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1、理论力学13Hppt课件 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望3 131 力的功力的功 132 质点和质点系的动能质点和质点系的动能 133 动能定理动能定理 136 动力学普遍定理及综合应用动力学普遍定理及综合应用第十三章第十三章 动能定理动能定理4一常力的功一常力的功 13-1力的功力的功二变力的功二变力的功 三常见力的功三常见力的功 1重力的功重力的功2弹性力的功弹性力的功3定轴转动刚体上作用力的功，力偶的功定轴转动刚体上作用力的功，力偶的功5力的
2、功是代数量:时,正功；时,功为零；时,负功。质点作直线运动，路程为S,(M1M2)，力在位移方向上的投影为Fcos，力F在路程S 中所作的功为：一常力的功一常力的功6元功元功：设质点M在变力F的作用下作曲线运动。将曲线分成无限多个微小段ds，力F在微段上可视为常力，所作的微小的功称为元功：二变力的功二变力的功（ds的方向在曲线的切线方向，与dr同向，）7力在全路程中作功为力在全路程中作功为8三常见力的功三常见力的功质点系质点系：质点系重力的功，等于质点系的重量与其在始末位置重质点系重力的功，等于质点系的重量与其在始末位置重心的高度差的乘积，而与各质点的路径无关。心的高度差的乘积，而与各质点的路
3、径无关。质点质点：重力在三轴上的投影：重力在三轴上的投影：与运动轨迹无关与运动轨迹无关式中：zc1、zc2为质点系的质心坐标1重力的功重力的功9F的方向指向弹簧自然位置。当弹簧长度增加d时，弹性力的元功：l0FdMk弹簧的刚度系数，2弹性力的功弹性力的功质点M与弹簧联接，弹簧自然长l0，现伸长，弹簧作用于质点的弹性力 的大小与弹簧的变形量 成正比，即：10 弹性力的功只与弹簧的起始变形和终了变形有关，弹性力的功只与弹簧的起始变形和终了变形有关，而与质点运动的路径而与质点运动的路径无关。无关。当质点的运动轨迹为曲线时也成立：11 3定轴转动刚体上作用力的功定轴转动刚体上作用力的功 力偶的功力偶的
4、功元功：当F 是常力时，得 定轴转动刚体上作用力的功等于：定轴转动刚体上作用力的功等于：力对转轴的矩乘以转过的角度力对转轴的矩乘以转过的角度。质点的轨迹为圆，圆的切线方向为质点的轨迹为圆，圆的切线方向为 。设刚体绕 z 轴转动，在M点作用有力，计算刚体转过一角度 时力所作的功。12如果作用力偶如果作用力偶M,且力偶的作用面垂直转轴且力偶的作用面垂直转轴rimizFFrimizM13若若M=常量常量,则则如果作用力偶如果作用力偶M,且力偶的作用面垂直转轴且力偶的作用面垂直转轴注意：功的正负号的确定。注意：功的正负号的确定。rimizM14二质点系的动能二质点系的动能动能是瞬时量动能是瞬时量,是与
5、速度方向无关的正标量是与速度方向无关的正标量,具有与功相同具有与功相同的量纲，单位也是的量纲，单位也是J。13-2质点和质点系的动能质点和质点系的动能 物体的动能是由于物体运动而具有的能量，是机械运动强物体的动能是由于物体运动而具有的能量，是机械运动强弱的又一种度量。弱的又一种度量。一质点的动能一质点的动能152定轴转动刚体定轴转动刚体三刚体的动能三刚体的动能rivimiz1平移刚体平移刚体vi=vCvi=ri16（P为速度瞬心 ）3平面运动刚体平面运动刚体CvCPd17例例1图示系统中,均质圆盘A、B质量均为m，半径均为R,重物D质量为m1，下降速度为v。求重物D、圆盘A、B的动能。解：重物
6、D：圆盘A：m1gmgmgvC18圆盘B：m1gmgmgvCvvC191质点的动能定理：质点的动能定理：动能定理的微分形式动能定理的微分形式将上式沿路径积分，动能定理的积分形式动能定理的积分形式两边点乘以，13-3动能定理动能定理20对质点系中的一质点 ：将上式沿路径 积分，可得质点系动能定理的积分形式质点系动能定理的积分形式对整个质点系，有：2质点系的动能定理质点系的动能定理 质点系动能定理的微分形式质点系动能定理的微分形式213.理想约束理想约束约束反力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束约束反力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束。2)活动铰支座、固定铰支座和向心轴承活动铰支座、
