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1、第第7 7章章 实用计算方法实用计算方法 -标准特征问题标准特征问题标准特征问题标准特征问题特征向量特征向量特征值特征值-广义特征问题广义特征问题广义特征问题广义特征问题振型方程：振型方程：振型方程：振型方程：-动力矩阵动力矩阵动力矩阵动力矩阵7.1 7.1 7.1 7.1 迭代法迭代法迭代法迭代法一一.迭代法求基频和基本振型迭代法求基频和基本振型1.1.作法作法假设振型假设振型 ,计算计算 ,若若 是真的振型是真的振型,则下式成立则下式成立即即 与与 成比例成比例.若不成比例若不成比例,不是振型不是振型.迭代式为迭代式为这时将这时将 归一化归一化,得得 ;在将在将 其作为新的假设振型继续计算
2、其作为新的假设振型继续计算.一直算到一直算到 与与 成比例为止成比例为止.为基本振型为基本振型.这时下式成立这时下式成立基本频率由下式计算基本频率由下式计算2.2.算例算例:用迭代法计算图示体系的基频和基本振型用迭代法计算图示体系的基频和基本振型.解解:设设归一化归一化归一化归一化归一化归一化mmm321归一化归一化基本振型为基本振型为基本频率为基本频率为精确值为精确值为归一化归一化7.2 7.2 7.2 7.2 能量法能量法能量法能量法设体系按设体系按i i振型作自由振动，位移为振型作自由振动，位移为速度为速度为动能为动能为势能为势能为一、计算公式一、计算公式最大动能为最大动能为最大势能为最
3、大势能为由能量守恒，有由能量守恒，有-瑞利商瑞利商 选满足位移边界条件的，形状与振型相近的向选满足位移边界条件的，形状与振型相近的向量代入上式求频率的近似值。量代入上式求频率的近似值。通常将重力作为荷载所引起的位移代入上式求通常将重力作为荷载所引起的位移代入上式求基本频率的近似值。基本频率的近似值。例例.用能量法计算图示体系的基频用能量法计算图示体系的基频.mmm321解解:1.1.取自重引起的位移取自重引起的位移mgmgmg精确解精确解:2.2.取直线取直线3.3.取常数取常数mmm321mgmgmg精确解精确解:二、瑞利商的极值特性二、瑞利商的极值特性1 1、当假设振型、当假设振型 在在
4、附近变化时，附近变化时，使瑞利使瑞利 商取极小值。商取极小值。证：证：标准振型标准振型2 2、当假设振型、当假设振型 在在 附近变化时，附近变化时，使瑞利使瑞利 商取极大值。商取极大值。3 3、当假设振型、当假设振型 在某一在某一 附近变化时，附近变化时，使使 瑞利商取驻值。瑞利商取驻值。7.3 7.3 7.3 7.3 瑞利瑞利瑞利瑞利-里兹法里兹法里兹法里兹法对于对于n n自由度体系，设自由度体系，设令令-q 阶特征问题阶特征问题步骤：步骤：1.1.给定给定q q个向量个向量2.2.求求3.3.求求q q阶特征问题阶特征问题4.4.求振型求振型例例.求前两阶频率和振型求前两阶频率和振型.mmm321解解:mmm321例例.求前两阶频率和振型求前两阶频率和振型.解解:归一化归一化精确解精确解:精确解精确解: