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1、LULIANG UNIVERSITY分类号： 密 级： 毕业论文 题 目: 艾滋病动力学模型的稳定性分析 系 别: 数学系 专业年级: 数学与应用数学2013级 姓 名: 郑金娜 学 号: 20130402332 指导教师: 王晓红 助教 2017年06月10日 原 创 性 声 明本人郑重声明：本人所呈交的毕业论文,是在指导老师的指导下独立进行研究所取得的成果.毕业论文中凡引用他人已经发表或未发表的成果、数据、观点等,均已明确注明出处.除文中已经注明引用的内容外,不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果.对本文的研究成果做出重要贡献的个人和集体,均已在文中以明确方式标明.本声明的法律
2、责任由本人承担.论文作者签名： 日 期： 关于毕业论文使用授权的声明本人在指导老师指导下所完成的论文及相关的资料（包括图纸、试验记录、原始数据、实物照片、图片、录音带、设计手稿等）,知识产权归属吕梁学院.本人完全了解吕梁学院有关保存、使用毕业论文的规定,同意学校保存或向国家有关部门或机构送交论文的纸质版和电子版,允许论文被查阅和借阅；本人授权吕梁学院可以将本毕业论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索,可以采用任何复制手段保存和汇编本毕业论文.如果发表相关成果,一定征得指导教师同意,且第一署名单位为吕梁学院.本人离校后使用毕业论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时,第一署名单位仍然为吕梁学
3、院.论文作者签名： 日 期： 指导老师签名： 日 期： 吕梁学院本科毕业论文（设计）摘 要艾滋病是一种比较引人关注的传染病.近些年来，由艾滋病病毒引起的艾滋病感染病例不断增加且死亡率极高，因而艾滋病的预防和治疗一度是人们探讨和研究的热点.利用动力学模型研究艾滋病的传播是一种重要的途径. 本文的第一章阐述了有关艾滋病的传播机理和研究现状. 第二章介绍了传染病的一般传播模型及所需要的一些基本理论知识. 第三章研究了一类具有潜伏期的SEI艾滋病模型的稳定性.首先,给出了模型的基本再生数、无病平衡点和地方病平衡点；其次，通过Hurwitz判据证明了无病平衡点和地方病平衡点的局部渐近稳定性；最后，通过构
4、造Lyapunow函数证明了无病平衡点的全局渐近稳定性.关键词：艾滋病；基本再生数；平衡点；Lyapunow函数；Hurwitz判据AbstractAIDS has become now the medical history of more concern of the infectious disease. In recent years, caused by HIV AIDS infection is increasing and the death rate is very high, so the prevention and treatment of AIDS is also al
5、ways people to explore and research hotspot. In this context, the establishment and analysis of important value for the study of AIDS model always, it is also a hot topic of concern, different scientists committed to research its mechanism from different angles, in the aspects of the model. The math
6、ematical method has become an important tool in the research of infectious diseases.The first two chapters of this article mainly describe the research background, research significance and research status of AIDS, and introduce the general propagation model of infectious diseases and some basic the