7、固定铰支座和向心轴承3)刚体沿固定面作纯滚动刚体沿固定面作纯滚动1)光滑固定面约束光滑固定面约束FNFSFNFxFyFF225)柔索约束（不可伸长的绳索）和二力杆柔索约束（不可伸长的绳索）和二力杆拉紧时，内部拉力的元功之和恒等于零。4)联接刚体的光滑铰链（中间铰）联接刚体的光滑铰链（中间铰）23 卷扬机，鼓轮上作用常力偶M，鼓轮半径为R1，质量为m1，质量分布在轮缘上质量分布在轮缘上；圆柱半径为R2，质量为m2，质量均匀分布。求圆柱中心C 经过路程 s 时的速度和加速度。(盘C作纯滚动，初始时系统静止)例例13-2解解：取系统为研究对象MCOm2gm1g24MCOm2gm1g25（a）将（a）
8、式两边对时间求一阶导数：26（a）27 图示系统中,均质圆盘A、B质量均为m，半径均为R,两盘中心线为水平线,盘A上作用矩为M(常量)的一力偶；重物D质量为m1。求下落距离h时重物的速度与加速度。(绳重不计，绳不可伸长，盘B作纯滚动，初始时系统静止)例例2解解：取系统为研究对象m1gmgmgvCa28m1gmgmgvCa29将（将（1）式两边对）式两边对 t 求导得：求导得：(1)m1gmgmgvCa30重物A质量为m1，轮C作纯滚动，轮C和轮B的总质量为m2，对O轴的回转半径为，求重物A的加速度。轮D和绳子的质量不计。题题12-14 P282ADCROrBvOvA解解：研究对象：整体，初始静
9、止，m1g31ADCROrBvOvAvB两边对 t 求导得：32均质细杆均质细杆AB长为长为l，质量为，质量为m1，上端上端B靠在光滑的靠在光滑的墙上，下端以铰链与均质圆柱的中心相连，圆柱墙上，下端以铰链与均质圆柱的中心相连，圆柱质量为质量为m2，半径为，半径为R。从图示位置由静止开始作纯。从图示位置由静止开始作纯滚动，滚动，=45，求点求点A在初瞬时的加速度。在初瞬时的加速度。题题13-16 P317RBA33RBAAvAm2g解解：取整体为研究对象，取整体为研究对象，初始静止，初始静止，m1gABP两边对两边对 t 求导且求导且解得解得aA34题题13-7（P315）OAMB AB杆不是平
10、动BOAMBvAvBvB35题题13-7（P315）OAMB PvBvAvCBOAMBPvBvAvCvB36BOAMBPvBvAvCvB37 长为l，质量为m的均质直杆，初瞬时直立于光滑的桌面上。当杆无初速度地倾倒后，求质心的速度（用杆的倾角 和质心的位置表达）。例例538解解：由于水平方向不受外力，且初始静止，故质心C铅垂下降。可用动能定理求解。由动能定理：初瞬时：任一瞬时：外力功：y39均质细杆长为 l，质量为m，放在铅直平面内，A靠在光滑的墙面上，B在光滑水平面上，与水平面成 角。杆由静止倒下，求：(1)杆在任意位置时的角加速度和角速度；(2)当杆脱离墙时杆与水平面的夹角。题题12-17
11、 P283AC解：(1)利用动能定理求角速度vBBPvA40ACvBvABP动能定理：动能定理：(1)(1)式两边对 t 求导得：41ACvBvABPFB42 图示的均质杆OA的质量为30kg，杆在铅垂位置时弹簧处于自然状态。设弹簧常数k=3kN/m，为使杆能由铅直位置OA转到水平位置OA，在铅直位置时的角速度至少应为多大？解解：研究OA杆由动能定理的应用练习题动能定理的应用练习题例例343 均质圆盘A：m，r；滑块B：m；杆AB：质量不计，平行于斜面。斜面倾角，摩擦系数f，圆盘作纯滚动，系统初始静止。求：滑块的加速度。解：选系统为研究对象运动学关系：由动能定理：等式两边对求导，得例例244
12、行星齿轮传动机构,放在水平面内。动齿轮半径r,质量为m1,视为均质圆盘；曲柄质量为m2,长l,作用一力偶矩为M(常量)的力偶。曲柄由静止开始转动；求曲柄的角速度(以转角 的函数表示)和角加速度。解解：取整个系统为研究对象根据动能定理，得题题13-13（P317）(1)45将(1)式两边对t 求导数，则得(1)46 两根均质直杆组成的机构及尺寸如图示；OA杆质量是AB杆质量的两倍，各处摩擦不计，如机构在图示位置从静止释放，求当OA杆转到铅垂位置时，AB杆B 端的速度。解解：取整个系统为研究对象例例4vBvA47一功率一功率：力在单位时间内所作的功（它是衡量机器工作能力的一个重要指标）。功率是代数
