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1、3.Hamilton3.Hamilton原理原理 (1)(1)(1)(1)变分的概念变分的概念变分的概念变分的概念 微分：设有一连续函数微分：设有一连续函数q=q(t)，其中，其中t t为自变为自变 量，量，q q为因变量；为因变量；当当t t有微增量有微增量dtdt时，引起函数的微增量时，引起函数的微增量d dq q，称，称 为该函数的微分，为该函数的微分，且：且：或或:变分变分：假设自变量：假设自变量t t不变，改变函数不变，改变函数q=q(t)的的形式，得到一个与原函数稍有差别的新函数形式，得到一个与原函数稍有差别的新函数式中：式中：是一个微小系数，是一个微小系数，是是t t的任意连续函
2、数。的任意连续函数。则：则：对于自变量的某一指定值，函数对于自变量的某一指定值，函数对于自变量的某一指定值，函数对于自变量的某一指定值，函数 q q=q q(t t)由于它的形式的微小改变而得到的改变量，称由于它的形式的微小改变而得到的改变量，称由于它的形式的微小改变而得到的改变量，称由于它的形式的微小改变而得到的改变量，称为该函数的变分。为该函数的变分。为该函数的变分。为该函数的变分。从图中可看出，从图中可看出，实际上代表了虚位移实际上代表了虚位移。(2)(2)变分与微分的区别变分与微分的区别变分：自变量不变，仅由于函数本身形式变分：自变量不变，仅由于函数本身形式 的微小改变而得到的函数的改
3、变；的微小改变而得到的函数的改变；微分：由于自变量的微分：由于自变量的 微增量而引起微增量而引起 的函数的微增的函数的微增 量。量。(3)(3)变分的运算性质：变分的运算性质：(a)(a)任一连续函数任一连续函数 q=q(t)的变分与微分可以的变分与微分可以交换：即交换：即 (b)(b)在积分的上、下限不变的条件下，函数对在积分的上、下限不变的条件下，函数对自变量的积分的变分，等于该函数的变分对该自自变量的积分的变分，等于该函数的变分对该自变量的积分。变量的积分。即：即：如果在函数如果在函数 q=q(t)中的自变量中的自变量t t是时间，则该是时间，则该函数的变分称为等时变分。函数的变分称为等
4、时变分。(2)Hamilton(2)Hamilton原理原理：a)a)作用：提出了质点系的真实运动与在质点系真实作用：提出了质点系的真实运动与在质点系真实b)b)运动邻近，且为约束所能允许的可能运动运动邻近，且为约束所能允许的可能运动c)c)的区分准则。的区分准则。研究对象：具有研究对象：具有k个自由度的理想、完整约个自由度的理想、完整约 束下的质点系的运动束下的质点系的运动 广义坐标：广义坐标：q1，q2，qk 质点系的位置：质点系的位置：1)1)若在平面上运动的质点，其坐标可选若在平面上运动的质点，其坐标可选x,y，若再考虑时间，则有若再考虑时间，则有3 3个坐标，个坐标，2)2)一般地，
5、用由一般地，用由q q和和t t组成的组成的(k+1)维空间内的维空间内的一点的运动表示，若在某一瞬时一点的运动表示，若在某一瞬时t，q1，q2，qk均有确定的值，则可在均有确定的值，则可在(k+1)维空间中找到维空间中找到一个点，该点表示一质点在一个点，该点表示一质点在t时的位置时的位置 质点系的真实运动质点系的真实运动：如上图中如上图中(k+1)(k+1)维空间中的实曲线维空间中的实曲线 表示；表示；称为质点系的真实路径，又叫正路。称为质点系的真实路径，又叫正路。质点系的可能运动质点系的可能运动：质点系在真实运动邻近为约束所允许的任意一个质点系在真实运动邻近为约束所允许的任意一个可能运动，
6、用可能运动，用 表示。表示。称为质点系的可能称为质点系的可能路径，或旁路路径，或旁路(弯路弯路)。运动始末位置上，运动始末位置上，正路和弯路的位置相同正路和弯路的位置相同(显然，可能运动的曲显然，可能运动的曲线有无数条线有无数条)。虚位移虚位移(变分变分)：表示在同一瞬时，旁路对正路的偏离表示在同一瞬时，旁路对正路的偏离 。b)b)哈密顿原理的推导哈密顿原理的推导：非定常约束的概念非定常约束的概念：即约束可随即约束可随 t 变化，是变化，是 t 的函数的函数一、拉格朗日方程一、拉格朗日方程 以广义坐标表示的动力学普遍方程以广义坐标表示的动力学普遍方程 设有一理想、完整约束的非自由质点系，具设有
7、一理想、完整约束的非自由质点系，具有有k个自由度，用个自由度，用k个广义坐标个广义坐标q1，q2，qk表示表示质点系的位置，作一直角坐标系质点系的位置，作一直角坐标系oxyz，用矢径，用矢径 ri(xi,yi,zi)表示质点系表示质点系中任一质点中任一质点Mi的位置，的位置，显然，如果约束是非显然，如果约束是非定常的，则矢径定常的，则矢径r ri i是是广义坐标和时间的矢广义坐标和时间的矢量函数：量函数：n为质点的数目，为了将质点系中质点为质点的数目，为了将质点系中质点Mi 的的虚位移虚位移ri表示为广义坐标的变分表示为广义坐标的变分 ，求求(1)(1)式的变分：式的变分：(1)将其展开后得：
