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1、三角函数与平面向量一、单选题（本大题共6小题，共30.0分）1. cos24cos36cos66cos54=( )A. 0B. 12C. 32D. 12【答案】B【解析】【分析】本题考查了两角和与差的三角函数，属于基础题利用诱导公式进行转化，再利用两角和与差的三角函数公式进行化简即可【解答】解：cos24cos36cos66cos54=sin66cos36cos66sin36=sin(6636)=sin30=12故选B2. 已知sin(30+)=35，60150，则cos=()A. 31010B. 31010C. 34310D. 43310【答案】C【解析】【分析】本题考查两角差的余弦函数，正
2、余弦平方关系，以及变角在三角函数求值中的应用，注意角的范围由题意求出30+的范围，由平方关系求出cos(30+)的值，利用两角差的余弦函数求出cos的值【解答】解：60150，9030+180，sin(30+)=35，cos(30+)=1sin2(30+)=45，cos=cos(30+)30=cos(30+)cos30+sin(30+)sin30=4532+3512=34310，故选C3. sin20cos10+sin10sin70的值是()A. 14B. 32C. 12D. 34【答案】C【解析】解：sin20cos10+sin10sin70=cos70cos10+sin70sin10=co
3、s(7010)=cos60=12故选：C利用两角差的余弦公式求解即可得答案本题考查三角函数化简求值，是基础题4. 3sin12+cos12=()A. 2B. 2C. 622D. 6+22【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了和角正弦公式及特殊角的三角函数值的应用，属于基础题结合辅助角公式及特殊角的三角函数值即可求解【解答】解：3sin12+cos12=2(32sin12+12cos12)=2sin(12+6)=2sin4=2故选：A5. 已知sin+sin(+3)=1，则sin(+6)=()A. 12B. 33C. 23D. 22【答案】B【解析】解：sin+sin(+3)=1，sin+12
4、sin+32cos=1，即32sin+32cos=1，得3(12cos+32sin)=1，即3sin(+6)=1，得sin(+6)=33故选：B利用两角和差的三角公式，进行转化，利用辅助角公式进行化简即可本题主要考查三角函数值的化简和求值，利用两角和差的三角公式以及辅助角公式进行转化是解决本题的关键难度不大6. 已知，sin(+)=13，|2，则cos(+6)=()A. 22+36B. 26+16C. 2236D. 2616【答案】B【解析】解：sin(+)=sin=13，故：sin=13，由于|2，cos=1sin2=223，则：cos(+6)=coscos6sinsin6=22332+12
5、13=26+16故选：B直接利用同角三角函数关系式的应用和诱导公式的应用求出结果本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，同角三角函数关系式的应用，诱导公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型二、解答题（本大题共8小题，共96.0分）7. 已知，均为锐角，且sin=55，cos=1010，求的值【答案】解：，均为锐角，且sin=55，cos=1010，cos=255，sin=31010，且cos()=coscos+sinsin=2551010+5531010=22又，均为锐角，20故=4【解析】本题考查同角三角函数的基本关系，两角和与差的三角函数公式，属于基础题由题意可
6、得，的值，再根据两角和与差的三角函数公式可得，由特殊角的三角函数值即可求得答案8. 已知(0,2)()若sin=55，求sin(+6)的值；()若cos(+6)=55，求sin的值【答案】解：()因为sin=55，(0,2)，所以cos=255，所以sin(+6)=32sin+12cos，=1510+2510=15+2510()因为(0,2)，所以+6(6,23)，又因为cos(+6)=55，所以sin(+6)=255，所以sin=sin(+6)6=32sin(+6)12cos(+6)，=21510510=215510【解析】(I)由已知结合同角平方关系可求cos，然后结合两角和的正弦公式即可
7、求解；(II)由已知结合两角差的正弦公式即可求解本题主要考查了同角基本关系及和差角公式在三角化简求值中的应用，属于基础试题9. 已知f=sincos2sin+32sin2+sin。(1)化简f()；(2)若是第三象限角，且cos(+3)=35，求f()的值【答案】解：；(2)解：若是第三象限角，因此+3为第三或第四象限角，【解析】本题考查诱导公式及同角三角函数之间的关系，主要考查学生的计算能力，属于基础题(1)利用诱导公式进行化简即可求得结果；(2)利用同角三角函数关系可得，然后利用两角差的余弦函数公式即可求得结果10. 已知向量a=(cosx,sinx)，b=(3,3)，x0,(1)若a/b
