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1、4 结构可靠度指标的结构可靠度指标的实用计算方法实用计算方法4.1结构可靠性分析的基本概念和原理n n结结构构可可靠靠性性分分析析是是基基于于事事物物具具有有不不确确定定性性这这样样一一个个基基本本观观点点，利利用用适适当当的的数数学学模模型型建建立立这这些些不不确确定定性性与与结结构构性性能能之之间间的的联联系系，则则是是结结构构可可靠靠性性理理论论所所研研究究的的主主要要问问题题。工工程程结结构构可可靠靠性性分分析析与与广广泛泛应应用用于于电电子子学学、机机械械学学等等领领域域的的可可靠靠性性分分析析有有其自身的一些特点：其自身的一些特点：n n（1 1）大多数电子、机械部件和系统，在使用
2、过程中由于温）大多数电子、机械部件和系统，在使用过程中由于温度升高、机械磨损、疲劳、超负荷和其他原因而损坏，因此度升高、机械磨损、疲劳、超负荷和其他原因而损坏，因此考虑它们的寿命是很自然的。除了由于腐蚀和疲劳机理而破考虑它们的寿命是很自然的。除了由于腐蚀和疲劳机理而破坏之外，坏之外，土木土木工程结构体系不是被逐渐破坏的，甚至在某些工程结构体系不是被逐渐破坏的，甚至在某些情况下它的强度会增强，例如混凝土的强度随龄期增加，土情况下它的强度会增强，例如混凝土的强度随龄期增加，土壤的强度由于固结而增大。因此它们一般不是在使用中失效。壤的强度由于固结而增大。因此它们一般不是在使用中失效。n n（2 2）
3、大大多多数数电电子子和和机机械械部部件件是是大大批批量量生生产产，并并且且名名义义上上可可假假定定是是相相同同的的，可可用用相相对对频频率率来来解解释释失失效效概概率率。但但对对于于土土木木工工程程结结构构，现现场场施施工工而而成成，并并非非是是大大批批量量生生产产。用用相相对对频频率率来解释失效概率的处理方法显然是不合适的。来解释失效概率的处理方法显然是不合适的。n n工程结构设计大致可以分为两个步骤：工程结构设计大致可以分为两个步骤：uu第一步是选择合理的结构方案和型式，第一步是选择合理的结构方案和型式，uu第二步是设计结构或构件截面第二步是设计结构或构件截面 t t）选择合理的结构计算模
4、型（计算简图）；）选择合理的结构计算模型（计算简图）；t t）荷载与内力计算及荷载效应组合）荷载与内力计算及荷载效应组合t t）结构或构件截面设计与验算；）结构或构件截面设计与验算；t t）确定合理的截面尺寸与材料用量等。）确定合理的截面尺寸与材料用量等。n n当结构计算模型选定后，需要涉及许多参数。这些参数可归当结构计算模型选定后，需要涉及许多参数。这些参数可归纳为主要的两大类：纳为主要的两大类：uu一类是与结构或构件的作用效应或荷载效应的有关参数，包括施加在一类是与结构或构件的作用效应或荷载效应的有关参数，包括施加在结构上的直接作用或引起结构外加变形或约束变形的间接作用，如结结构上的直接作
5、用或引起结构外加变形或约束变形的间接作用，如结构承受的设备、车辆及施加于结构的刚荷载、雪荷载、土压力、温度构承受的设备、车辆及施加于结构的刚荷载、雪荷载、土压力、温度作用等。作用等。uu另另一一类类是是与与结结构构或或构构件件抗抗力力的的有有关关参参数数，如如材材料料强强度度、截截面面尺尺寸寸、连连接条件等。接条件等。n n它它们们共共同同构构成成了了结结构构设设计计的的基基本本变变量量，它它们们的的统统计计规规律律构构成成了了可可靠靠性性理理论论的的基基础础。我我们们就就把把这这些些决决定定结结构构静静态态或或动动态态反反应的设计参数，定义为结构设计基本随机变量。应的设计参数，定义为结构设计
