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1、第三章第三章 矩阵的初等变换与线矩阵的初等变换与线性方程组性方程组现在学习的是第1页，共71页12/5/2022河北科大理学院河北科大理学院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性矩阵的初等变换与线性方程组方程组引例引例求解线性方程组求解线性方程组分析：用消元法解下列方程组的过程分析：用消元法解下列方程组的过程第第9讲讲 矩阵的初等变换矩阵的初等变换一一 线性方程组的初等变换线性方程组的初等变换现在学习的是第2页，共71页12/5/2022河北科大理学院河北科大理学院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程矩阵的初等变换与线性方程组组解解现在学习的是第3页，共71页12/5/2022河北科大理学院河北
2、科大理学院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性矩阵的初等变换与线性方程组方程组用用“回代回代”的方法求出解：的方法求出解：现在学习的是第4页，共71页12/5/2022河北科大理学院河北科大理学院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方矩阵的初等变换与线性方程组程组于是解得于是解得（2 2）现在学习的是第5页，共71页12/5/2022河北科大理学河北科大理学院院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性矩阵的初等变换与线性方程组方程组小结：小结：1 1上述解方程组的方法称为消元法上述解方程组的方法称为消元法 2 2始终把方程组看作一个整体变形，用到如下始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换三种变换
3、（1 1）交换方程次序；）交换方程次序；（2 2）以不等于的数乘某个方程；）以不等于的数乘某个方程；（3 3）一个方程加上另一个方程的）一个方程加上另一个方程的k k倍倍（与相互替换）（与相互替换）（以替换）（以替换）（以替换）（以替换）现在学习的是第6页，共71页12/5/2022河北科大理学河北科大理学院院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性矩阵的初等变换与线性方程组方程组3 3上述三种变换都是可逆的上述三种变换都是可逆的由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是同解变与变换后的方程组是同解的故这三种变换是同解变
4、换换现在学习的是第7页，共71页12/5/2022河北科大理学河北科大理学院院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性矩阵的初等变换与线性方程组方程组因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算数和常数进行运算，未知量并未参与运算若记若记则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(B(方程组方程组（1 1）的增广矩阵）的变换）的增广矩阵）的变换现在学习的是第8页，共71页12/5/2022河北科大理学院河北科大理学院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方矩阵的初等变换与线性方程组程组定义定义1 1下
5、面三种变换称为矩阵的初等行变换下面三种变换称为矩阵的初等行变换:二二 矩阵的初等变换矩阵的初等变换现在学习的是第9页，共71页12/5/2022河北科大理学院河北科大理学院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程矩阵的初等变换与线性方程组组 初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型且变换类型相同相同 同理可定义矩阵的初等列变换同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是所用记号是把把“r r”换成换成“c c”)逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换矩阵的初等行变换与初等列变换矩阵的初等行变换与初等列变换统称为统称为初等变换初等变换.elementary transforma
6、tion现在学习的是第10页，共71页12/5/2022河北科大理学院河北科大理学院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程矩阵的初等变换与线性方程组组等价关系的性质：等价关系的性质：具有上述三条性质的关系称为等价具有上述三条性质的关系称为等价例如，两个线性方程组同解，例如，两个线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价现在学习的是第11页，共71页12/5/2022河北科大理学河北科大理学院院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程矩阵的初等变换与线性方程组组用矩阵的初等行变换用矩阵的初等行变换 解方程组（解方程组（1 1）：）：现在学习的是第12页，共71页12/5/2022河北科大理学河北科大
7、理学院院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方矩阵的初等变换与线性方程组程组现在学习的是第13页，共71页12/5/2022河北科大理学河北科大理学院院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性矩阵的初等变换与线性方程组方程组现在学习的是第14页，共71页12/5/2022河北科大理学河北科大理学院院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程矩阵的初等变换与线性方程组组现在学习的是第15页，共71页12/5/2022河北科大理学院河北科大理学院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程矩阵的初等变换与线性方程组组特点：特点：（1 1）、可划出一条）、可划出一条阶梯线，线的下方阶梯线，线的下方全为零；全为零；（2