7、oretical knowledge neededThe third chapter studies the stability of a class of SEI model with latent period of AIDS, divides people susceptible to lurk, and infected. First of all, the application of theoretical knowledge of the second chapter calculate the basic reproduction number, secondly, throu
8、gh Hurwitz criterion proved that the local stability of the disease-free equilibrium and the endemic equilibrium. Finally, by constructing a Lyapunov function to prove the global stability of the disease-free equilibrium. Keywords: infectious diseases; AIDS; basic reproductive number; stability吕梁学院本
9、科毕业论文 目 录第一章 绪 论1第二章 预备知识32.1传染病的传播模型32.1.1 SI模型42.1.2 SIS模型42.1.3 SIR模型52.2 基本再生数的计算262.3 Hurwitz稳定判据和Lyapunov稳定性理论72.3.1 Hurwitz稳定判据72.3.2 Lyapunov稳定性理论7第三章 艾滋病SEI流程图83.1 模型的建立93.2 平衡点的存在性和基本再生数93.3 无病平衡点的渐近稳定性103.3.1 无病平衡点的局部渐近稳定性103.3.2 无病平衡点的全局渐近稳定性113.4 地方病平衡点的局部渐近稳定性12第四章 结 论13参考文献15致 谢15第一章
10、绪 论传染病是指能在人与人、动物与动物或人与动物之间相互传播的由各种病原体所产生的引起的一类流行的疾病.很长时间以来,人们在与各种传染病一直做着对抗,有的部分传染病已经被得到控制.近些年来,艾滋病作为全球第四大致死原因,已经成为世界各地的各界人员的广泛注意以及所研究对象.它被医学界全称为获得性免疫缺陷综合征一,是由于人体感染人类免疫缺陷病毒,由此而引发的一种极高死亡率的危险性传染病.艾滋病,是种性免疫缺陷综合症,又叫:后天性免疫缺陷症.英文缩写:AIDS（Acquired Immune Deficiency Syndrome）,曾译为爱滋病,爱死病,分为:HIV-1型和HIV-2 型,1981
11、年在美国首次获得批准,是由“人体免疫缺陷病毒”（HIV - human immunodeficiency virus）所引起的传染病.艾滋病被称为史后世纪得瘟疫,也被称为超级绝症.它是一种人畜共患的疾病,而其中的HIV是主要的攻射人体的病毒,人体中的最重要的淋巴组织即是它攻击的对象,大量扼杀掉T4淋巴组织,使得人体中出现各种的内衰竭.这种病毒也是不分地域的,它严重地破坏了人体的免疫平衡,使人体更容易接受各种病毒的迁入和影响,而HIV本身是不会引发疾病的,它是是由于破坏了自身人体的免疫组织,使人体更容易成为其他病毒的载体,从而引发疾病的爆发.艾滋病病毒平均可以在人体存活8-10年,在其未受其它的
12、病毒感染之前,人体是跟正常人一样的,从外表中是看不出任何的症状的,并且还可以继续的生活很长时间.艾滋病传播的三大主要途径1第一,性接触传播.性接触传播是目前全世界范围内的最主要的传播途径,全球通过性传播传染的感染者约占70%-80%.现如今随着时代的进步与发展,尤其如同性及异性之间的性接触各种具有危险性的性行为都会有很大的传染第二,血液传播.主要是通过静脉注射吸毒而进行传播静脉药瘾者共用了受HIV感染的、未消毒的针头及注射器,致使艾滋病病毒通过此途径传染；还有主要的传播途径是输血和输入血液制品因为在现在社会中有一部分人会去卖血或者有很多人会义务献血,假如携带艾滋病病毒者参加献血,病毒就会随着血
13、液进入到健康人体内而引起感染；针头、牙钻和注射器消毒不严；救护流血的伤员时,救护者本身破损的皮肤接触伤员的血液；理发、美容（如纹眉、穿耳）等一些现代的美容美发场所第三,母婴传播.也称围产期传播,随着时代的进步,很多的妇女感染艾滋病的比例也增加了很多主要是已经感染HIV的妇女通过胎盘、产道及产后哺乳等将HIV传染对传染病动力学模型的研究,基本上是沿用Kermack和Mcjendrick对传染病动力学模型进行研究,于1927年和1932年分别提出仓室模型,随着传染病动力学模型的不断发展,大量数学模型被应用于传染病的问题,也有部分针对麻疹流感等疾病.从模型方面可划分为四类:一类为常微分方程解释流行病