8、，求x的值；(2)记f(x)=ab，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值【答案】解：(1)a=(cosx,sinx)，b=(3,3)，a/b，3cosx=3sinx，当cosx=0时，sinx=1，不合题意，当cosx0时，tanx=33，x0,，x=56；(2)f(x)=ab=3cosx3sinx=23(32cosx12sinx)=23cos(x+6)，x0,，x+66,76，1cos(x+6)32，当x=0时，f(x)有最大值，最大值3，当x=56时，f(x)有最小值，最小值23【解析】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数的性质，属于基础题(1)根据向量的平
9、行即可得到tanx=33，问题得以解决(2)根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出11. 已知cos=437，(0,2)(1)求sin(4+)的值；(2)若cos+=1114，(0,2)，求的值【答案】解：(1)由cos=437，0,2，得sin=1cos2=14372=17所以sin4+=sin4cos+cos4sin=22437+2217=46+214(2)因为，0,2，所以+(0,)又cos(+)=1114，则=1(1114)2=5314所以sin=sin(+)=sin(+)coscos(+)sin=5314437111417=12因为0,2，所以=6【解析】本题注意考
10、查三角函数求值问题，考查推理能力和计算能力，属于中档题(1)利用同角三角函数基本关系先求再利用sin4+=sin4cos+cos4sin即可求解；(2)先求出再利用sin=sin(+)=sin(+)coscos(+)sin即可求出的值12. 已知|a|=3，|b|=2，a与b的夹角为150(1)求(a+b)(a2b)的值;(2)若k为实数，求ka+b的最小值【答案】解：(1)因为|a|=3，|b|=2，a与b的夹角为150，ab=32(32)=3，所以(a+b)(a2b)=a2ab2b2=3+324=2(2)|ka+b|2=k2a2+2kab+b2=3k26k+4=3(k1)2+1，当k=1时
11、，|ka+b|2的最小值为1，即ka+b的最小值为1【解析】本题考查向量数量积的运算及向量模的求法(1)依题意，根据数量积的运算法则化简即可(2)根据|ka+b|2=k2a2+2kab+b2=3k26k+4=3(k1)2+1，即可求得结果13. 如图，在梯形ABCD中，AB/CD，AD=CD=1，AB=3，记AB=a,AD=b，试以a,b为平面向量的一组基底.利用向量的有关知识解决下列问题：(1)若AC+AB=BD，求实数的值；(2)若ADBC，求数量积ACBD的值【答案】解：(1)BD=ADAB=ba，AC=AD+DC=b+13a因为AC+AB=BD，得b+13a+a=ba，即b+13+a=
12、ba，则可得：13+=1解得：=43；(2)因为BC=ACAB=b+13aa=b23a，且ADBC，所以b(b23a)=0，得ab=32，则ACBD=b+13aba=b213a223ab =131 =3【解析】本题考查了平面向量的线性运算及平面向量数量积的运算，属中档题(1)由平面向量的线性运算得：BD=ADAB=ba，AC=AD+DC=b+13a，又AC+AB=BD，则可得b+13+a=ba，即=43(2)由平面向量数量积的运算得：由条件可知BC=ACAB=b+13aa=b23a，且ADBC，可知ADBC=0，即b(b23a)=0，所以ab=32，所以ACBD=b+13aba=b213a22
13、3ab=3，得解14. 在平面直角坐标系中，A(1,2)，B(2,3)，C2,1(1)以线段AB,AC为邻边作平行四边形ABDC，求向量AD的坐标及AD；(2)设实数t满足(ABtOC)OC=0，求t的值【答案】解：(1)由题意知AB=CD=2,31,2=(3,5)，AC=2,11,2=1,1，AD=AC+CD=2,6，AD=210；(2)由题意知：OC=(2,1)，ABtOC=(3+2t,5+t)，由(ABtOC)OC=0，得：(3+2t,5+t)(2,1)=0，2(3+2t)(5+t)=0，5t=11，t=115【解析】本题考查平面向量的坐标运算以及平面向量的数量积运算，向量的加法及相等向量，属于基础题(1)先求出AB=CD=3,5,AC=1,1，然后可以求AD的坐标及AD；(2)先求出OC和ABtOC的坐标，然后利用(ABtOC)OC=0，建立关于t的方程，从而求得t的值第5页，共6页