6、基本随机变量。n n以以R R表示结构的抗力结构的承载力或允许变形；表示结构的抗力结构的承载力或允许变形；n n以以S S表表示示结结构构的的作作用用效效应应由由结结构构上上的的作作用用所所引引起起的的各各种种内内力力、变形、位移等；变形、位移等；n n则判断结构是否可靠的功能函数为则判断结构是否可靠的功能函数为Z Zg(R,S)g(R,S)=R RS S n n结构不能完成预定功能的概率为失效概率，表示为结构不能完成预定功能的概率为失效概率，表示为P Pf f ：n n利用上式计算结构的失效概率当然是最理想最精确的，但是在利用上式计算结构的失效概率当然是最理想最精确的，但是在实际应用中却有以
7、下困难：实际应用中却有以下困难：n n首先，由于影响结构可靠性的因素很多，极为复杂，有些因素首先，由于影响结构可靠性的因素很多，极为复杂，有些因素的研究尚不够深入，因此在现有条件下，没有充足的数据来的研究尚不够深入，因此在现有条件下，没有充足的数据来确定确定n n个基本随机变量的联合概率密度函数，甚至也很难有足个基本随机变量的联合概率密度函数，甚至也很难有足够的数据保证边缘分布函数和协方差是可信的；够的数据保证边缘分布函数和协方差是可信的；n n其次，即使联合概率密度函数是已知的，但当变量较多或功能其次，即使联合概率密度函数是已知的，但当变量较多或功能函数为非线性时，上式确定的积分也会亦得相当
8、复杂。函数为非线性时，上式确定的积分也会亦得相当复杂。n n对于大多数问题不存在解析解，人们通常采用一些近似方对于大多数问题不存在解析解，人们通常采用一些近似方法来求出结构的可靠指标。法来求出结构的可靠指标。n n当当R R、S S 相相互互独独立立，且且均均服服从从正正态态分分布布时时，则则Z ZR RS S 也也服服从从正正态态分分布布，结结构构可可靠靠指指标标与与失失效效概概率率P Pf f 具具有有一一一一对对应应的关系。的关系。n n在在一一般般情情况况下下，一一阶阶矩矩（均均值值）和和二二阶阶矩矩（标标准准差差）是是比比较较容容易易得得到到的的参参数数，故故国国内内外外目目前前广广
9、泛泛采采用用均均值值(一一阶阶原原点点矩矩)和和标标准准差差(二二阶阶中中心心矩矩)来来计计算算结结构构可可靠靠度度。当当结结构构功功能能函函数数为为非非线线性性函函数数时时，则则设设法法对对其其进进行行线线性性化化处处理理。具有这种特点的方法称为一次二阶矩法（具有这种特点的方法称为一次二阶矩法（FOSMFOSM）。）。4.2 中心点法中心点法n n该该法法首首先先将将结结构构功功能能函函数数在在随随机机变变量量的的平平均均值值（中中心心点点）算算用用泰泰勒勒级级数数展展开开并并取取线线性性项项，然然后后近近似似计计算算功功能能函函数数的的平平均均值值和和标标准准差差。可可靠靠指指标标直直接接
10、用用功功能函数的平均值和标准差之比表示。能函数的平均值和标准差之比表示。n n设设结结构构的的功功能能函函数数为为 g g(X X1 1,X X2 2 X Xn n)n n极极限限状状态态方方程程为为 g g(X X1 1,X X2 2,X Xn n)=0=0，其其中中i i(i=1,2,ni=1,2,n)生生成成的的空空间间记记为为，(X X1 1,X X2 2,X,Xn n)表示表示 中的点。中的点。n n按泰勒级数展开按泰勒级数展开n n取线性项，做线性化处理取线性项，做线性化处理n n极限状态方程为极限状态方程为n n平均值和方差为平均值和方差为n n点点MM(X1 X1,X2 X2
11、XnXn)，称为，称为 的中心点，它的中心点，它以各基本变量的均值为坐标。极限状态方程以各基本变量的均值为坐标。极限状态方程所对应所对应的曲面将空间分为结构的可靠区和失效区，的曲面将空间分为结构的可靠区和失效区，所对应所对应的曲面称为失效边界。中心点的曲面称为失效边界。中心点位于结构的可靠区内位于结构的可靠区内中心点法的最大特点是：中心点法的最大特点是：n n计算简单，计算简单，运用中心点法进行结构可靠性计算时，不运用中心点法进行结构可靠性计算时，不必知道基本变量的的真实概率分布，只需知道其统计必知道基本变量的的真实概率分布，只需知道其统计参数：均值、标准差或变异系数，即可按上式计算可参数：均