14、模型；二类为偏微分方程解释流行病模型,第三类为结合常微分和偏微分综合解释流行病,这种模型主要受年龄结构的影响.另外一种为随机模型,可以在常微分的基础上增加随机因素和利用链进行模拟.在过去的几十年的数学模型的研究中,人对艾滋病的传播人们已经有了大量研究在国际上流行动力学家Anderson RM在1988年发表的文章“HIV传播的流行病学参数”中第一次提出了HIV感染的动力学数学模型Kermack和Mckendrick与1927年提出的“仓室”建模法最为常用,简称为KM模型Kermack和Mckendrick提出的SIR和SIS模型都是KM模型所用的方法是首先运用再生矩阵的方法求出该模型的基本再生
15、数,接下来运用线性化方法研究特征方程,建立Lyapunov函数,运用Lyapunov-Lasalle不变集定理来求证稳定性这些成果对研究本课题有很大帮助,但是这些成果对艾滋动力学模型的稳定性分析研究还不够全面,有待进一步研究完善.本文主要通过基本理论入手,第一部分首先叙述了传染病的一般传染模型以及所要用到的一些基本理论知识Hurwitz稳定判据、Lyapunov稳定性理论和基本再生数的求解方法；最后建立了有关的艾滋病SEI传播模型,并作了相关的证明.具体内容如下：第二章首先介绍了传染病的一般传播模型,然后介绍了传染病中的重要参数基本再生数的定义和求解方法，Hurwitz稳定判据和Lyapuno
16、v函数用来判断系统的稳定性.为后面证明两个模型的无病平衡点稳定性和地方病平衡点文献奠定了基础第三章研究了一类具有潜伏期的SEI艾滋病模型的稳定性,将人群分为了易感者、潜伏者和感染者.首先,应用第二章的理论知识计算出了基本再生数,其次,通过Hurwitz判据证明了无病平衡点和地方病平衡点的局部稳定性,最后,通过构造适当的Lyapunov函数证明了无病平衡点的全局稳定性第二章 预备知识2.1传染病的传播模型传染病的治疗和预防一直是全世界人们关注的焦点,现如今很多疾病流行于世界各个角落,如霍乱、天花、艾滋病、SARS、H5N1病毒等,从医疗卫生部门和相关的医院了解得到的资料也是不完整的和不完善的,因
17、此通常是依据分析其传播机制来建立模型,根据这种流行病的传播途径建立传染病的数学模型,分析研究它的变化规律,预防以及防止其蔓延的各种传染病的传播是一项艰巨的工程.这里仅就根据一般的传染规律来讨论了传染病的数学模型6.2.1.1 SI模型 假设传染病传播期间地区总人数不变,为常数N.将传染病流行区域内的人群分为易感者类S和感染者类I,设开始时染病人数为,由于总人数为常数,有 . (2-1)设单位时间内一个病人能传染的人数与当时的健康人数成正比,比例常数为k,称k为传染系数,在此情况下不考虑病人可以被治愈,于是可以建立模型 （2-2）由（2-1）可将方程（2-2）整理,得 （2-3）这个模型称为SI
18、模型,即易感染者和已感染者.2.1.2 SIS模型 比如一些传染病是无免疫性的,如痢疾、伤风等,病人治愈后会出现再次被感染.仍假设传染病传播期间地区总人数不变,为常数N.将传染病流行区域内的人群分为易感者类S和感染者类I,设开始时染病人数为,由于总人数为常数,满足方程（1）,但此时考虑病人可以治愈但无免疫力的传染病者的传染模型,这时需要在SI的传播模型中增加一条关于治愈的假设,即假设病人每天被治愈的占病人总人数的比例为（日治愈率）,并且治愈后又再次进入S类,k同前一个模型,则方程（2）应修正为 （2-4）由（2-1）可将方程（2-4）整理,得 （2-5） 这个称为SIS模型.显然为这个传热病的
19、平均传热期,为整个传染期内每个病人有效接触的平均人数（接触数）.2.1.3 SIR模型 对于大多数的传染病,因为它们具有较强免疫力,如手足口病、流感等,病人治愈后不会再被感染,所以既不是易感者,也不是感染者,它们可以远离传播系统.此时仍假设传染病传播期间地区总人数不变,为常数N.将传染病流行区域内的人群分为易感者类S、感染者类I和病愈免疫的移出者R,设开始时易感者人数,染病人数为,移出者,k、与前两个模型.则此时的方程（2-1）应修改为 . (2-6)方程（2-2）应该为 (2-7)因为感染者愈合之后退出传染系统,则方程（2-6）与R无关,以上方程组可等价于 （2-8）这个模型称为SIR模型.