8、 2）、每个台）、每个台阶阶 只有一行，只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元元素为非零元，即非零行的第一个非零元现在学习的是第16页，共71页12/5/2022河北科大理学院河北科大理学院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性矩阵的初等变换与线性方程组方程组注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的矩阵的行数也是由方程组唯一确定的 行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标
9、准形形现在学习的是第17页，共71页12/5/2022河北科大理学河北科大理学院院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程矩阵的初等变换与线性方程组组例如例如，现在学习的是第18页，共71页12/5/2022河北科大理学院河北科大理学院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程矩阵的初等变换与线性方程组组特点：特点：所有与矩阵所有与矩阵 等价的矩阵组成的一个集合，等价的矩阵组成的一个集合，称为一个称为一个等价类等价类，标准形，标准形 是这个等价类中最是这个等价类中最简单的矩阵简单的矩阵.现在学习的是第19页，共71页12/5/2022河北科大理学河北科大理学院院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方矩
10、阵的初等变换与线性方程组程组(2)的充分必要条件是存在的充分必要条件是存在n阶可逆阵阶可逆阵Q，A Bc(3)的充分必要条件是存在的充分必要条件是存在m阶可逆阵阶可逆阵P三三 初等变换的基本性质初等变换的基本性质及及n阶可逆阵阶可逆阵Q,使得使得(1)的充分必要条件是存在的充分必要条件是存在m阶可逆阵阶可逆阵P，rA B定理定理1 设设A与与B为为 矩阵，矩阵，使得使得使得使得推论推论 方阵方阵A可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是 A Er现在学习的是第20页，共71页12/5/2022河北科大理学院河北科大理学院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性矩阵的初等变换与线性方程组方程组如果如果
11、A经一系列初等行变换变为经一系列初等行变换变为B，则有可逆矩阵，则有可逆矩阵P使得使得那么，如何求出可逆矩阵那么，如何求出可逆矩阵P?如果对（如果对（A,E）作初等变换，那么，当）作初等变换，那么，当A变成变成B是，是，E就变就变成了成了P，也就是可逆阵，也就是可逆阵P。现在学习的是第21页，共71页12/5/2022河北科大理学院河北科大理学院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性矩阵的初等变换与线性方程组方程组 解解例例四四 利用初等变换求逆矩阵及相关问题利用初等变换求逆矩阵及相关问题现在学习的是第22页，共71页12/5/2022河北科大理学院河北科大理学院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性
12、矩阵的初等变换与线性方程组方程组现在学习的是第23页，共71页12/5/2022河北科大理学院河北科大理学院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性矩阵的初等变换与线性方程组方程组即即初等行变换初等行变换现在学习的是第24页，共71页12/5/2022河北科大理学院河北科大理学院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性矩阵的初等变换与线性方程组方程组例例解解现在学习的是第25页，共71页12/5/2022河北科大理学河北科大理学院院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性矩阵的初等变换与线性方程组方程组现在学习的是第26页，共71页12/5/2022河北科大理学河北科大理学院院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性
13、矩阵的初等变换与线性方程组方程组现在学习的是第27页，共71页12/5/2022河北科大理学河北科大理学院院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方矩阵的初等变换与线性方程组程组列变换列变换列变换列变换现在学习的是第28页，共71页12/5/2022河北科大理学院河北科大理学院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程矩阵的初等变换与线性方程组组解解例例3现在学习的是第29页，共71页12/5/2022河北科大理学河北科大理学院院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性矩阵的初等变换与线性方程组方程组现在学习的是第30页，共71页12/5/2022河北科大理学院河北科大理学院第三章第三章 矩阵的初等变换与线
14、性矩阵的初等变换与线性方程组方程组现在学习的是第31页，共71页12/5/2022河北科大理学河北科大理学院院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性矩阵的初等变换与线性方程组方程组四四 利用初等变换求逆矩阵及相关问题利用初等变换求逆矩阵及相关问题例例1 设设 求求r?现在学习的是第32页，共71页12/5/2022河北科大理学院河北科大理学院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方矩阵的初等变换与线性方程组程组r例例2 设设 的行最简形为的行最简形为F，求，求F,并求一个可逆阵并求一个可逆阵P，使得，使得PA=F?PA=F(行最简形行最简形),现在学习的是第33页，共71页12/5/2022河北科大理
15、学河北科大理学院院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方矩阵的初等变换与线性方程组程组注注 对于矩阵方程对于矩阵方程只需转置只需转置:例例3 解矩阵方程解矩阵方程AX=B,其中其中r的解的解.例例4 设设求线性方程组求线性方程组AX=B，X?现在学习的是第34页，共71页12/5/2022河北科大理学院河北科大理学院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方矩阵的初等变换与线性方程组程组一一 矩阵秩的定义矩阵秩的定义第第10讲讲 矩阵的秩矩阵的秩现在学习的是第35页，共71页12/5/2022河北科大理学院河北科大理学院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性矩阵的初等变换与线性方程组方程组现在学习的是第3