8、将其展开后得：(2)(2)(2)(2)式中第一项表示主动力系在质点系虚位移中的式中第一项表示主动力系在质点系虚位移中的 元功的和，可以写为广义坐标的形式为：元功的和，可以写为广义坐标的形式为：(3)(3)(3)(3)式中，式中，Qj为对应于广义坐标为对应于广义坐标qj的广义力。的广义力。已知动力学普遍方程为：已知动力学普遍方程为：(2)式中左边第二项表示惯性力系在质点系虚位移式中左边第二项表示惯性力系在质点系虚位移 中元功的和，将中元功的和，将(1)式代入式代入(2)式中的左边第二项得：式中的左边第二项得：(4)为简化为简化(4)(4)式括号中的式子，可将其改写为：式括号中的式子，可将其改写为
9、：(5)为推导拉氏方程，先证明为推导拉氏方程，先证明 与与 之间之间的两个关系式的两个关系式:(1)(1)(6)(6)称为广义速度，为广义坐标对时间的变化率，称为广义速度，为广义坐标对时间的变化率，因因 和和 仅是广义坐标和时间的函数，与广义仅是广义坐标和时间的函数，与广义速度速度 无关，无关，将(6)式对广义速度 求偏导数，可得关系式：(7)(6)将(6)式对任一广义坐标q求偏导数得：(6)另一方面，直接由矢径 对某一广义坐 标 求偏导数后，再对时间t求导数，得：由此，可得另外一个关系式：(8)将(7)式和(8)式代入(5)式中得：(7)(8)(5)将此结果代回式将此结果代回式(4)(4)，
10、并引入质点系动能，并引入质点系动能 得得:(9)(4)将此结果代入(2)式中得：(10a)当主动力有势力时：代入(10a)式中得：(2)(3)引入拉格朗日函数L=T-V(质点系动能与势能之差，称为动势)，则上式可表示为：(11a)广义力：广义力：代入代入(11a)(11a)式中，而拉格朗日式中，而拉格朗日函数函数L=T-V(L=T-V(质点系的动能与势能之差又称为动势质点系的动能与势能之差又称为动势)(11a)(11a)式又可以写为：式又可以写为：(11b)(11b)将将(11b)(11b)式乘以式乘以dtdt，并从，并从t t1 1到到t t2 2作定积分，有：作定积分，有：(12)(12)
11、因为：(13)故(12)式中第一项为 (14)(12)代入(12)式中得：(15)或：(16)拉格朗日函数 ，所以L L的一阶变分为：(17)代入代入(16)(16)式，并将等式的左端进行积分后得：式，并将等式的左端进行积分后得：(18)(18)根据题设，在根据题设，在t t1 1和和t t2 2时刻，系统的真实运动时刻，系统的真实运动曲线与可能运动曲线都分别通过曲线与可能运动曲线都分别通过A点和点和B点，点，即：即：，因此，因此所以所以(18)(18)式成为了：式成为了：(19)(19)改变积分和变分的次序，有：改变积分和变分的次序，有：(20)(20)令积分：令积分：，并称，并称S S为哈
12、密顿作用量，为哈密顿作用量，即：即：(21)(21)(20)(20)和和(21)(21)式称为哈密顿原理的数学表达式。式称为哈密顿原理的数学表达式。哈密顿原理可表叙述为：哈密顿原理可表叙述为：具有完整的理想约束保守系统，在该时间具有完整的理想约束保守系统，在该时间间隔内具有相同的始终位置的可能运动相比，间隔内具有相同的始终位置的可能运动相比，对于真实运动哈密顿作用量有极值。对于真实运动哈密顿作用量有极值。即：对于真实运动，哈密顿作用量的变分即：对于真实运动，哈密顿作用量的变分等于等于0 0。式式(20)(20)和和(21)(21)仅仅适用于保守系统，将仅仅适用于保守系统，将L=T-V L=T-
13、V 代入该式则得：代入该式则得：对于非保守系统：式对于非保守系统：式(20)(20)或或(21)(21)中还应包括中还应包括作用于体系上的非保守力作用于体系上的非保守力(包括阻尼力及任一外包括阻尼力及任一外荷荷)所作的功，即：所作的功，即：(为由非保守力决定的广义力为由非保守力决定的广义力)(1-4)(1-4)式中：式中：T体系的总动能；体系的总动能；V体系的位能，包括应变能及任体系的位能，包括应变能及任 何保守外力的势能；何保守外力的势能；Wnc作用于体系上的非保守力作用于体系上的非保守力(包括阻尼包括阻尼 力及任一外荷力及任一外荷)所作的功；所作的功；在指定时间区间内所取的变分在指定时间区
14、间内所取的变分 非保守系统的哈密顿原理的数学表达式为：非保守系统的哈密顿原理的数学表达式为：应用该原理可以直接导出任何给定体系的运动方程。应用该原理可以直接导出任何给定体系的运动方程。该方法与虚功方法的该方法与虚功方法的(不同不同)区别区别 应用哈密顿原理推导体系的运动方程，不明显使用惯性力和弹性力，而分别被动能和位能的变分项所代替。优点：它只与纯粹的标量能量有关 虚功法中：功本身是标量，但计算功的 力和位移都是矢量。Hamilton Hamilton原理在静力学中的应用原理在静力学中的应用 应用于静力学中时，式应用于静力学中时，式(1-4)(1-4)中的动能中的动能项消失，剩余的项是不随时间变化的，于是项消失，剩余的项是不随时间变化的，于是方程简化为：方程简化为：(1-5)(1-5)广泛应用于静力分析中的，著名的最小广泛应用于静力分析中的，著名的最小位能原理位能原理