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1、2.1 单因子试验单因子试验2.2 单因子方差分析单因子方差分析2.3 多重比较多重比较2.4 效应模型效应模型2.5 正态性检验正态性检验2.6 方差齐性检验方差齐性检验第二章 单因子试验设计 单因子试验单因子试验是只包含一个试验因子的试验，也是是只包含一个试验因子的试验，也是最常见最简单的一种试验。最常见最简单的一种试验。单因子试验经常采用完全随机设计，或随机区组单因子试验经常采用完全随机设计，或随机区组设计。设计。它的数据分析要涉及到效应模型、参数估计、它的数据分析要涉及到效应模型、参数估计、方差分析、多重比较、正态性检验、方差齐性检方差分析、多重比较、正态性检验、方差齐性检验等多种方法
2、。这也是学习复因子试验的基础。验等多种方法。这也是学习复因子试验的基础。我们从一个例子开始来介绍单因子试验。我们从一个例子开始来介绍单因子试验。2.1 2.1 单因子试验单因子试验 例例:茶是一种大众饮品，它含有叶酸（一种维生素茶是一种大众饮品，它含有叶酸（一种维生素B B），今要研究各地的绿茶中叶酸的含量是否有显），今要研究各地的绿茶中叶酸的含量是否有显著差异？著差异？问题中，绿茶是一个因子，用问题中，绿茶是一个因子，用A A表示。表示。选定四个产地的绿茶，记为选定四个产地的绿茶，记为A A1 1,A,A2 2,A,A3 3,A,A4 4，它是，它是因子因子A A的四个水平。为测定试验误差，
3、需要重复。的四个水平。为测定试验误差，需要重复。各水平重复数相等的设计称为各水平重复数相等的设计称为平衡设计平衡设计.各水平重复数不等的设计称为各水平重复数不等的设计称为不平衡设计不平衡设计.如今我们选用不平衡设计，即如今我们选用不平衡设计，即A A1 1,A,A2 2,A,A3 3,A,A4 4分别分别制作了制作了7,5,6,67,5,6,6个样品，共有个样品，共有2424个样品等待测试。个样品等待测试。一个例子这里一次测试就是一次试验，试验次序要随机化。这里一次测试就是一次试验，试验次序要随机化。把试验结果把试验结果“对号入坐对号入坐”，填写试验结果。，填写试验结果。在一个试验中只考察一个
4、因子在一个试验中只考察一个因子A及其及其r个水平个水平A1，A2，Ar在水平在水平Ai下重复下重复mi次试验，总试验次数次试验，总试验次数n=m1+m2+mr 记记yij是第是第i个水平下的第个水平下的第j次重复试验的结果，这里次重复试验的结果，这里i 水平号水平号，j 重复号重复号经过随机化后，所得的经过随机化后，所得的n个试验结果列于表个试验结果列于表表表2.2.1 2.2.1 单因子试验的数据单因子试验的数据A1.A1.正态性：正态性：在水平在水平i下的数据下的数据yi1,yi2,yimi是来是来自正态总体自正态总体的一个样本，的一个样本，i=1,2,r。A2.A2.方差齐性：方差齐性：
5、r个正态总体的方差相等，即：个正态总体的方差相等，即：。A3.A3.随机性：随机性：所有数据所有数据yij都相互独立。都相互独立。图2.2.1 单因子试验所涉及的多个正态总体 r个水平均值个水平均值是否彼此是否彼此相等？相等？这要用单因子方差分析方法来研究这要用单因子方差分析方法来研究假如假如r个均值不全相等，哪些均值间的差个均值不全相等，哪些均值间的差异是重要的？异是重要的？这要用多重比较的方法来研究这要用多重比较的方法来研究其中其中 是因子是因子A A的第的第i个水平下第个水平下第j j次试验结果；次试验结果；是因子是因子A A的第的第i个水平的均值，是待估参数；个水平的均值，是待估参数；
6、是因子是因子A A的第的第i个水平下第个水平下第j次试验误差，它们次试验误差，它们是相互独立同分布是相互独立同分布 的随机变量。的随机变量。由此可知：由此可知：单因子试验的三项基本假定用到试验数据单因子试验的三项基本假定用到试验数据yij上去，上去，可得到如下统计模型：可得到如下统计模型：由于由于，诸最小二乘法是使所有的偏差，诸最小二乘法是使所有的偏差的的平方和平方和 即四个产地绿茶的叶酸含量平均值为即四个产地绿茶的叶酸含量平均值为8.27,7.50,5.82,6.35它是第它是第i个水平下的平均值。个水平下的平均值。譬如，在例中，由表可得譬如，在例中，由表可得.达到最小，用微分法立即可得诸的