16、6页，共71页12/5/2022河北科大理学河北科大理学院院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性矩阵的初等变换与线性方程组方程组例例5.1解解现在学习的是第37页，共71页12/5/2022河北科大理学河北科大理学院院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程矩阵的初等变换与线性方程组组例例5.2解解现在学习的是第38页，共71页12/5/2022河北科大理学院河北科大理学院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性矩阵的初等变换与线性方程组方程组例例5.35.3解解计算计算A的的3阶子式，阶子式，现在学习的是第39页，共71页12/5/2022河北科大理学院河北科大理学院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性
17、方矩阵的初等变换与线性方程组程组另解另解显然，非零行的行数为显然，非零行的行数为2，此方法简单！现在学习的是第40页，共71页12/5/2022河北科大理学院河北科大理学院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性矩阵的初等变换与线性方程组方程组定理定理3 若若 则则推论推论 若若P、Q可逆，则可逆，则R(PAQ)=R(A)例例6 设设A为为 矩阵矩阵,R(A)=2,求求R(AB).二二 初等变换法求矩阵的秩初等变换法求矩阵的秩现在学习的是第41页，共71页12/5/2022河北科大理学河北科大理学院院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方矩阵的初等变换与线性方程组程组初等变换法初等变换法:用初等行变换
18、将矩阵化为行阶梯形矩阵用初等行变换将矩阵化为行阶梯形矩阵,则行阶梯形矩阵中则行阶梯形矩阵中非零行的行数非零行的行数就是矩阵的秩就是矩阵的秩.例例7 求矩阵求矩阵的秩的秩.例例8 设设 已知已知R(A)=2，求，求 及及 现在学习的是第42页，共71页12/5/2022河北科大理学院河北科大理学院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程矩阵的初等变换与线性方程组组初等变换求矩阵秩的方法：初等变换求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.例例7解解现在学习的是第43页，共7
19、1页12/5/2022河北科大理学河北科大理学院院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程矩阵的初等变换与线性方程组组现在学习的是第44页，共71页12/5/2022河北科大理学院河北科大理学院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方矩阵的初等变换与线性方程组程组现在学习的是第45页，共71页12/5/2022河北科大理学院河北科大理学院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性矩阵的初等变换与线性方程组方程组现在学习的是第46页，共71页12/5/2022河北科大理学河北科大理学院院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性矩阵的初等变换与线性方程组方程组由阶梯形矩阵有三个非零行可知由阶梯形矩阵有三个非零行可知现
20、在学习的是第47页，共71页12/5/2022河北科大理学院河北科大理学院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性矩阵的初等变换与线性方程组方程组现在学习的是第48页，共71页12/5/2022河北科大理学河北科大理学院院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性矩阵的初等变换与线性方程组方程组则这个子式便是则这个子式便是 的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式.现在学习的是第49页，共71页12/5/2022河北科大理学河北科大理学院院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性矩阵的初等变换与线性方程组方程组现在学习的是第50页，共71页12/5/2022河北科大理学河北科大理学院院第三章第三章 矩阵的初等变换
21、与线性方矩阵的初等变换与线性方程组程组三三 常用的矩阵秩不等式常用的矩阵秩不等式l l l 当当 时，时，l 例例9 设设A为为n阶矩阵，证明阶矩阵，证明例例10 设设 且且 则则列满秩列满秩以后陆续证明以后陆续证明现在学习的是第51页，共71页12/5/2022河北科大理学河北科大理学院院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性矩阵的初等变换与线性方程组方程组对于线性方程组对于线性方程组Ax=b,(1)当当 时时,方程组无解方程组无解;(2)当当 时时,方程组有解方程组有解;时时,有无限多个解有无限多个解.且且 时时,有唯一解有唯一解,第第11讲讲 线性方程组的解线性方程组的解相容相容 不相容不相
22、容特解特解 通解通解不妨设不妨设R(A)=r.的行最简形为的行最简形为现在学习的是第52页，共71页12/5/2022河北科大理学院河北科大理学院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方矩阵的初等变换与线性方程组程组重要定理重要定理定理定理1 1 如果线性方程组如果线性方程组 的系数行列式的系数行列式 则则 一定有解一定有解,且解是唯一的且解是唯一的.定理定理2 2 如果线性方程组如果线性方程组 无解或有两个不同的无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零解，则它的系数行列式必为零.定理定理3 3 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组 的系数行列式的系数行列式 则齐次线性方程组则齐次线性方程组
