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1、理论力学15Hppt课件 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望 在第一篇静力学中，我们从静力学公理出发，通过力系在第一篇静力学中，我们从静力学公理出发，通过力系的简化，得出刚体的平衡条件，用来研究刚体及刚体系统的的简化，得出刚体的平衡条件，用来研究刚体及刚体系统的平衡问题。平衡问题。在这一章里，我们将介绍普遍适用于研究任意质点系的在这一章里，我们将介绍普遍适用于研究任意质点系的平衡问题的一个原理，它从位移和功的概念出发，得出任意平衡问题的一个原理，它从位
2、移和功的概念出发，得出任意质点系的平衡条件。该原理叫做质点系的平衡条件。该原理叫做虚位移原理虚位移原理。它是研究平衡。它是研究平衡问题的最一般的原理，不仅如此，将它与达朗伯原理相结合，问题的最一般的原理，不仅如此，将它与达朗伯原理相结合，就可得到一个解答动力学问题的动力学普遍方程。就可得到一个解答动力学问题的动力学普遍方程。3 151 约束约束 虚位移虚位移 虚功虚功 152 虚位移原理虚位移原理 第十五章第十五章 虚位移原理虚位移原理4 一、约束一、约束 限制非自由质点（或质点系）运动的各种条件称为约束。限制非自由质点（或质点系）运动的各种条件称为约束。将约束的限制条件以数学方程来表示，则称
3、为约束方程。将约束的限制条件以数学方程来表示，则称为约束方程。例如例如：平面单摆曲柄连杆机构15-1 约束约束 虚位移虚位移 虚功虚功5 根据约束的形式和性质，可将约束划分为不同的类型，通常按如下分类：1、几何约束和运动约束、几何约束和运动约束约束的分类约束的分类2、定常约束和非定常约束、定常约束和非定常约束3、完整约束和非完整约束、完整约束和非完整约束61、几何约束和运动约束、几何约束和运动约束 限制质点或质点系在空间几何位置的条件称为几何约束几何约束。如前述的平面单摆和曲柄连杆机构例子中的限制条件都是几何约束。当约束对质点或质点系的运动情况进行限制时，这种约束条件称为运动约束运动约束。例如
4、：例如：车轮沿直线轨道作纯滚动时。几何约束：运动约束：7约束条件不随时间改变的约束为稳定约束（定常约束）（定常约束）。当约束条件与时间有关，并随时间变化时称为非定常约束非定常约束。前面的例子中约束条件皆不随时间变化，它们都是定常约束。2、定常约束和非定常约束、定常约束和非定常约束例如例如：重物M由一条穿过固定圆环的细绳系住。初始时摆长 l0,匀速v拉动绳子。x2+y2=(l0-vt)2 约束方程中显含时间 t 8 如果在约束方程中含有坐标对时间的导数（例如运动约束）而且方程中的这些导数不能经过积分运算消除，即约束方程中含有的坐标导数项不是某一函数全微分，从而不能将约束方程积分为有限形式，这类约
5、束称为非完整约束非完整约束。一般地，非完整约束方程只能以微分形式表达。3、完整约束和非完整约束、完整约束和非完整约束 如果约束方程中不含有坐标对时间的导数，或者约束方程中虽有坐标对时间的导数，但这些导数可以经过积分运算化为有限形式，则这类约束称为完整约束完整约束。9 例如：例如：车轮沿直线轨道作纯滚动，是微分方程，但经过积分可得到 （常数），该约束仍为完整约束。几何约束必定是完整约束，但完整约束未必是几何约束。非完整约束一定是运动约束，但运动约束未必是非完整约束。10 某瞬时，质点系在约束所允许的条件下在约束所允许的条件下，可能实现的任何无限小的位移，称为虚位移（可能位移）虚位移（可能位移）。
6、虚位移可以是线位移，也可以是角位移。通常用变分符号 表示虚位移。M二、虚位移二、虚位移11 虚位移与真正运动时发生的实位移区别：虚位移与真正运动时发生的实位移区别：在定常约束下，微小的实位移必在定常约束下，微小的实位移必然是虚位移之一。而在非定常约束下，然是虚位移之一。而在非定常约束下，微小实位移不再是虚位移之一。微小实位移不再是虚位移之一。实位移是在一定的力作用下和给定的初条件下运动而实际实位移是在一定的力作用下和给定的初条件下运动而实际发生的；虚位移是在发生的；虚位移是在约束容许的条件下约束容许的条件下可能发生的。可能发生的。实位移具有确定的方向，可能是微小值，也可能是有限值；实位移具有确
7、定的方向，可能是微小值，也可能是有限值；虚位移则是微小位移，视约束情况可能有几种不同的方向。虚位移则是微小位移，视约束情况可能有几种不同的方向。实位移是在一定的时间内发生的；虚位移只是纯几何的概实位移是在一定的时间内发生的；虚位移只是纯几何的概念，完全与时间无关。念，完全与时间无关。12 质点系中各质点的虚位移之间存在着一定的关系质点系中各质点的虚位移之间存在着一定的关系,确定这确定这些关系通常有两种方法些关系通常有两种方法几何法和解析法。几何法和解析法。(一一)几何法几何法因此可以用分析速度的方法分析各点虚位移之间的关系。因此可以用分析速度的方法分析各点虚位移之间的关系。由运动学知，质点的位