7、最小二乘估计是：达到最小，用微分法立即可得诸的最小二乘估计是：2.2 2.2 单因子方差分析单因子方差分析2.3 2.3 多重比较多重比较多重比较方法多重比较方法多重比较方法多重比较方法多重比较方法多重比较方法在上例的均值比较中，各自的在上例的均值比较中，各自的 t t 用各自的用各自的 来计算：来计算：1 1、最小显著差数法（、最小显著差数法（LSDLSD法）法）m 为重复数为重复数，S2e 为误差项的方差为误差项的方差多重比较方法多重比较方法2 2、新复极差法（、新复极差法（SSRSSR法或称邓肯法或称邓肯 q q 检验）检验）(1)(1)计算抽样误差：计算抽样误差：(2)(2)计算比较标
8、准：计算比较标准：多重比较方法多重比较方法3 3、TukeyTukey法（法（HSDHSD法或称图基法或称图基 q q 检验）检验）(1)(1)计算抽样误差：计算抽样误差：(2)(2)计算比较标准：计算比较标准：2.4 2.4 效应模型效应模型2.5 2.5 正态性检验正态性检验 在单因子方差分析中，对试验的结果有三项假定：在单因子方差分析中，对试验的结果有三项假定：（1 1）相互独立性；（）相互独立性；（2 2）正态性；（）正态性；（3 3）方差齐性。）方差齐性。若在试验过程中很好的实现随机化，则试验结果的相若在试验过程中很好的实现随机化，则试验结果的相互独立性一般可以得到满足。互独立性一般
9、可以得到满足。而正态性和方差齐性则不太容易满足，需要另外寻求而正态性和方差齐性则不太容易满足，需要另外寻求统计检验方法。统计检验方法。若检验后正态性和方差齐性不能满足，还要寻求补救若检验后正态性和方差齐性不能满足，还要寻求补救方法方法数据变换，使数据具有完全或近似正态性和方差数据变换，使数据具有完全或近似正态性和方差齐性。齐性。检验数据资料是否服从正态分布。检验数据资料是否服从正态分布。正态分布检验有多种方法：正态分布检验有多种方法：1 1）偏度、峰度、）偏度、峰度、Q-QQ-Q图、正态概率纸检验图、正态概率纸检验2 2）卡方拟合优度检验）卡方拟合优度检验3 3）Shapiro-WilkSha
10、piro-Wilk检验检验4 4）经验分布拟合优度检验）经验分布拟合优度检验1 1、正态分布检验、正态分布检验正态性检验正态性检验1 1）偏度、峰度、）偏度、峰度、Q-QQ-Q图、正态概率纸检验图、正态概率纸检验 比较直观，但有些粗略。比较直观，但有些粗略。2 2）卡方拟合优度检验）卡方拟合优度检验 分组不同，拟合的结果可能不同。分组不同，拟合的结果可能不同。需要有足够大的样本含量。需要有足够大的样本含量。对于连续型变量的优度拟合，卡方检验对于连续型变量的优度拟合，卡方检验并不是理想的方法。并不是理想的方法。正态性检验正态性检验将数据排序后一分为二折返配对，计算差值，将数据排序后一分为二折返配
11、对，计算差值，查系数表查系数表ak(n)，构造构造W 统计量。统计量。Shapiro-Wilk Shapiro-Wilk W 统计量统计量2 2、Shapiro-WilkShapiro-Wilk检验法检验法（小样本小样本 88n5050）正态性检验正态性检验统计量统计量W W 的取值范围为的取值范围为0,10,1在原假设在原假设 H H0 0：数据服从正态分布下，统计量数据服从正态分布下，统计量W 应该接近于应该接近于1，反之应接近于反之应接近于0，在给定显在给定显著性水平著性水平下，使得：下，使得：其拒绝域为：其拒绝域为：2 2、Shapiro-WilkShapiro-Wilk检验法检验法（
12、小样本小样本 88n5050）正态性检验由样本计算得到经验分布函数由样本计算得到经验分布函数F Fn n(x)(x)与原假设与原假设指定的正态分布指定的正态分布F F0 0(x)(x)之间的差异进行检验。之间的差异进行检验。1 1）Kolmogorov-Smirnov Kolmogorov-Smirnov D D 统计量统计量比较实际频数与理论频数的累积概率间的差比较实际频数与理论频数的累积概率间的差距，找出最大距离距，找出最大距离D D，根据，根据D D 值来进行检验。值来进行检验。3 3、几种经验分布拟合优度检验、几种经验分布拟合优度检验（大样本大样本 5050）正态性检验2 2）Cramer-von Cramer-von W W 2 2 统计量统计量3 3）Anderson-Darling Anderson-Darling A A 2 2 统计量统计量正态性检验2.6 2.6 方差齐性检验方差齐性检验