23、没有非零解没有非零解.定理定理4 4 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组 有非零解有非零解,则它则它的系数行列式必为零的系数行列式必为零.现在学习的是第53页，共71页12/5/2022河北科大理学河北科大理学院院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性矩阵的初等变换与线性方程组方程组(1)无解无解的充分必要条件是的充分必要条件是R(A)R(A,b);一一 线性方程组解的判别定理线性方程组解的判别定理定理定理4 n元线性方程组元线性方程组 Ax=b(2)有惟一解有惟一解的充分必要条件是的充分必要条件是R(A)=R(A,b)=n;(3)有无限多解有无限多解的充分必要条件是的充分必要条件是R(A)=R
24、(A,b)n.(或：有解的充分必要条件是或：有解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)推论推论1 Ax=0有非零解的充分必要条件是有非零解的充分必要条件是R(A)n 推论推论2 AX=B有解的充分必要条件是有解的充分必要条件是R(A)=R(A,B)例例11 证明证明现在学习的是第54页，共71页12/5/2022河北科大理学河北科大理学院院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性矩阵的初等变换与线性方程组方程组例例1212 求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组解解二二 求解线性方程组求解线性方程组现在学习的是第55页，共71页12/5/2022河北科大理学院河北科大理学院第三章第三章 矩阵的初等变换
25、与线性矩阵的初等变换与线性方程组方程组即得与原方程组同解的方程组即得与原方程组同解的方程组现在学习的是第56页，共71页12/5/2022河北科大理学河北科大理学院院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性矩阵的初等变换与线性方程组方程组由此即得由此即得现在学习的是第57页，共71页12/5/2022河北科大理学院河北科大理学院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方矩阵的初等变换与线性方程组程组例例13 求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组解解对增广矩阵对增广矩阵B进行初等变换，进行初等变换，故方程组无解故方程组无解现在学习的是第58页，共71页12/5/2022河北科大理学院河北科大理学院第三章
26、第三章 矩阵的初等变换与线性矩阵的初等变换与线性方程组方程组例例14 求解非齐次方程组的通解求解非齐次方程组的通解解解 对增广矩阵对增广矩阵B进行初等变换进行初等变换现在学习的是第59页，共71页12/5/2022河北科大理学院河北科大理学院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程矩阵的初等变换与线性方程组组故方程组有解，且有故方程组有解，且有现在学习的是第60页，共71页12/5/2022河北科大理学院河北科大理学院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性矩阵的初等变换与线性方程组方程组所以方程组的通解为所以方程组的通解为现在学习的是第61页，共71页12/5/2022河北科大理学河北科大理学院院第
27、三章第三章 矩阵的初等变换与线性方矩阵的初等变换与线性方程组程组例例15 解证解证对增广矩阵对增广矩阵B进行初等变换，进行初等变换，方程组的增广矩阵为方程组的增广矩阵为现在学习的是第62页，共71页12/5/2022河北科大理学院河北科大理学院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方矩阵的初等变换与线性方程组程组现在学习的是第63页，共71页12/5/2022河北科大理学河北科大理学院院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性矩阵的初等变换与线性方程组方程组由于原方程组等价于方程组由于原方程组等价于方程组由此得通解：由此得通解：现在学习的是第64页，共71页12/5/2022河北科大理学院河北科大理学院
28、第三章第三章 矩阵的初等变换与线性矩阵的初等变换与线性方程组方程组例例16 设有线性方程组设有线性方程组解解现在学习的是第65页，共71页12/5/2022河北科大理学河北科大理学院院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程矩阵的初等变换与线性方程组组现在学习的是第66页，共71页12/5/2022河北科大理学河北科大理学院院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程矩阵的初等变换与线性方程组组其通解为其通解为现在学习的是第67页，共71页12/5/2022河北科大理学院河北科大理学院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程矩阵的初等变换与线性方程组组这时又分两种情形：这时又分两种情形：现在学习的是第
29、68页，共71页12/5/2022河北科大理学院河北科大理学院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性矩阵的初等变换与线性方程组方程组现在学习的是第69页，共71页12/5/2022河北科大理学河北科大理学院院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性矩阵的初等变换与线性方程组方程组例例12 求求解齐次线性方程组解齐次线性方程组例例13 求求解非齐次线性方程组解非齐次线性方程组现在学习的是第70页，共71页12/5/2022河北科大理学河北科大理学院院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性矩阵的初等变换与线性方程组方程组例例14 设有线性方程组设有线性方程组问问 取何值时取何值时,此方程组此方程组(3)有无限多解有无限多解?并在有无限多解时求其通解并在有无限多解时求其通解.(1)有惟一解有惟一解;(2)无解无解;现在学习的是第71页，共71页