13、量，并有瞬时性。作用力的功率：力矩的功率：功率的单位：瓦特（W），千瓦（kW），W=J/s。13-4功率功率 功率方程功率方程48二功率方程二功率方程：由 的两边同除以dt 得分析：起动阶段（加速）：即制动阶段（减速）：即稳定阶段（匀速）：即机器稳定运行时，机械效率是评定机器质量优劣的重要指标之一。一般情况下。49一势力场一势力场1力场力场：若质点在某空间内的任何位置都受到一个大小和方向完全由所在位置确定的力的作用，则此空间称为力场。重力场、万有引力场、弹性力场都是势力场。质点在势力场中受到的场力称为有势力(保守力),如重力、弹力等。2势力场势力场：在力场中,如果作用于质点的场力作功只决定于质
14、点的始末位置，与运动路径无关，这种力场称为势力场。13-5势力场、势能、机械能守恒定律势力场、势能、机械能守恒定律50二势能二势能在势力场中,质点从位置M 运动到任选位置M0,有势力所作的功称为质点在位置M 相对于位置M0的势能，用V 表示。M0作为基准位置，势能为零，称为零势能点。势能具有相对性。是坐标的单值连续函数。等势面：质点位于该面上任何地方，势能都相等。等势面：质点位于该面上任何地方，势能都相等。质点系的势能：511.重力场重力场 质点：质点系：2.弹性力场弹性力场：取弹簧的自然位置为零势能点3.万有引力场万有引力场：取与引力中心相距无穷远处为零势能位置有势力的功等于质点系在运动的始
15、末位置的势能之差。有势力的功等于质点系在运动的始末位置的势能之差。三有势力的功三有势力的功在M1位置：M2位置：M1M2：52设质点系只受到有势力(或同时受到不作功的非有势力)作用，则机械能守恒定律机械能守恒定律对非保守系统，设非保守力的功为W12,则有四机械能守恒定律四机械能守恒定律机械能：系统的动能与势能的代数和机械能：系统的动能与势能的代数和。这样的系统成为保守系统这样的系统成为保守系统。53 长为l，质量为m的均质直杆，初瞬时直立于光滑的桌面上。当杆无初速度地倾倒后，求质心的速度（用杆的倾角 和质心的位置表达）。例例554解解：由于水平方向不受外力，且初始静止，故质心C铅垂下降。由于约
16、束反力不作功,主动力为有势力，因此可用机械能守恒定律求解。由机械能守恒定律：将代入上式，化简后得初瞬时：任一瞬时：5513-6动力学普遍定理及综合应用动力学普遍定理及综合应用质点系的动量定理：质点系的动量定理：质心运动定理质心运动定理质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程质点系动能定理质点系动能定理56 动力学普遍定理包括质点和质点系的动量定理、动量矩定理和动力学普遍定理包括质点和质点系的动量定理、动量矩定理和动能定理。动能定理。动量定理和动量矩定理是矢量形式，动能定理是标量形式，他们都可应用研究机械运动，而动能定理还可以研究其它形式的运动能量转化问题。1
17、3-6动力学普遍定理及综合应用动力学普遍定理及综合应用动力学普遍定理提供了解决动力学问题的一般方法。动力学普动力学普遍定理提供了解决动力学问题的一般方法。动力学普遍定理的综合应用，大体上包括两方面的含义：遍定理的综合应用，大体上包括两方面的含义：一是能根据问题的已知条件和待求量，选择适当的定理求解，包括各种守恒情况的判断，相应守恒定理的应用。避开那些无关的未知量，直接求得需求的结果。二是对比较复杂的问题，能根据需要选用两、三个定理联合求解。求解过程中求解过程中,要正确进行运动分析要正确进行运动分析,提供正确的运动学补充方程。提供正确的运动学补充方程。57 两根均质杆AC和BC质量均为m，长为l
18、，在C 处光滑铰接，置于光滑水平面上；设两杆轴线始终在铅垂面内，初始静止，C点高度为h，求铰C 到达地面时的速度。例例6 举例说明动力学普遍定理的综合应用：举例说明动力学普遍定理的综合应用：58解解：研究对象：整体受力分析：代入动能定理：mg初始静止，所以水平方向质心位置守恒。mgmgFNFNvCvAvB运动分析：59AOC 物块和两均质轮的质量皆为m，轮半径皆为R，弹簧刚度为k，C 轮作纯滚动。现于弹簧的原长处释放重物，求重物下降h 时的速度、加速度以及C 轮与地面间的摩擦力。例例13-9 P30960AOC解:(1)取整体为研究对象，利用 动能定理61AOC由动能定理：（1）解得速度：将（
