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1、第一章 极限与连续第第二二节节 数数列列极限的极限的定义定义数列的极限数列的极限播放播放11(1)(1)nnnn 观察数列观察数列当当时的变化趋势时的变化趋势.无限增大无限增大.2nnx 当当时时,n,n 当当时时(1).nnx 没有确定的变化趋势没有确定的变化趋势问题问题:当当无限无限增大时增大时,的变化趋势如何的变化趋势如何？nnx1(1)1nnnxn 当当无限增大时无限增大时,无限接近于无限接近于1.把把无限无限增大这个重要的变化过程记为增大这个重要的变化过程记为.nn语言刻划它语言刻划它.1nxnnn11)1(1 1,100给定给定11,100nx 要要11,100n 由由100,n
2、只要只要1,1000给定给定11,1000nx 要要1000,n 只要只要11,10000nx 要要1,10000给定给定10000,n 只要只要1nx 成立成立，要要0,给定给定问题问题:“无限接近”意味着什么无限接近”意味着什么?1nN .只要只要如何用数学如何用数学它多么小）它多么小），如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是发散的就说数列是发散的.定义定义 若若存在存在常数常数，a使对任意的使对任意的（不论（不论0 总存在正整数总存在正整数，N当当时，时，nN 则称常数则称常数是数列是数列当当 1)(nnxa时的极限时的极限(limit)或者称数列或者称数列收敛收敛 1)(nnxn
3、于于.alim,nnxa 记为记为恒有恒有,nxa 或或()nxa nN 定义定义：0,NZ 使使时时 ,nN .nxa 恒有恒有limnnxa例例12232lim1.+2+1nnnnn 证明证明2232lim1.+2+1nnnnn0,1,N 于是取于是取 ,nN 则当则当时时22321,+2+1nnnn 恒有恒有223211+2+1nnnxnn要使要使证证11n 1,n 22321,+2+1nnnn 1,n 只要只要1,n 即即注意注意 数列极限的定义未给出求极限的方法数列极限的定义未给出求极限的方法.x1x2x2 Nx1 Nx3x几何意义几何意义:2 a aa推论推论只有有限个只有有限个(
4、至多只有至多只有个个)点落在其外点落在其外 .N ,nN 当当时时只有有限多项只有有限多项(,).nxU a 所有的点所有的点都落在开区间都落在开区间内内 (,),nxaa1 ()n nxa 数列数列收敛于收敛于对对的任一的任一领域领域 (,),aU a 否存在否存在.说明：说明：1.是是用来刻划用来刻划与与常数常数的的接近接近程度程度.nxa具有任具有任 2.用来刻划用来刻划的增大程度的增大程度，Nn否否以以为极限为极限，a定义中定义中表明表明了了比比nN N要要，nxa 这样这样的的是是N是是nx关键关键是对是对，0 大大的的各项各项，.都都满足满足,2 Nxnxa 1 Nx与与有关有关，
5、N 相应地相应地N如果如果存在存在，N这样这样的的就就不不唯一唯一.N意性意性和稳定性的双重和稳定性的双重意义意义.n要要变化到什么变化到什么程度程度.3.一般一般地地，取得取得越小越小，就就越越大大.用定义证明用定义证明就是就是证明证明对对，nlim0 nxa 证明的过程就是寻找证明的过程就是寻找的的过程过程，N分析分析出发出发，nxa 找出找出与与的关系的关系：n()()n ，于是可取于是可取为为.N()由于由于 不不唯一唯一，N再再寻找寻找.NN存在存在.证明证明的方法是的方法是从从N不不要求最小要求最小的的,nxa 故故可可把把适当放大适当放大，得到得到一个新的不等式一个新的不等式，例例2证证.0lim nnq,lnlnqn lim0,nnq 证明证明0,0,q 若若limlim00;nnnq则则若若01,qln,lnNq 取取 ,nN 则当则当时时0,nq 恒有恒有其中其中1.q ,0 nnqx要使要使,lnln qn即即