20、2.2 基本再生数的计算2说到传染病,人们更关心的主要还是它的传染力.对于很多传染病模型来说,都设置了疾病消除平衡点,也就是说到达这个平衡点（DFE）以后,疾病就会从人群中逐渐消失,阈值参数通常都存在于这些传染病模型的每个模型中,也就是所谓的基本再生数,也就是说对于一个易染群体来说,在刚开始的群体中一个感染者在平均患病期内可以传染给几个人的人数.当时,对于疾病消除的阈值来说就是很简单明了的；当时,也就是说对于一个病人来说,在群体中它所能传染的人数小于1时的平衡点,即为疾病消除阈值,它在整个过程中是非常稳定的,这个时候只存在无病平衡点,并且还是全局稳定性的,因此疾病很明显会是逐渐消亡的.而当时,
21、对于无病平衡点来说,它在群体中是不稳定的,并且长期存在于群体中,就形成了地方性疾病,这时候仅存在唯一的全局渐进稳定的地方病平衡点.文献中给出了在自治系统中的有关计算基本再生数计算的方法以及DEF局部渐进稳定的阈值参数.由于一个种群所具有的多样性,考虑到其中的个体可以根据年龄、行为、空间位置（或疾病阶段）区分,但是可以分为n个仓室,前m个仓室为患病个体仓室记：1、为所有疾病消除集合,；2、是指第个仓室新的患者的出现率；3、是指进入第仓室的由其他方式的转移率；4、是指离开第仓室的由其他方式转移率令,那么仓室模型为 （2-9）假设下列条件满足：（1）若,则（2）若,则特别地,如果,则（3）如果,则（
22、4）若,则,并且（5）如果,则的所有特征值根都具有负实部,这里是在的雅克比矩阵中 （2-10）若是式(2-9)的DFE,则雅克比矩阵和分别可以定义为以下形式： （2-11）其中为矩阵,且 （2-12）是非负的,非退化m阶矩阵令 （2-13）这里是矩阵的谱半径,则当时,是局部渐近稳定的,当时,是不稳定的2.3 Hurwitz稳定判据和Lyapunov稳定性理论根据特征方程式的根的性质用是来判定判别系统稳定性的最基本的方法,然而，对于求解高于三阶的特征方程式就十分的复杂和困难.因此在实际的应用过程中便提出了各种有关的工程方法,它们无需求出特征根,但都说明了特征根在复平面上的分布情况,从而判别系统的
23、稳定性.下面我们就介绍Hurwitz判据和Lyapunov稳定性理论.2.3.1 Hurwitz稳定判据要将该自治系统中的特征方程改写成如下的标准形式 （2-14）现以它的各项系数写出如下的维赫尔维茨（Hurwitz）行列式D： （2-15）线性定常系统稳定的充要条件为,Hurwitz行列式的各阶主子式均大于零：,.,（2-16）2.3.2 Lyapunov稳定性理论在数学和自动控制领域中,李雅普诺夫（Lyapunov）稳定性可用来描述一个动力系统的稳定性.如果此动力系统任何初始条件在附近的轨迹均能维持在附近,那么该系统可以称为在处李雅普诺夫稳定.若任何初始条件在附近的轨迹最后都趋近,那么该系
24、统可以称为在处渐近稳定.一般针对于系统的稳定性可由其它方式求得,而在线性及非线性的系统中可利用李雅普诺夫稳定性理论来求得.因此李雅普诺夫稳定性多半用来分析非线性系统的稳定性.设n维自治微分方程 （2-17）若有原点的邻阈U和一个正定（负定）函数,使得沿着方程轨迹的全导数是半负定（半正定）的,则方程的零解是稳定的,且使得正定（负定）时,方程的零解释渐近稳定的.设是方程的一个平衡点,是方程的包含原点的定义域,设是连续的可微函数,如果,在内成立且,那么原点是稳定的；如果在内,那么原点是渐近稳定的. 第三章 艾滋病SEI流程图3.1 模型的建立 在艾滋病的传播过程中,艾滋病的治愈率是很低的,几乎是没有
25、治愈好的，所以治愈者的数量对整个种群规模的影响完全忽略,不考虑。根据艾滋病的病情状态将总人口分为三类：易感者、潜伏期者和染病者,且艾滋病患者从感染HIV到成为艾滋病病人要经过不同的发展时期,一般分为急性感染期、无症状感染期和艾滋病期根据已知的艾滋病生态学，将建立如下模型： (3-1）在以上的式子中,表示易感者的输入量,表示易感者与潜伏者之间的传染率,表示易感者与染病者之间的传染率,为艾滋病的平均潜伏期,在潜伏期内,当人们身体中的免疫系统被完全破坏后就会从潜伏者转变为艾滋病患者表示由于自然原因的死亡率,表示由于病情的死亡率3.2 平衡点的存在性和基本再生数在方程（3-1）总存在一个无病平衡点根据