12、值、标准差或变异系数，即可按上式计算可靠指标值以及失效概率靠指标值以及失效概率f f。n n若值若值 较小，即较小，即f f 值较大时，值较大时，f f 值对基本变量联合值对基本变量联合概率分布类型很不敏感，由各种合理分布计算出的概率分布类型很不敏感，由各种合理分布计算出的f f 值大致在同一个数量级内；值大致在同一个数量级内；n n若若 值较大，即值较大，即f f 值较小时，值较小时，f f 值对基本变量的联值对基本变量的联合概率分布类型很敏感，此时，概率分布不同，计算合概率分布类型很敏感，此时，概率分布不同，计算出的出的f f 值可在几个数量级范围内变化。值可在几个数量级范围内变化。中心点
13、法存在以下不足：中心点法存在以下不足：n n（）不不能能考考虑虑随随机机变变量量的的实实际际分分布布，只只取取用用随随机机变变量量的的一一阶阶矩矩（均均值值）和和二二阶阶矩矩（方方差差），可可靠靠指指标标 1.01.02.02.0的的结结果果精精度度高高；当当f f 1010-5-5 时时，使使用用中中心心点点法法必必须须正正确确估估计计基基本本变变量量的的概概率率分分布布和和联联合分布类型。合分布类型。因此计算结果比较粗糙；因此计算结果比较粗糙；n n（）对对于于非非线线性性结结构构的的功功能能函函数数，由由于于随随机机变变量量的的平平均均值值不不在在极极限限状状态态曲曲面面上上，进进行行线
14、线性性化化处处理理展展开开后后的的线线性性极极限限状状态态平平面面，可可能能会会较较大大程程度度地地偏偏离离原原来来的的可可靠靠指指标标曲曲面面；所所以以误误差差较较大大，且且这这个个误误差差是无法避免的。是无法避免的。n n（）对对有有相相同同力力学学含含义义但但不不同同表表达达方方式式的的极极限限状状态方程，由中心点法计算的可靠指标可能不同。态方程，由中心点法计算的可靠指标可能不同。算例算例n n有一根圆截面拉杆有一根圆截面拉杆材料的屈服强度材料的屈服强度f fy y 的均值和标准差分别为的均值和标准差分别为fy fy355MPa355MPa，fy fy26.8MPa 26.8MPa 杆件
15、直径杆件直径d d的均值和标准差分别为的均值和标准差分别为 d d1414mmmm，d d0.70.7mmmm，承受拉力承受拉力的均值和标准差分别为的均值和标准差分别为 d d2525KNKN，d d6.256.25KNKN，n n求该拉杆的可靠指标。求该拉杆的可靠指标。n n解：（）采用极限荷载表示的极限状态方程解：（）采用极限荷载表示的极限状态方程n n可靠指标为n n（）采用应力极限状态方程（）采用应力极限状态方程n n因此因此可靠指标为可靠指标为n n计算表明，对于同一问题，当采用不同型式的极限状态方程时，可靠指标值不同，甚至相差较大（如本例），这就是前面所提不能抑制中心点法的严重不足
16、之处。4.3 法法(验算点法验算点法)n n为了克服中心点法的不足，哈索弗尔和林德为了克服中心点法的不足，哈索弗尔和林德N.C.N.C.LindLind 、拉克维茨、拉克维茨R.RackwitzR.Rackwitz和菲斯莱和菲斯莱(FiesslerFiessler)等人提出验算点法。等人提出验算点法。n n它的特点是：它的特点是：uu（）能考虑随机变量的实际分布类型，并通过（）能考虑随机变量的实际分布类型，并通过“当量当量正态化正态化”途径，把非正态变量当量化为正态变量；途径，把非正态变量当量化为正态变量；uu（）线性化点不是选在平均值处，而是选在失效边界（）线性化点不是选在平均值处，而是选在
