 上线性无线性无 关关(linearly independent).例例8设 ,则 中的向量组 ，在 上是线性无关的.因为假 设存在 ,使得 那么 ,于是 .定义定义5.1.4 设 是 上的向量空间.是 的 一个非空子集.如果 中任一有限子集都在 线性无 关,且 张成 ,则称 为 的基.例例9集合 是 上的向量空间.则我们可以证明 是 的基.首先我们来证明 是线性无关的.假设有 ,使得 那么有 所以,从而 线性无关.其次,中任何 元素都具有形式 因此,生成 ,即 是 的基.定理定理5.1.1 如果 和 都 是域 上向量空间 的基,那么 证证假设 .不妨设 .由于 张成 ,所以
5、可设 ,且这些 不全为零,对 的顺序适当重排后可 设 ,则 张成 .设 ,则 中至少有 一个不为零,设 ,则 张成 继续 这样下去,有 张成 .但此时 是 的线性组合,矛盾!定义定义5.1.5如果一个向量空间 具有一个含 个元素的基,则称 的维数维数(dimension)是 .零空 间 称为是由空集张成的,并规定它的维数是0.可以用集合论的方法证明每个向量空间都有基.以有限多个元素为基的向量空间(包括零空间)称为 有限维向量空间有限维向量空间(finite dimensional vector space),否 则称为无限维向量空间无限维向量空间(infinite dimensional vector space).例例10例1中的域 上的向量空间 是 维的,是 的自然基而例3中的向量空间 是 上的 无限维向量空间,是 的一个基.