26、求解基本再生数的计算方法,选取和矩阵如以下 （3-2）染病的分室是,模型的无病平衡点是令,得F和V矩阵为 , (3-3) 解得 (3-4)所以 (3-5) （3-6） 因此其特征值为 , (3-7) 则模型的基本再生数也就是的谱半径,即 (3-8) 是艾滋病传播的基本再生数,它代表的意思是当总人口达到平衡态,且都是易感者时,引入一位感染者,它在平均感染期内所能感染的人数.当时得到地方病平衡点,记为令式（3-1）右端等于零,则得出： (3-9) (3-10) (3-11) 根据计算,我们得出结论：当时,模型（3-1）仅存在无病平衡点；当时,系统（3-1）存在唯一的地方病平衡点3.3 无病平衡点的
27、渐近稳定性3.3.1 无病平衡点的局部渐近稳定性引理3.3.1 当时,无病平衡点是局部渐近稳定的当时,无病平衡点是不稳定的证明 模型（3-1）在的Jacobian矩阵为： 则模型（3-1）在无病平衡点处的Jacobian为 显然是矩阵的另外一个特征值,另外两个特征值由矩阵确定： 令它的特征方程等于零 解得 即 其中,当时,由Hurwitz判据, ,此时矩阵的两个根都有负实部综上所述矩阵的根都含有负实部,所以无病平衡点是局部渐近稳定的3.3.2 无病平衡点的全局渐近稳定性引理3.3.2 当时,无病平衡点是全局渐近稳定的当时,无病平衡点是不稳定的证明 构造Lyapunov函数 将关于（3-1）对t
28、求导得, 当时,所以无病平衡点是全局渐近稳定的3.4 地方病平衡点的局部渐近稳定性 引理3.4.1 当时,地方病平衡点是局部渐近稳定的 证明 模型（3-1）在地方病平衡点的Jacobian矩阵为： 令它的特征方程等于零 解得特征方程整理得 其中 结合式子（3-8）、（3-9）、（3-10）、（3-11）,当,由Hurwitz判据可以得出 , 由以上结果可知,矩阵的根都含有负实部,由此得出地方病平衡点是局部渐近稳定的 由于在如今的社会中，随着人们生活水平的提高多种疾病也随之出现,艾滋病也已发展成为一种致命的传染病,所以,本文将这个传播模型推广到艾滋病的传播动力学过程,建立了有关艾滋病的传播过程中
29、的经典SEI的传播模型,分析它的稳定性,从而可以在艾滋病传播模型的理论知识方面提供一定的决策支持,还可以在它的控制和预防方面得到一些相应的有效的建议,在今后的研究方向中,可以在此基础上还可以建立一些有关艾滋病传播的随机微分方程模型,对艾滋病的传播过程及其对社会的一些危险性的行为均可进行研究. 第四章 结 论从世界上的第一个病例发现到现在,艾滋病在全世界范围内正在以惊人的在速度广泛的传播,有很多人因为它而丧失自己的生命.因此很多的专业人员对它的传播过程进行了专业性的细心研究,预测其传播流行的趋势,探讨艾滋病的传播对社会造成了的危害和威胁,以及提出相应的预防、控制方案和一些应对的措施一直都是各个国
30、家的科学家们和学者们关注和研究的热点问题.为了更好的让艾滋病根本消除,不仅应该扩展对艾滋病的教育宣传,增强人们对艾滋病的防范意识,也应该加强对艾滋病患者的心理健康教育,不歧视和谩骂艾滋病患者.数学的方法比生物学的方法更能准确地反映艾滋病的流行趋势,使人们能够更加了解艾滋病的流行规律建立更好的预防措施,研制出更好的药物因此研究艾滋病的数学理论模型具有重要的意义本文以常微分的理论知识为基础,讨论艾滋病的传播途径,虽然常微分方程能够精确的描述出一种疾病传播的动态学传播过程,但不能够很全面的考虑到现实情况中的很多的不确定等因素的干扰.在第三章中建立模型时,还可以把它的传播途径考虑在内,也可以对患者按年
31、龄结构分类处理.为了更有针对性可以以某一省或地区的有关艾滋病的传播和发现等实际情况加以研究,可以给地方政府以及相关单位人员提供有效的信息与政策建议,也为很多的教学科研工作研究提供了很有价值的参考信息.由于本人的知识水平有限,本文仅对艾滋病的SEI传播模型、局部渐进稳定性和全局渐进稳定性进行了粗浅的研究和分析.对于艾滋病患者潜伏期所要经历的前期、中期、后期等一系列其它的问题,以及有关这方面的一些理论研究和实际问题还有待人们的进一步深入探讨和发现.所以,在今后的研究工作当中,要不断地拓宽视野和与时俱进的关注这一方面的相关信息,只有这样,才能对了解艾滋病有更多收获的,我们期待这一科学领域的技术挑战能
