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1、凡力学原理用到变分运算的凡力学原理用到变分运算的, ,叫做叫做 它是在基本定律基础上用变分法得到的，提出了它是在基本定律基础上用变分法得到的，提出了区分真实运动与同样条件下可能的运动的规则。区分真实运动与同样条件下可能的运动的规则。积分原理积分原理微分原理微分原理虚功原理虚功原理哈密顿原理哈密顿原理 如果一个变量由一个或几个函数来确定，如果一个变量由一个或几个函数来确定，这个这个变量变量就称为这个或这几个就称为这个或这几个函数的泛函函数的泛函。( ) .ff y x泛函泛函 f 随函数随函数 y(x) 的变化而变化的变化而变化.函数函数 y(x) 称为称为 泛函泛函 f 的的宗量宗量.5 如如
2、: :连接平面上已知两点连接平面上已知两点a, ,b的曲线弧长的曲线弧长l的表达的表达式为式为xyo1( )y x( )y xab( )BAxxl y xds222()()1.BABAxxxxdxdyy dx函数函数 y(x) 不同，则弧长不同，则弧长 l 不同不同.a. .复合函数仅随自变量的变化而变化，泛函随函数复合函数仅随自变量的变化而变化，泛函随函数 的变化而变化；的变化而变化；b. .复合函数只有单一曲线，泛函有许多条曲线复合函数只有单一曲线，泛函有许多条曲线. .求泛函的求泛函的极值极值问题，称为问题，称为变分变分问题问题. . 数学上的变分法是为了解决最速落径问题发展起数学上的变
3、分法是为了解决最速落径问题发展起来的。来的。 铅直平面内铅直平面内, 在所有联接二个定点在所有联接二个定点A,B的曲线中的曲线中, ,找出一条曲线找出一条曲线, ,使得初使得初速度为零的质点速度为零的质点, ,在重力作用下在重力作用下, ,自自A点无摩擦下滑时点无摩擦下滑时, ,以最短时间到达以最短时间到达B点点. .OxyABABxz设曲线设曲线AB方程为方程为 y = y(x)，质点沿曲线运动速度为，质点沿曲线运动速度为2dsgydt质点自质点自A沿曲线沿曲线y(x)自由滑至自由滑至B点所需的时间点所需的时间21.22BABBxAAxydsTdtdxgygy 时间时间T的值与函数的值与函数
4、y(x)有关，有关， 最速落径问题实质就是求泛函 Ty(x)的极值问题，而求关于泛函的极值就是变分问题，即求 ( ( )0T y xOxyAB( )y x222()()1dxdyydxdtdt这种自变量不变时的变分，称为这种自变量不变时的变分，称为等时等时变分变分. . ( ) ( ) J y xy xx泛函，其宗量的变分，是指当自变量不变时，泛函定义域中两个函数的差，即0( )-( )yy xyx.1111xyo1( )y x( )y x 0 dydx 微分：由于所引起的同一函数的变化量,ydydx ( )J y x泛函的变分，( )( )JJ y xyJ y xy是指当自变量是指当自变量
5、x 不变时，函数的变分不变时，函数的变分 ，所引起的所引起的泛函泛函 J 的变化，即的变化，即 0yx变分：时两个函数的差.( )J y xy泛函泛函的变分，定义为泛函的变分，定义为泛函 对对参数参数 的导函数在的导函数在 时的值。即为时的值。即为00( )J y xy( )( )Jy xyJ y x0( )Jy xyy1300 ( )( ) ( ) J y xyxJyx泛函在处取极值的必要条件是：在处的一阶变分等于零，即0( )0yyxJ .2(i) (ii) (iii) ABABABA BB AAB AA BBB假设有两个变量假设有两个变量A和和B，他们一般都是，他们一般都是 p, q,
6、t 的函数，则的函数，则(iv) dydy证证 ( iV ) :15 假定假定C是是S维位形空间的一条曲线，且为质点遵维位形空间的一条曲线，且为质点遵循运动定律的轨道，即动力轨道或真实轨道。循运动定律的轨道，即动力轨道或真实轨道。C为临近为临近C的一条曲线，但不是质点的动力轨道的一条曲线，但不是质点的动力轨道.CCP P12与 是两个轨道(宗量函数),两个轨道的两端点,相同.1200PPtqq 设一质点设一质点M沿沿C运动，运动，它们同时自它们同时自 P1出发，同时出发，同时到达到达 P2. 则在则在P1和和P2 点有点有叫做不动边界条件叫做不动边界条件161）PQQqdqqdqPPQ2）qq
7、d qqdqdq先后顺序可对易先后顺序可对易( )qqt17变分与微分运算顺序是否可以对易？变分与微分运算顺序是否可以对易？()1 dqdqdqdtdtdt但0 ().tdqdqdtdt若是等时变分，即，所以上式为22()()()()()()dqdtdqdtdtddtqdqdtdt1822dqdqdtdqdtdtdtdqdq dtdtdt可见可见ddt与一般不能对易。若一般不能对易。若0t则则dqdqdtdt等时变分等时变分不等时变分不等时变分.ddt在等时变分时 与的先后次序可以对易受有完整约束的力学体系受有完整约束的力学体系, , 由由s s个广义坐标组成的空个广义坐标组成的空间，称为位形