17、失效边界上，并且该线性化点（设计验算点）是与结构最大可能上，并且该线性化点（设计验算点）是与结构最大可能失效概率相对应的。失效概率相对应的。n n这种方法被国际安全联合委员会（这种方法被国际安全联合委员会（JCSSJCSS）推荐采用，）推荐采用，因此，亦称法。因此，亦称法。n n作为对中心点法的改进，主要有两个特点：作为对中心点法的改进，主要有两个特点：uu（）当功能函数（）当功能函数Z Z为非线性时，不以通过中心点的超切为非线性时，不以通过中心点的超切平面作为线性近似，而以通过平面作为线性近似，而以通过Z Z0 0上的某一点上的某一点X X*(*(x x1 1*,*,x x2 2*,*,x
18、xn n*)*)超切平面作为线性近似，以避免中超切平面作为线性近似，以避免中心点方法中的误差。心点方法中的误差。uu（）当基本变量（）当基本变量x xi i 具有分布类型的信息时，将具有分布类型的信息时，将x xi i 的分的分布在布在(x x1 1*,*,x x2 2*,*,x xn n*)*)处以与正态分布等价的处以与正态分布等价的条件，变换为当量正态分布，这样可使所得的可靠指标条件，变换为当量正态分布，这样可使所得的可靠指标与失效概率之间有一个明确的对应关系，从而在与失效概率之间有一个明确的对应关系，从而在 中合理中合理地反映了分布类型的影响。地反映了分布类型的影响。n n这个特定点这个
19、特定点(x x1 1*,*,x x2 2*,*,x xn n*)*)我们称之为我们称之为验算点。验算点。n n设功能函数设功能函数g g(x x1 1,x x2 2,x xn n)按按n n将将X X空间变换到空间变换到空间，得空间，得 g g1 1(U(U1 1,U,U2 2,U,Un n)n n可靠指标在几何上就是可靠指标在几何上就是U U空间内从原点空间内从原点（即中（即中心点）到极限状态超曲面心点）到极限状态超曲面0 0的最短距离。在超的最短距离。在超曲面曲面0 0上，离原点上，离原点最近的点最近的点P P*(u u1 1*,u u2 2*,u un n*)即为验算点。这样很容即为验算
20、点。这样很容易写出通过验算点易写出通过验算点P P*在超曲面在超曲面Z Z0 0上的超切平面上的超切平面的方程式的方程式n n由于由于P P*是是()()0 0上的一点，因此上的一点，因此n n则得超切平面的方程式为则得超切平面的方程式为n n类类似似于于两两个个正正态态随随机机变变量量的的情情况况，此此时时的的可可靠靠指指标标 是是标标准准化化正正态态空空间间坐坐标标系系中中原原点点到到极极限限状状态态曲曲面面的的最最短短距距离离，也也就就是是P P*点点沿沿其其极极限限状状态态曲曲面面的的切切平平面面的的法法线线方方向向至至原原点点的的长长度度。如图如图3 3所示为三个正态随机变量的情况，
21、所示为三个正态随机变量的情况，P P*为为“设计验算点设计验算点”。1、两个正态随机变量的情况、两个正态随机变量的情况n n设结构极限状态方程为设结构极限状态方程为 Z Z=g g(R R,S S)R R S S 0 0n n在在 SORSOR 坐标系中坐标系中,极限状态方程是一条过原点的直线极限状态方程是一条过原点的直线,它的倾它的倾角为角为4545如图如图(1)(1)所示。所示。n n对随机变量对随机变量 R R 和和 S S 进行标准化变换，得到（参见图进行标准化变换，得到（参见图(2)(2)）R-S=0RS45n n原坐标系和新坐标系之间的关系为原坐标系和新坐标系之间的关系为 R R
22、R R RR R R S S S S SS S Sn n将式（将式（2 2）带入极限状态方程）带入极限状态方程 R R S S 0 0中，可得新坐标系中，可得新坐标系中的极限状态方程为中的极限状态方程为 (R R RR R R)(S S SS S S)0 0 R R R R S S S S R R S S 0 0 R R coscosR R SS coscosS S=0=0n n在验算点法中在验算点法中,的计算就转化为求的计算就转化为求OP*OP*的长度。的长度。coscos R R与与coscos S S是法线是法线OP*OP*对坐标向量对坐标向量R R及及S S的方向余弦，的方向余弦，垂足