19、1）式两端对时间求一次导数：解得加速度解得加速度：62AOC（2）取C 轮为研究对象：C63（2）取）取C 轮为研究对象：轮为研究对象：应用应用对质心的动量矩定理对质心的动量矩定理对质心的动量矩定理对质心的动量矩定理：地面摩擦力：地面摩擦力：C64均质细杆长为 l，质量为m，静止直立于光滑水平面上。当杆受微小干扰而倒下时，求杆刚刚达到地面时的角速度和地面约束力。例例13-10 P310AC解：(1)利用动能定理求角速度vCvAP65ACvCvAP当=0时解出：能否求出加速度？能否求出加速度？66AC由运动学：(2)利用刚体平面运动微分方程求地面约束力。aCmgFN在铅直方向投影：ACaCaAa
20、CA taCA nACaCaA(a)(b)代入(a)联立(b),得：67(2)另一解法：ACFN(1)(2)利用刚体平面运动微分方程当=0时，aCymg68均质圆轮，半径为R，质量为m，与刚度为k的弹簧相连，OC与铅垂线OC成60角时弹簧无变形，长度为l，此时圆盘无初速地滚下(不滑动)。求：1)轮子在C位置时轮心的速度；2)此时轮子与斜面的摩擦力；3）轮子与斜面的静摩擦系数f 满足什么条件时轮子在点C只滚不滑。例例OC60C69OC60C解：(1)利用动能定理求速度mgv70OC60C(2)利用刚体平面运动微分方程求摩擦力mgaklFNFSyx71A、B二轮子质量皆为m1，转动惯量皆为J，大轮
21、子半径为R，小轮子半径为R/2，齿轮压力角为，重物质量为m2，弹簧刚度为k，现于弹簧的原长处释放重物，求重物下降h 时的速度、加速度以及齿轮间的切向啮合力和轴承B处的约束反力。例例 解：(1)取整体为研究对象，利用动能定理72 由动能定理：（1）解得速度：将（1）式两端对时间求一次导数：解得加速度：73（2）取B 轮和重物为研究对象：由动量矩定理：解得切向啮合力：径向啮合力：74由质心运动定理：75 质量为m1=15kg的均质圆盘与质量为m2=6kg、长24cm的均质杆AB在B处用铰链铰链连接。系统由图示位置无初速地释放。求求AB杆经过最低位置B点时圆盘质心的速度及支座A的约束反力。解解：（：
22、（1）取圆盘为研究对象）取圆盘为研究对象，圆盘平动。例例3m1gFyFx76（2）用动能定理求速度）用动能定理求速度。代入数据，得 取系统研究。初始时T1=0，vB m1gm2g 最低位置时：77（3）用动量矩定理求杆的角加速度）用动量矩定理求杆的角加速度 。杆质心杆质心 C的加速度：的加速度：m1gm2g盘质心加速度：盘质心加速度：FAyFAx78杆质心杆质心 C的加速度：的加速度：盘质心加速度：盘质心加速度：（4）由质心运动定理求支座反力。）由质心运动定理求支座反力。研究整个系统。代入数据，得m1gm2gFAyFAx79均质棒AB的质量为m，长为l，其两端悬挂在两条长度相等的绳上，棒处在水
23、平位置。如其中一绳突然断了，求此瞬时棒的角加速度和另一绳的张力。例例ABmgFAB4545AB454580均质棒AB的质量为m，长为l，其两端悬挂在两条长度相等的绳上，棒处在水平位置。如其中一绳突然断了，求此瞬时棒的角加速度和另一绳的张力。例例ABmgFAB4545AB4545C81ABmgFAB刚体平面运动微分方程CC82ABmgFAB刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程CC83例例 匀质杆AB和OD，长都为l，质量均为m，D为AB的中点，置于铅垂面内，开始时静止，OD杆铅垂，在一常力偶M的作用下AMOBD转动，求OD杆转至水平位置时，支座O处的反力。FoxFoya1ya2ya1xa2x
24、解题思路解题思路1、应用质心运动定理可求反力2、应用定轴转动微分方程求角加速度3、应用动能定理求角速度84AMOBD解：FoxFoya1ya2ya1xa2x1、应用动能定理求角速度mgmgmgmg85AMOBDFoxFoya1ya2ya1xa2x2、应用定轴转动微分方程求角加速度mgmgmgmg86AMOBDFoxFoya1ya2ya1xa2x3、应用质心运动定理求反力mgmgmgmg87均质棒AB的质量为m=4kg，其两端悬挂在两条平行绳上，棒处在水平位置。设其中一绳突然断了，求此瞬时另一绳的张力。题综题综-8ABABmgFA刚体的平面运动微分方程刚体的平面运动微分方程C88 例例4 基本量计算基本量计算(动量，动量矩，动能动量，动量矩，动能)89