8、空间间，称为位形空间. . 一般地，广义坐标一般地，广义坐标 (1,2)qs是时间是时间t t的函数。在以的函数。在以 12,q qq为坐标轴所张成的为坐标轴所张成的S S维空间中，随着维空间中，随着t t从从t t1 1连续连续变化到变化到t t2 2，体系从位形空间中的位置，体系从位形空间中的位置q(tq(t1 1) )连续变化到连续变化到q(tq(t2 2) )，位，位形空间的形空间的“点点”则描绘出一条轨迹。则描绘出一条轨迹。这种以时间为参量的轨迹这种以时间为参量的轨迹q(t) q(t) ，称为运动路径，称为运动路径. . 20 哈密顿作用量哈密顿作用量S 随函数随函数q(t )的变化
9、而变化，的变化而变化， S是函数是函数q(t)的的泛函泛函. . 从相同的起点从相同的起点q(tq(t1 1) )到相同的终点到相同的终点q(tq(t2 2) )，约束条件所，约束条件所允许的可能运动路径有许多。但在允许的可能运动路径有许多。但在S S维位形空间的各种维位形空间的各种可能的运动路径中，真实运动的路径只能有一条。可能的运动路径中，真实运动的路径只能有一条。S定义为拉格朗日函数定义为拉格朗日函数L的时间定积分的时间定积分. 21( , , )ttSL q q t dt 对于完整保守系对于完整保守系, ,在给定的起始位置和相同的约束在给定的起始位置和相同的约束条件下条件下, ,体系的
10、真实运动体系的真实运动对应于对应于哈密顿作用量取极值哈密顿作用量取极值. .21( , , )0.ttSL q q t dt 由拉格朗日方程，推导保守力系作用下的哈密由拉格朗日方程，推导保守力系作用下的哈密顿原理顿原理. . 力学系统从时刻力学系统从时刻 t1到到 t2的一切可能的一切可能( (约束条件所约束条件所允许允许) )的运动中，使哈密顿作用量的运动中，使哈密顿作用量S取极值取极值( (泛函取极泛函取极值值) )的运动才是实际发生的运动的运动才是实际发生的运动. . 22但但dLdLL dqqqdtqdtqq dtdLLqqdtqq2110sttdLLqdtdtqq由拉氏方程各项乘由拉
11、氏方程各项乘 ,对对 求和，求和，q然后沿着一条可能的运动轨道自P1运动到P2 ,对t 积分， 代入上式得：代入上式得： sqLqLt , , 2 , 1 , 0dd1200PPtqq232211110tsstttLLLqqqdtqqq因为因为120ttqq1sLLLqqqq210ttLdt210ttLdt0S称称21ttSLdt为作用函数或为作用函数或主函数主函数2110sttdLLqdtdtqqqqLqqLdtdqqLdtd 24 通过变分，可把微分方程变为简单形式，即哈通过变分，可把微分方程变为简单形式，即哈密顿正则方程，哈密顿用该方程提供一个普遍密顿正则方程，哈密顿用该方程提供一个普遍
12、原理，对量子力学中薛定谔方程的建立和广义原理，对量子力学中薛定谔方程的建立和广义相对论提供了桥梁。相对论提供了桥梁。 能量观点和拉格朗日方程、哈密顿原理及正则能量观点和拉格朗日方程、哈密顿原理及正则方程，适用于其它形式的物质运动，如电动力方程，适用于其它形式的物质运动，如电动力学、统计物理、相对论、量子力学。学、统计物理、相对论、量子力学。（1） 按照求拉格朗日方程的步骤求按照求拉格朗日方程的步骤求 ；（2） 将将L代入代入 中计算，中计算，（3）正确使用变分规则，求出结果。）正确使用变分规则，求出结果。),(tqqL 021ttLdtS26例：用哈密顿原理推出一维线性谐振子的运动方程。例：用
13、哈密顿原理推出一维线性谐振子的运动方程。解：先得到拉氏函数解：先得到拉氏函数222121kxxmL由哈密顿原理：由哈密顿原理：021ttLdtS0212102221tttdtkxxmLdtS00tdtxkxxxm000ttdtxkxxxmxdxm xxxxdtdxx 0 0txx0 0txdtkxxm 上式变为0 kxxmdtx 任意，所以有为任意，且例例2 轻弹簧一端挂一质量为轻弹簧一端挂一质量为m的质点，另一端为悬点的质点，另一端为悬点O，弹簧，弹簧倔强系数为倔强系数为 k，不受力时原长为，不受力时原长为 l，摆动限于铅垂平面内，试摆动限于铅垂平面内，试用哈密顿原理求出质点的运动微分方程。
14、用哈密顿原理求出质点的运动微分方程。 解：解：s=2, 取弹簧的长度取弹簧的长度r及与及与y轴夹角轴夹角为广义坐标为广义坐标.221122Tmrm r2cos()2kVmgrrl 22221cos()22kLTVm rrmgrrl代入哈密顿原理方程，代入哈密顿原理方程， 021ttLdt2122221cos()022ttkm rrmgrrldt2122cos sin()0. (1)ttmr rmrrmrmgrmgrk rlr dt () ,dr rr rr rdt 222()2drrrrrdt ，1212|0, |0,ttttrr且：22211121222cos() 2sin0.ttttttttmr rmrmrmrmgk rlrdtmrmrrmgrdt 则则(1)式为：式为： 22cos()0 .2sin0krrgrlmrrrgrr与彼此独立，212122cos() 2sin0.ttttmrmrmgk rlrdtmrmrrmgrdt 30311.1.变分法变分法小小 结结2. 2. 哈密顿原理哈密顿原理3.3.哈密顿原理的应用哈密顿原理的应用( )( ) .JJ y xyJ y x泛函的变分泛函的变分( ) .JJ y x泛函泛函21( , , )0.ttSL q q t dt作业作业 5.28，5.31