23、垂足P*P*是极限状态方程上的一点是极限状态方程上的一点,称为称为“设计验算设计验算点点”。n n在满足在满足Z Z=R R S S 0 0 的各组的各组(S,RS,R)中中,设计验算点是设计验算点是最有可能使结构发生失效的一组取值。最有可能使结构发生失效的一组取值。n nP P*的坐标分别为：的坐标分别为：RR =coscosR R S S =coscosS S n n由于由于P P*点在极限状态点在极限状态 直线上，所以（直线上，所以（R R*，S S*）也必然满足也必然满足 Z=Z=R R*-S S*=0 =0 2.多个正态随机变量的情况多个正态随机变量的情况n n设结构的极限状态方程为
24、设结构的极限状态方程为g g(x x1 1,x x2 2,x xn n)，x x1 1,x x2 2,x xn n 服从正态分布且相服从正态分布且相互独立。互独立。n n它表达为坐标系它表达为坐标系O OX X1 1,X X2 2,X Xn n中的一个中的一个曲面，这个曲面把曲面，这个曲面把 n n 维空间分成安全区和失效区两维空间分成安全区和失效区两个区域。个区域。n n对随机变量对随机变量 x x1 1(i i=1,2,=1,2,n n)进行标准化转换，得到进行标准化转换，得到标准化正态随机变量标准化正态随机变量n n则极限状态方程在坐标系则极限状态方程在坐标系O OXX1 1,XX2 2
25、,XXn n中表达为中表达为n ng g(XX1 1 X X1 1 +X1X1,XX2 2 X2 X2+X2X2,XXn n Xn Xn+XnXn)=0)=0n n类似于两个正态随机变量的情况，此时的可靠指标类似于两个正态随机变量的情况，此时的可靠指标 是标准化正态空间坐标系中原点到极限状态曲面的是标准化正态空间坐标系中原点到极限状态曲面的最短距离，也就是最短距离，也就是P*P*点沿其极限状态曲面的切平面点沿其极限状态曲面的切平面的法线方向至原点的长度。如图的法线方向至原点的长度。如图3 3所示为三个正态随所示为三个正态随机变量的情况，机变量的情况，P*P*为为“设计验算点设计验算点”。3.非
26、正态随机变量情况非正态随机变量情况(当量正态化法当量正态化法)n n一般情况下一般情况下,在结构的极限状态中往往含有非正态随机变量在结构的极限状态中往往含有非正态随机变量,如结构的抗如结构的抗力一般服从对数正态分布力一般服从对数正态分布,活荷载一般服从极值活荷载一般服从极值型分布或其他分布等。型分布或其他分布等。对于这种情况下的可靠度分析对于这种情况下的可靠度分析,一般要把非正态变量当量化化为正态分一般要把非正态变量当量化化为正态分布随机变量。布随机变量。n n基本原理是首先将非正态变量基本原理是首先将非正态变量X Xi i先行当量正态化。当量正态化的条件是：先行当量正态化。当量正态化的条件是
27、：（1 1）在设计验算点）在设计验算点X Xi i*处，当量正态化随机变量处，当量正态化随机变量X Xi i*的分布函数值与随机的分布函数值与随机变量变量X Xi i 的分布函数值相等；（的分布函数值相等；（2 2）在设计验算点）在设计验算点X Xi i*处，当量正态化随机变处，当量正态化随机变量概率密度函数值与原随机变量概率密度函数值相等。量概率密度函数值与原随机变量概率密度函数值相等。开始输入：Xi（il,2n）的统计参数及分布类型，极限状态方程表达式Z=g（X1，X2，Xn）=0假定随机变量Xi的设计验算点P*坐标值xi*对于非正态变量Xi，根据xi*，由公式求出和以代替和按式求出各方向余玄cosxi以cosxi，代入式中求出值按值由式求出各xi*值|允许误差Yes输出：本次，xi*值No以本次xi*为下次值结束