8、移与速度成正比，即由运动学知，质点的位移与速度成正比，即13 分析图示机构在图示位置时，点C、A与B的虚位移。(已知 OC=BC=a，OA=l)例例1xyrCrArBPxyrCrArB14解解：此为一个自由度系统，取OA杆与x 轴夹角为广义坐标。几何法几何法xyrCrArBP15(二二)解析法解析法。质点系中各质点的坐标可表示为广义坐标的函数（q1,q2,qk），广义坐标分别有变分 ，各质点的虚位移 在直角坐标上的投影可以表示为16将C点的坐标表示成广义坐标 的函数，得用解析法解用解析法解例例1对广义坐标 求变分，C点虚位移在相应坐标轴上的投影：同理，可以写出A、B点的虚位移在相应坐标轴上的投
9、影：xyrCrArB17力 在质点发生的虚位移 上所作的功称为虚功虚功，记为 。三、虚功三、虚功解析式：解析式：rCrArBxyMF18 质点系受有理想约束的条件：四、理想约束四、理想约束 如果在质点系的任何虚位移上，质点系的所有约束反力的虚功之和等于零，则称这种约束为理想约束。理想约束。19理想约束的典型例子如下：理想约束的典型例子如下：1、光滑支承面、光滑支承面2、光滑铰链、光滑铰链4、不可伸长的柔索、不可伸长的柔索3、无重刚杆、无重刚杆5、固定端、固定端20具有定常、理想约束的质点系，平衡的必要与充分条件是：作用于质点系的所有主动力在任何虚位移上所作的虚功之和等于零。即解析式：解析式：1
10、5-2 虚位移原理虚位移原理（空间问题）（平面问题）21图示椭圆规机构，连杆AB长l，杆重和滑道摩擦不计，铰链为光滑的，求在图示位置平衡时，主动力FA和FB之间的关系。解解：研究整个机构。系统的所有约束都是理想约束。例例15-3（P347）FAFB221、几何法、几何法：使A发生虚位移 ，B的虚位移 ，则由虚位移原理，得虚功方程：23 2、解析法、解析法解得：24例ACDBF1F290304560该机构在图示位置平衡，求F1和 F2的关系。rArB解：几何法，给出虚位移建立F1和F2的虚功方程：例15-2（P346）AC=CE=BC=CD=DG=GE=l，作用力F，求支座B的水平约束反力。解：
11、解除B支座的水平约束，用支座反力FBx代之。x应用解析法，(a)代入（a）得：另：如在另：如在G、C之间加一弹簧，弹簧刚度为之间加一弹簧，弹簧刚度为k，在图示位在图示位置弹簧伸长量为置弹簧伸长量为 0，求支座求支座B的水平约束反力。的水平约束反力。解：解除B支座的水平约束，用支座反力FBx代之，去掉弹簧，用拉力代之。应用解析法，代入虚功方程得：xs例椭圆规机构，OD=AD=BD=l，在图示位置平衡，求F和M的关系。A60BDOMFrBrD解：建立F和M的虚功方程。几何法。多跨静定梁，求支座B处反力。解解：将支座B 除去，代入相应的约束反力 。例例3MM给出虚位移RBRBP1P2M29建立虚功方
12、程：M4m4m3m6m3m6m4mRB30例ACDBF45平面桁架，已知AB=BC=CA=a，AD=DC=用虚位移原理求BD杆的内力。45ACDBF解：几何法，给出虚位移，建立虚功方程：FBDFBDrBrCrD12Faaaa平面桁架，用虚位移原理求1杆和2杆的内力。例F12Faaaa平面桁架，用虚位移原理求1杆和2杆的内力。例F1ABrB12Faaaa平面桁架，用虚位移原理求1杆和2杆的内力。例F2F2CB例AB和AO为均质杆，重量分别为Q和P，不计各处的摩擦和滑块的重量，用虚位移原理求维持系统平衡的力F的大小。ADBFOCPQrBrB 滑套D套在光滑直杆AB上，并带动杆CD在铅直滑道上滑动。
13、已知=0o时，弹簧等于原长，弹簧刚度系数为5(kN/m)，求在任意位置平衡时，加在AB杆上的力偶矩M？解解：这是一个已知系统平衡，求作用于系统上主动力之间关系的问题。将弹簧力计入主动力，系统简化为理想约束系统，故可以用虚位移原理求解。题题15-7（P354）37选择AB杆、CD杆和滑套D的系统为研究对象。由虚位移原理，得：l38解解：这是一个具有两个自由度的系统，取角及为广义坐标，现用两种方法求解。均质杆OA及AB在A点用铰连接，并在O点用铰支承，如图所示。两杆各长2a和2b，各重P1及P2，设在B点加水平力 F 以维持平衡，求两杆与铅直线所成的角及。y 例例4 39应用虚位移原理，代入(a)
14、式，得：解法一：解析法解法一：解析法40由于 是彼此独立的，所以：由此解得：41而代入上式，得解法二：解法二：先使 保持不变，而使 获得变分 ，得到系统的一组虚位移，如图所示。42 再使 保持不变，而使 获得变分 ，得到系统的另一组虚位移，如图所示。而代入上式后，得：图示中：43 以不解除约束的理想约束系统为研究对象，系统至少有一个自由度。若系统存在非理想约束，如弹簧力、摩擦力等，可把它们计入主动力，则系统又是理想约束系统，可选为研究对象。若要求解约束反力，需解除相应的约束，代之以约束反力，并计入主动力。应逐步解除约束，每一次研究对象只解除一个约束，将一个约束反力计入主动力，增加一个自由度。1、正确选取研究对象：、正确选取研究对象：应用虚位移原理求解质点系平衡问题的步骤和要点：应用虚位移原理求解质点系平衡问题的步骤和要点：44 2、正确进行受力分析、正确进行受力分析：画出主动力的受力图，包括计入主动力的弹簧力、摩擦 力和待求的约束反力。3、正确进行虚位移分析，确定虚位移之间的关系、正确进行虚位移分析，确定虚位移之间的关系。4、应用虚位移原理建立方程。、应用虚位移原理建立方程。5、解虚功方程求出未知数。、解虚功方程求出未知数。4546