32、够带给人类社会更巨大的进步,对我们世界范围这一领域有跨越性的发展. 参考文献 1刘洪涛.艾滋病及狂犬病的数学模型及其动力学分析D.兰州大学,2008. 2王小燕,邓慧玲,符佳.手足口病2013例临床表现及流行病学分析J.陕西医学杂志,2010（1):56-58. 3徐英.HIV/AIDS传播的数学建模及其分析D.天津大学,2007 4徐敏.艾滋病传播的随机模型及其风险分析D.东华大学,2007 5黎静.HIV感染模型的动力学分析D.湖南大学,20126邓梦薇,几种传染病模型的建立与研究.东北大学计算数学,2005. 9宋妮,薛亚奎,何志木.具有常数移入的核病模型稳定性分析.中北大学学报,200
33、9(125).10闫银翠,王稳地,考虑CTL免疫作用的HIV感染模型的全局动力学性态.西南大学（自然科学报）,2011（05）.11姜启源,谢金星,叶俊.数学模型.第三版M.北京：高等教育出版社,2005.12廖晓昕.动力系统的稳定性理论和应用.北京：国防工业出版社,2000.13孟庆江,马立新.艾滋病传播数学模型的建立与分析J.德州学院学报,2007,4(2).14Anderson R M,Jackson H C,May,et al.Population dynamics of for rabies in EuropeJ.Nature,1981,289:765771.15Anderson R
34、 M,and May R M.Regulation and stability of host-parasite population interactions I regulator y processesJ.Anim.Ecol,1987,21:219247.16Gumel A B,Moghadas R E.Mickens.Effect of a preventive vaccine on the dynamics of HIV transmissionJ.Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation,2004,9:
35、649659. 17Hadeler K P,Freedman H I.Predator-prey population with parasitic infectionJ.Math.Biol,1989,27:609631. 致 谢从本课题的选题一直到论文完成过程中我的指导老师王晓红给了我很大的帮助，我刚刚开始写这篇论文的时候，自己的思绪比较混乱，是我的指导教师及时地给予了我帮助，她说一定要清楚明白的知道自己要写的是什么，文章一定要条理，思绪一定要清晰，是她在百忙之中抽出时间，多次的和我一起探讨论文的内容，以及如何才可以把它写的更好在写论文中，我的资料找的比较没有条理，不知道应该如何去找，应该按
36、照什么为主体来进行查找，这个时候，我的指导老师很好的给予了我如春雨般的帮助，她告诉我应当先思考建立什么模型，如何建模型，围绕着这个内容来进行分类查找，并且和我列举了几个案例，我听了以后顿时茅塞顿开，突然间困扰多时的难题就迎刃而解了并且对在我不断完善我的论文的过程中提出了很多有效和宝贵的意见和建议.在此,我对王老师的指导和帮助表示深深的感谢！在我的大学四年的学习过程当中,我得到了学校及系里各位指导老师的耐心帮助,当我们在学习上遇到问题时,老师们都会积极为我们解决难题,甚至加班加点为我们补课,让我们学到了扎实的专业知识,教会我们怎么做人怎么做事,他们不仅教授给我们的是知识,更是教会了我们如何更好的
37、去生活,如何做一个更加优秀的大学生,服务他人奉献社会.在此,我也十分感谢在校期间遇到的各位老师,感谢他们在我学业上的谆谆教诲与细心教导,帮助我解决学习过程中的一些问题,为我的学习生活付出了他们辛勤的劳动,也感谢他们为我的今后工作做了很多的储备工作,让我在最后一年的时间里得到了许多专业性的训练和练习.此外,我还要特别感谢全班同学特别是我的舍友,在四年的学习生活中,我们朝夕相处,共同参加各种活动,结实了深厚的友谊,并且在论文写作过程中相互帮助,遇到问题共同解决,使我们的论文都能够顺利的完成,顺利毕业,还有班主任老师,四年来在我们的学习中严格要求我们,生活中是我们的朋友,谈心交流,学习上更是给予我们更多的鼓励和加油.最终有了各位老师和同学们的支持,才有我今天的成绩.今后,我会以更加积极、努力的态度投入工作,取得更好的成绩！15